《物理化学实验》讲义德州学院化学系王敦青 0.02 0.004 0.03 9 00 0 234567890 x230323 0000 9 -0.01 -0.10 0.00 0324 910094 0.02 0.01 39 111 14 15 40 0.00 0 x=2042 2“=0012 例如,相同条件下对某温度测量15次,结果如上表。试问第8次测量值是否应予剔除。由表中数 据计算:=3x2 001 r=3x0.033=0099 第八点的偏差为H4-1-4-0-204-0009 所以第八点应予蝴除,明除后,2402如“321323020所剩14 个点的偏差均不超过0.06,故不必再剔除。 (三)误差传递一间接测量结果的误差计算 测量分为直接测量和间接测量两种,一切简单易得的量均可直接测量出,如用米尺量物体的长 度,用温度计测量体系的温度等。对于较复杂不易直接测得的量,可通过直接测定简单量,而后按 照一定的函数关系将它们计算出来。例如测量热计温度变化ΔT和样品重W,代入公式 =crp,就可求出解热△B于是直接测量的T、W的误差,就会传通给△B,下面给出 了误差传递的定量公式。通过间接测量结果误差的求算,可以知道哪个直接测量值的误差对间接测 量结果影响最大,从而可以有针对性地提高测量仪器的精度,获得好的结果。 间接测量结果误差的计算 设有函数u=F(x,y),其中x,y为可以直接测量的量。则d= d十 此为误差传递的基本公式。若mΔx4y为、x、y的测量误差,且设色们足够尔,可以代替 du、dx、dy,则得到具体的简单函数及其误差的计算公式,列入下表 函数关系 绝对误差 相 对误差
《物理化学实验》讲义 德州学院化学系 王敦青 5 i xi di di 2 1 20.42 0.02 0.004 2 43 0.03 9 3 40 0.00 0 4 43 0.03 9 5 42 0.02 4 6 43 0.03 9 7 39 -0.01 1 8 30 -0.10 100 9 40 0.00 0 10 43 0.03 9 11 42 0.02 4 12 41 0.01 1 13 39 -0.01 1 14 39 -0.01 1 15 40 0.00 0 例如，相同条件下对某温度测量 15 次，结果如上表。试问第 8 次测量值是否应予剔除。由表中数 据计算: 第八点的偏差为 所以第八点应予剔除。剔除后， 所剩 14 个点的偏差均不超过 0.06，故不必再剔除。 (三)误差传递—间接测量结果的误差计算 测量分为直接测量和间接测量两种，一切简单易得的量均可直接测量出，如用米尺量物体的长 度，用温度计测量体系的温度等。对于较复杂不易直接测得的量，可通过直接测定简单量，而后按 照一定的函数关系将它们计算出来。例如测量热计温度变化 ΔT 和样品重 W，代入公式 ，就可求出溶解热 ΔH，于是直接测量的 T、W 的误差，就会传递给 ΔH。下面给出 了误差传递的定量公式。通过间接测量结果误差的求算，可以知道哪个直接测量值的误差对间接测 量结果影响最大，从而可以有针对性地提高测量仪器的精度，获得好的结果。 1.间接测量结果误差的计算 设有函数 u=F(x，y)，其中 x，y 为可以直接测量的量。则 此为误差传递的基本公式。若 为 u、x、y 的测量误差，且设它们足够小，可以代替 du、dx、dy，则得到具体的简单函数及其误差的计算公式，列入下表。 函数关系 绝对误差 相对误差
《物理化学实验》讲义德州学院化学系王敦青 y=1+z2 土x+20 2+z2 土Ax+{x 4+A 0=x2 土x+2xD 例如用莫尔盐标定磁场强度,求H的间接测量误差,已知计算磁场强度的公式为 会击普 其中,x为物质摩尔磁化率,由公式。S510求得。g为重力加速度;h为样品高度;M 为样品的分子量;W为样品重;(A-4?)为样品在磁场中的增重。又知各自变量的测量 T=(13.51±00004g 精度如下:k=(30±0.05cm T=(3017±002(△Ws△W)=(088±000g *令普通分析天平的称量误差为0.0002g,按误差传递公式,W是经二次称量获得的值,所以其称 量误差为0.0004g,(ΔW箜,品一△ΔW空管)是经四次称量获得的值,所以称量误差为0.0008g。) (页底小注)利用上面表中公式,可写出摩尔磁化率的相对误差为 将磁场强度公式取对数,然后微分, ANM.1w (2) H (2)式近似为 A(AW 管“晶 A),品,Ax,A∥ H AB. (3) 将(1)代入(3)得
《物理化学实验》讲义 德州学院化学系 王敦青 6 例如用莫尔盐标定磁场强度 H，求 H 的间接测量误差，已知计算磁场强度的公式为 其中， 为物质摩尔磁化率，由公式 求得。g 为重力加速度;h 为样品高度;M 为样品的分子量;W 为样品重; 为样品在磁场中的增重。又知各自变量的测量 精度如下: （*令普通分析天平的称量误差为 0.0002g，按误差传递公式，W 是经二次称量获得的值，所以其称 量误差为 0.0004g，(ΔW 空管+样品-ΔW 空管)是经四次称量获得的值，所以称量误差为 0.0008g。） * （页底小注）利用上面表中公式，可写出摩尔磁化率的相对误差为 （1） 将磁场强度公式取对数，然后微分， （2） (2)式近似为 （3） 将(1)代入(3)得
《物理化学实验》讲义德州学院化学系王敦青 M1&胃 H AFseans-AWge a t+l 1[00008,005002,0004 200a1ao+027350 0009240008400000740000950 0.00=06 =0.0060=0.6% 再将已知数据代入公式,求出歷2688G。得磁场强度的绝对误差为 △±0.0060×2688=16.128G=16G=0.0016特斯拉 由上面计算可知,引起计算磁场强度最大误差的是样品在磁场中增重的称量。由于多次称重使称重 误差累加,所以本实验应选用较高精度的分析天平。其次是样品高度的测量,由所给数据可知,原 测量是用的普通米尺,误差为0.5m,若借助于放大镜,使误差减至±0.2mm,则=0011, 可使误差大大减小 2间接测量结果的标准误差计算 若u=F(x,y),则函数u的标准误差为 部分函数的标准误差列入下表 函数关系 绝对误差 相对误差 w=x士y 于 =2 9可…口可+ ±n23a2 in XIa x (四)有效数字 当我们对一个测量的量进行记录时,所记数字的位数应与仪器的精密度相符合,即所记数字的 最后一位为仪器最小刻度以内的估计值,称为可疑值,其它几位为准确值,这样一个数字称为有效 数字,它的位数不可随意增减。例如,普通50mL的滴定管,最小刻度为0.1mL,则记录26.55是合 理的;记录26.5和26.556都是错误的,因为它们分别缩小和夸大了仪器的精密度。为了方便地表达 有效数字位数,一般用科学记数法记录数字,即用一个带小数的个位数乘以10的相当幂次表示。例 如0.000567可写为5.67×10-4,有效数字为三位:10680可写为1.0680×104,有效数字是五位 如此等等。用以表达小数点位置的零不计入有效数字位数
《物理化学实验》讲义 德州学院化学系 王敦青 7 =0.0060=0.6% 再将已知数据代入公式，求出 H=2688G。得磁场强度的绝对误差为 ΔH=±0.0060×2688=16.128G=16G=0.0016 特斯拉 由上面计算可知，引起计算磁场强度最大误差的是样品在磁场中增重的称量。由于多次称重使称重 误差累加，所以本实验应选用较高精度的分析天平。其次是样品高度的测量，由所给数据可知，原 测量是用的普通米尺，误差为 0.5mm，若借助于放大镜，使误差减至±0.2mm，则 ， 可使误差大大减小。 2.间接测量结果的标准误差计算 若 u=F(x，y)，则函数 u 的标准误差为 部分函数的标准误差列入下表: 函数关系 绝对误差 相对误差 (四)有效数字 当我们对一个测量的量进行记录时，所记数字的位数应与仪器的精密度相符合，即所记数字的 最后一位为仪器最小刻度以内的估计值，称为可疑值，其它几位为准确值，这样一个数字称为有效 数字，它的位数不可随意增减。例如，普通 50mL 的滴定管，最小刻度为 0.1mL，则记录 26.55 是合 理的;记录 26.5 和 26.556 都是错误的，因为它们分别缩小和夸大了仪器的精密度。为了方便地表达 有效数字位数，一般用科学记数法记录数字，即用一个带小数的个位数乘以 10 的相当幂次表示。例 如 0.000567 可写为 5.67×10-4，有效数字为三位:10680 可写为 1.0680×104，有效数字是五位， 如此等等。用以表达小数点位置的零不计入有效数字位数
《物理化学实验》讲义德州学院化学系王敦青 在间接测量中,须通过一定公式将直接测量值进行运算,运算中对有效数字位数的取舍应遵循 如下规则 1.误差一般只取一位有效数字,最多两位。 2.有效数字的位数越多,数值的精确度也越大,相对误差越小 (a)(1.35±0.01)m,三位有效数字,相对误差0.7%。 (b)(1.3500±0.0001)m,五位有效数字,相对误差0.007%。 3.若第一位的数值等于或大于8,则有效数字的总位数可多算一位,如9.23虽然只有三位,但 在运算时,可以看作四位。 4.运算中舍弃过多不定数字时,应用“4舍6入,逢5尾留双”的法则,例如有下列两个数值: 9.435、4.685,整化为三位数,根据上述法则,整化后的数值为9.44与4.68 5.在加减运算中,各数值小数点后所取的位数,以其中小数点后位数最少者为准。例如 56.38+17.889+21.6=56.4+17.9+21.6=95.9 6.在乘除运算中,各数保留的有效数字,应以其中有效数字最少者为准。例如: 1.436×0.020568÷85 其中85的有效数字最少,由于首位是8,所以可以看成三位有效数字,其余两个数值,也应保 留三位,最后结果也只保留三位有效数字。例如 L44x0006 =349x104 7.在乘方或开方运算中,结果可多保留一位 85 8.对数运算时,对数中的首数不是有效数字,对数的尾数的位数,应与各数值的有效数字相当。 例如: ]=76x10 pH=312 K=34x10° kk=935 9.算式中,常数π,e及乘子2和某些取自手册的常数,如阿佛加德罗常数、普朗克常数等, 不受上述规则限制,其位数按实际需要取舍 (五)数据处理 物理化学实验数据的表示法主要有如下三种方法:列表法、作图法和数学方程式法。 1.列表法 将实验数据列成表格,排列整齐,使人一目了然。这是数据处理中最简单的方法,列表时应注 意以下几点 1)表格要有名称 (2)每行(或列)的开头一栏都要列出物理量的名称和单位,并把二者表示为相除的形式。因为物 理量的符号本身是带有单位的,除以它的单位,即等于表中的纯数字 (3)数字要排列整齐,小数点要对齐,公共的乘方因子应写在开头一栏与物理量符号相乘的形式 并为异号。 4)表格中表达的数据顺序为:由左到右,由自变量到因变量,可以将原始数据和处理结果列在 同一表中,但应以一组数据为例,在表格下面列出算式,写出计算过程。 列表示例: 液体饱和蒸气压测定数据表 t/℃T/K 107/K2 107 Ah/Pa 10-m In (p/P 95.10 368.25 2.716 1.253 8.703 11.734 2.作图法 作图法可更形象地表达出数据的特点,如极大值、极小值、拐点等,并可进一步用图解求积分 微分、外推、内插值。作图应注意如下几点: (1)图要有图名。例如“1nKp-1图”,“V-t图”等。 标纸、对数坐标纸等。物理化学实验中一般用直角坐标纸,只有三组份相图使用三角坐标纸。约 (2)要用市售的正规坐标纸,并根据需要选用坐标纸种类:直角坐标纸、三角坐标纸、半对
《物理化学实验》讲义 德州学院化学系 王敦青 8 在间接测量中，须通过一定公式将直接测量值进行运算，运算中对有效数字位数的取舍应遵循 如下规则: 1.误差一般只取一位有效数字，最多两位。 2.有效数字的位数越多，数值的精确度也越大，相对误差越小。 (a)(1.35±0.01)m，三位有效数字，相对误差 0.7%。 (b)(1.3500±0.0001)m，五位有效数字，相对误差 0.007%。 3.若第一位的数值等于或大于 8，则有效数字的总位数可多算一位，如 9.23 虽然只有三位，但 在运算时，可以看作四位。 4.运算中舍弃过多不定数字时，应用“4 舍 6 入，逢 5 尾留双”的法则，例如有下列两个数值： 9.435、4.685，整化为三位数，根据上述法则，整化后的数值为 9.44 与 4.68 5.在加减运算中，各数值小数点后所取的位数，以其中小数点后位数最少者为准。例如： 56.38+17.889+21.6=56.4+17.9+21.6=95.9 6.在乘除运算中，各数保留的有效数字，应以其中有效数字最少者为准。例如： 1.436×0.020568÷85 其中 85 的有效数字最少，由于首位是 8，所以可以看成三位有效数字，其余两个数值，也应保 留三位，最后结果也只保留三位有效数字。例如： 7.在乘方或开方运算中，结果可多保留一位。 8.对数运算时，对数中的首数不是有效数字，对数的尾数的位数，应与各数值的有效数字相当。 例如： 9.算式中，常数 π，e 及乘子 2 和某些取自手册的常数，如阿佛加德罗常数、普朗克常数等， 不受上述规则限制，其位数按实际需要取舍。 (五)数据处理 物理化学实验数据的表示法主要有如下三种方法:列表法、作图法和数学方程式法。 1.列表法 将实验数据列成表格，排列整齐，使人一目了然。这是数据处理中最简单的方法，列表时应注 意以下几点: (1)表格要有名称。 (2)每行(或列)的开头一栏都要列出物理量的名称和单位，并把二者表示为相除的形式。因为物 理量的符号本身是带有单位的，除以它的单位，即等于表中的纯数字。 (3)数字要排列整齐，小数点要对齐，公共的乘方因子应写在开头一栏与物理量符号相乘的形式， 并为异号。 (4)表格中表达的数据顺序为:由左到右，由自变量到因变量，可以将原始数据和处理结果列在 同一表中，但应以一组数据为例，在表格下面列出算式，写出计算过程。 列表示例: 液体饱和蒸气压测定数据表 t/℃ T/K 103 /K-1 10-4 p/Pa ln(p/Pa) 95.10 368.25 2.716 1.253 8.703 11.734 2.作图法 作图法可更形象地表达出数据的特点，如极大值、极小值、拐点等，并可进一步用图解求积分、 微分、外推、内插值。作图应注意如下几点: (1)图要有图名。例如“lnKp—1T 图”，“V—t 图”等。 (2)要用市售的正规坐标纸，并根据需要选用坐标纸种类:直角坐标纸、三角坐标纸、半对数坐 标纸、对数坐标纸等。物理化学实验中一般用直角坐标纸，只有三组份相图使用三角坐标纸
《物理化学实验》讲义德州学院化学系王敦青 (3)在直角坐标中,一般以横轴代表自变量,纵轴代表因变量,在轴旁须注明变量的名称和单位 (二者表示为相除的形式),10的幂次以相乘的形式写在变量旁,并为异号 (4)适当选择坐标比例,以表达出全部有效数字为准,即最小的毫米格内表示有效数字的最后 位。每厘米格代表1,2,5为宜,切忌3,7,9。如果作直线,应正确选择比例,使直线呈45°倾 斜为好。 2.7 2.802.82284 (5)坐标原点不一定选在零,应使所作直线与曲线匀称地分布于图面中。在两条坐标轴上每隔 1cm或2cm均匀地标上所代表的数值,而图中所描各点的具体坐标值不必标出。 (6)描点时,应用细铅笔将所描的点准确而清晰地标在其位置上,可用○,△,口,×等 符号表示,符号总面积表示了实验数据误差的大小,所以不应超过1mm格。同一图中表示不同曲线 时,要用不同的符号描点,以示区别。 (⑦)作曲线时,应尽量多地通过所描的点,但不要强行通过每一个点。对于不能通过的点,应使 其等量地分布于曲线两边,且两边各点到曲线的距离之平方和要尽可能相等。描出的曲线应平滑均 匀。作图示例如图I-2所示。 (8)图解微分 矧解微分的关键是作曲线的切线,而后求出切线的斜率值,即图解微分值。作曲线的切线可用 如下两种方法: ①镜像法 取一平面镜,使其垂直于图面,并通过曲线上待作切线的点P(如图II-3)然后让镜子绕P点转 动,注意观察镜中曲线的影像,当镜子转到某一位置,使得曲线与其影像刚好平滑地连为一条曲线 时,过P点沿镜子作一直线即为P点的法线,过P点再作法线的垂线,就是曲线上P点的切线。若 无镜子,可用玻璃棒代替,方法相同。 ②平行线段法 如图I-4,在选择的曲线段上作两条平行线AB及CD,然后连接AB和CD的中点PQ并延长相交 曲线于0点,过0点作AB、CD的平行线EF,则EF就是曲线上0点的切线。 图Ⅰ-3镜像法示意图 图-4平行线段法示意
《物理化学实验》讲义 德州学院化学系 王敦青 9 (3)在直角坐标中，一般以横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在轴旁须注明变量的名称和单位 (二者表示为相除的形式)，10 的幂次以相乘的形式写在变量旁，并为异号。 (4)适当选择坐标比例，以表达出全部有效数字为准，即最小的毫米格内表示有效数字的最后一 位。每厘米格代表 1，2，5 为宜，切忌 3，7，9。如果作直线，应正确选择比例，使直线呈 45°倾 斜为好。 图Ⅰ-2 lnVg—1T 图 (5)坐标原点不一定选在零，应使所作直线与曲线匀称地分布于图面中。在两条坐标轴上每隔 1cm 或 2cm 均匀地标上所代表的数值，而图中所描各点的具体坐标值不必标出。 (6)描点时，应用细铅笔将所描的点准确而清晰地标在其位置上，可用○， △， □， ×等 符号表示，符号总面积表示了实验数据误差的大小，所以不应超过 1mm 格。同一图中表示不同曲线 时，要用不同的符号描点，以示区别。 (7)作曲线时，应尽量多地通过所描的点，但不要强行通过每一个点。对于不能通过的点，应使 其等量地分布于曲线两边，且两边各点到曲线的距离之平方和要尽可能相等。描出的曲线应平滑均 匀。 作图示例如图 I-2 所示。 (8)图解微分 图解微分的关键是作曲线的切线，而后求出切线的斜率值，即图解微分值。作曲线的切线可用 如下两种方法: ①镜像法 取一平面镜，使其垂直于图面，并通过曲线上待作切线的点 P(如图 II-3)然后让镜子绕 P 点转 动，注意观察镜中曲线的影像，当镜子转到某一位置，使得曲线与其影像刚好平滑地连为一条曲线 时，过 P 点沿镜子作一直线即为 P 点的法线，过 P 点再作法线的垂线，就是曲线上 P 点的切线。若 无镜子，可用玻璃棒代替，方法相同。 ②平行线段法 如图Ⅰ-4，在选择的曲线段上作两条平行线 AB 及 CD，然后连接 AB 和 CD 的中点 PQ 并延长相交 曲线于 O 点，过 O 点作 AB、CD 的平行线 EF，则 EF 就是曲线上 O 点的切线。 图Ⅰ-3 镜像法示意图 图 I-4 平行线段法示意图