这个不等式给出了,在随机变量X的分布未知的情况下 事件{X-A<E}概率的下限的估计。 例3:设X是掷一颗骰子所出现的点数,若给定E=1,2,实际 计算P{x-E(x)2E},并验证切比谢夫不等式成立 解:因为X的概率函数是P{X=k}=1/6(k=1,2,…,.6) 所以E(X=7/2V(X)=35/12 PX-7/2≥1}=p1+P2+p+P=2/3 PX-7/2≥2}=P2+P6=1/3 E=1:(X)/e2=(35/12)>2/3 E=2:V(X)/E2=(35/12)÷22=(35/48)>1/3 故满足切比雪夫不等式 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
例3:设X是掷一颗骰子所出现的点数,若给定ε=1,2,实际 这个不等式给出了，在随机变量X的分布未知的情况下 { X } 概率的下限的估计。 P X E(X ) ,并验证切比谢夫不等式成立. 故满足切比雪夫不等式 . { 7 / 2 1} 2 / 3 P X p1 p2 p5 p6 P{ X 7 / 2 2} p1 p6 1/ 3 1: ( )/ (35 /12) 2 / 3 2 V X 2 : ( )/ (35/12) 2 (35/ 48) 1/ 3 2 2 V X 机动 目录 上页 下页 返回 结束 事件 计算 解：因为Ｘ的概率函数是 P{X=k}=1/6 (k=1,2, …,6) 所以 E(X)=7/2 V(X)=35/12
定理一(切比谢夫定理的特殊情况)如果随机变量Ⅹ1,X2 是相互独立并且具有相同的数学期望和方差 E(Xk)=,V(Xk)=(k=1,2 作前n个随机变量的算术平均X=∑Xk 则对任意正数E,有 lim P(X-u<a=lim P X￥-山<E=1 n→>00 n→0 1 解释:上式表明,当n→0时事件的概率趋于1.即对于任意 正数E,当n充分大时,不等式(事件) Xk-u<a 成立的概率很大。 HIGH EDUCATION PRESS
定理一（切比谢夫定理的特殊情况）如果随机变量X1 ,X2 ,… 是相互独立并且具有相同的数学期望和方差： 作前ｎ个随机变量的算术平均 n k Xk n X 1 1 则对任意正数 ε ，有 ( ) , ( ) ( 1,2, ) E Xk V Xk 2 k 1 1 lim { } lim 1 n k k n n X n P X P 解释: 上式表明, 当n→∞时事件的概率趋于1. 即对于任意 正数 ε , 当n 充分大时, 不等式(事件) n k Xk n 1 1 成立的概率很大
证明:由于E1 ∑E(Xk)=nH=H ∑(Xk) 由切比雪夫不等式可得P∑x4-A<E}21 0/n 在上式中令n→∞,并注意到概率不能大于1即得 imP∑X-<=1 定理一表明,当n很大时,随机变量X1,X2,,Xn的算术平 均 Xk接近于数学期望E(X=E(X2)=…=E(CXn)=H 这种接近是在概率意义下的接近.通俗地说在定理的条件下, n个随机变量的算术平均,当无限增加时将几乎变成常数 HIGH EDUCATION PRESS
证明: 由于 n n E X n X n E n k k n k k 1 ( ) 1 1 1 1 n n n V X n X n V n k k n k k 2 2 2 1 2 1 1 ( ) 1 1 由切比雪夫不等式可得 2 2 1 / 1 1 n X n P n k k 在上式中令 n→∞, 并注意到概率不能大于1,即得 1 1 lim 1 n k k n X n P 定理一表明，当ｎ很大时，随机变量X1 ,X2 , …,Xn的算术平 均 n k Xk n X 1 1 接近于数学期望E(X1)=E(X2)= …=E(Xn )=μ 这种接近是在概率意义下的接近．通俗地说,在定理的条件下, n 个随机变量的算术平均,当无限增加时将几乎变成常数