《高级微观经济学》第六章 理性生产者

第六章理性生产者 他要素投入量未变,产量也没有变化。于是,下面的全微分等式成立: d@=df(x)=frarh-frark f(x) 注意,《x就是要素h的投入减少一单位时要素k的投入的增加量,即 f(x) 是在x处的要素h对要素k的边际替代率M(x)。于是,我们得到 fro fro 根据上一节中的命题2,在投入有效区内的各点处任何两种要素之间的边际替代率都是非 负的。另外, Mn(x) f(x) xk xhr(x) fr(x)x, xkr(x) /2 xk an(x) xk riko xh ak(x)xh 上式中,x/x表示要素h投入一单位时,要素k的相应投入量。R4(x)表示为了配合投入的 一单位要素k,需要要素h作出的贡献。这样,乘积(xk/x)Rk(即边际替代率)表达了一单 位要素h所等同的要素k的贡献,即从贡献上讲,一单位要素h所等同的要素k的数量 (三)技术系数 技术系数是指企业生产一单位商品所需投入的各种生产要素的配合比例。当生产要素可 以相互替代时,技术系数就是可变的。当生产要素不能相互替代时,技术系数就不可变。因此, 技术系数可以是固定的、部分可变的、或者完全可变的。 固定技术系数是指技术系数根本不能变动。此时,生产要素之间完全不能相互替代,等 产量曲线图中脊线重合,并且一般情况下重合为直线,因而有效投入区就是该直线所表示的集 合(如图6-2(a所示) 完全可变技术系数是指技术系数可以任意变动。此时,等产量曲线图中脊线分别与坐标 轴重合,要素之间可以完全相互替代(如图6-2(b)所示)。 部分可变技术系数是指技术系数既不是完全可变,又不是固定不变,而是可以在一定范 围内变化。此时,等产量曲线图中脊线既不重合,也不分别与坐标轴重合,在脊线所夹的范围 内要素之间可以相互替代(如图6-2(c)所示) x 脊线 脊线 脊线 投入区 有效投入区 有效投入区 L(Q) 脊线 (a)固定技术系数 (b)完全可变技术系数 (c)部分可变技术系数 图6-2技术系数与等产量曲线 丛数值上讲,投入方案x处要素h对要素k的技术系数,用T4(x)表示,可以规定为在其

第六章 理性生产者 131 他要素投入量未变，产量也没有变化。于是，下面的全微分等式成立： dQ = df (x) = f h dxh − f k dxk = 0 即 ( ) ( ) f x f x dx dx k h h k   = 。注意， h k dx dx 就是要素 h 的投入减少一单位时要素 k 的投入的增加量，即 是在 x 处的要素 h 对要素 k 的边际替代率 M (x) hk 。于是，我们得到： ( ) ( ) ( ) f x f x dx dx M x k h h k hk   = = 根据上一节中的命题 2，在投入有效区内的各点处任何两种要素之间的边际替代率都是非 负的。另外， ( ) ( ) ( ) ( )/ ( ) ( )/ ( ) ( ) ( ) ( ) R x x x x x x x x f x f x x f x f x x x f x f x M x hk h k k h h k k k h h h k k h hk = =   =   =   上式中， k h x / x 表示要素 h 投入一单位时，要素 k 的相应投入量。 R (x) hk 表示为了配合投入的 一单位要素 k ，需要要素 h 作出的贡献。这样，乘积 k h Rhk (x / x ) (即边际替代率)表达了一单 位要素 h 所等同的要素 k 的贡献，即从贡献上讲，一单位要素 h 所等同的要素 k 的数量。 (三)技术系数 技术系数是指企业生产一单位商品所需投入的各种生产要素的配合比例。当生产要素可 以相互替代时，技术系数就是可变的。当生产要素不能相互替代时，技术系数就不可变。因此， 技术系数可以是固定的、部分可变的、或者完全可变的。 固定技术系数是指技术系数根本不能变动。此时，生产要素之间完全不能相互替代，等 产量曲线图中脊线重合，并且一般情况下重合为直线，因而有效投入区就是该直线所表示的集 合(如图 6-2(a)所示)。 完全可变技术系数是指技术系数可以任意变动。此时，等产量曲线图中脊线分别与坐标 轴重合，要素之间可以完全相互替代(如图 6-2(b)所示)。 部分可变技术系数是指技术系数既不是完全可变，又不是固定不变，而是可以在一定范 围内变化。此时，等产量曲线图中脊线既不重合，也不分别与坐标轴重合，在脊线所夹的范围 内要素之间可以相互替代(如图 6-2(c)所示)。 丛数值上讲，投入方案 x 处要素 h 对要素 k 的技术系数，用 T (x) hk 表示，可以规定为在其 2 x 2 x 2 x 脊线 脊线 有效 脊线 脊线 投入区 有效投入区 有效投入区 L(Q) L(Q) L(Q) 脊线 1 x 1 x 1 x (a) 固定技术系数 (b) 完全可变技术系数 (c) 部分可变技术系数 图 6-2 技术系数与等产量曲线

第六章理性生产者 他条件不变的情况下要素h投入一个单位时所要求的要素k的投入量,即 Thk(x) 可以看出,边际替代率Mn(x)、技术系数Th(x)与贡献系数Rbk(x)三者之间的关系如下 Mh(x)=Th(x)rh(x) 、替代弹性及其对偶 为了进一步分析技术系数的变化情况,我们再引入替代弹性与贡献弹性的概念。这两种 弹性之间具有一定的对偶性,即可以相互确定。 (一)替代弹性 替代弹性是指技术系数的变化幅度与边际替代率的变化幅度之比,反映技术系数对边际 替代率变化的敏感程度。替代弹性可用公式严格表示如下。在投入方案x处,要素h对要素k 的替代弹性等于比值EShk(x) EShk(x) dTh(x)/Thk(x) dIn Th(x) dMhk(x)/Mnk(x)d In Mnk(x) 我们来看一下替代弹性的大小情况。正常情况下,要素之间的边际替代率是递减的,即 等产量曲线凸向元点,因而替代弹性非负(即技术系数与边际替代率同向变动) 1.无替代弹性:ES(x)=0 此时,不论要素h对要素k的边际替代率如何变化,技术系数总是不变的,因此这两种要 素不能相互替代,必须按照固定的比例投入使用,等产量曲线由两条具有共同起点的分别平行 于坐标轴的射线所构成。即等产量曲线强性弯曲,折成90℃夹角(如图6-3(a)所示)。 2.弱替代弹性:0<ESA(x)<1 此时,技术系数的变化幅度不如边际替代率的变化幅度大,因而技术系数对边际替代率 变化的反应不很敏感,等产量曲线的弯曲程度较大(如图6-3(b)L1所示)。 3.强替代弹性:1<ESh(x)<∞ 此时,技术系数的变化幅度比边际替代率的变化幅度大,因而技术系数对边际替代率变 化的反应很敏感,等产量曲线的弯曲程度较小(如图6-3(b)L2所示)。 4.单一替代弹性:ESA(x) 此时,技术系数与边际替代率以同样的幅度变化,技术系数对边际替代率变化的反应敏 感程度居中,等产量曲线的弯曲程度居中(如图6-3(b)L3所示)。 5.完全替代弹性:ESA(x)=∞ 替代弹性为无限时,边际替代率就不能有任何变动,因为边际替代率的变动将引起技术 系数的无限变动。因此,边际替代率为常数,等产量曲线为直线(如图6-3(c)所示)

第六章 理性生产者 132 他条件不变的情况下要素 h 投入一个单位时所要求的要素 k 的投入量，即 h k hk x x T (x) = 可以看出，边际替代率 M (x) hk 、技术系数 T (x) hk 与贡献系数 R (x) hk 三者之间的关系如下: M (x) T (x)R (x) hk = hk hk 二、替代弹性及其对偶 为了进一步分析技术系数的变化情况，我们再引入替代弹性与贡献弹性的概念。这两种 弹性之间具有一定的对偶性，即可以相互确定。 (一) 替代弹性 替代弹性是指技术系数的变化幅度与边际替代率的变化幅度之比，反映技术系数对边际 替代率变化的敏感程度。替代弹性可用公式严格表示如下。在投入方案 x 处，要素 h 对要素 k 的替代弹性等于比值 ES (x) hk ： ln ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d M x d T x dM x M x dT x T x ES x hk hk hk hk hk hk hk = = 我们来看一下替代弹性的大小情况。正常情况下，要素之间的边际替代率是递减的，即 等产量曲线凸向元点，因而替代弹性非负(即技术系数与边际替代率同向变动)。 1. 无替代弹性： EShk (x) = 0 此时，不论要素 h 对要素 k 的边际替代率如何变化，技术系数总是不变的，因此这两种要 素不能相互替代，必须按照固定的比例投入使用，等产量曲线由两条具有共同起点的分别平行 于坐标轴的射线所构成。即等产量曲线强性弯曲，折成 90℃夹角(如图 6-3(a)所示)。 2. 弱替代弹性： 0  EShk (x) 1 此时，技术系数的变化幅度不如边际替代率的变化幅度大，因而技术系数对边际替代率 变化的反应不很敏感，等产量曲线的弯曲程度较大(如图 6-3(b) L1 所示)。 3. 强替代弹性：1 EShk (x)   此时，技术系数的变化幅度比边际替代率的变化幅度大，因而技术系数对边际替代率变 化的反应很敏感，等产量曲线的弯曲程度较小(如图 6-3(b) L2 所示)。 4. 单一替代弹性： EShk (x) =1 此时，技术系数与边际替代率以同样的幅度变化，技术系数对边际替代率变化的反应敏 感程度居中，等产量曲线的弯曲程度居中(如图 6-3(b) L3 所示)。 5. 完全替代弹性： EShk (x) =  替代弹性为无限时，边际替代率就不能有任何变动，因为边际替代率的变动将引起技术 系数的无限变动。因此，边际替代率为常数，等产量曲线为直线(如图 6-3(c)所示)

第六章理性生产者 L2(单一) (a)无替代弹性 (b)弱、单一、强替代弹性 (c)完全替代弹性 图6-3誊代弹性与等产量曲线 (二)贡献弹性 贡献弹性指技术系数变化幅度与贡献系数变化幅度之比,反映的是技术系数对贡献系数 变化的敏感程度。严格地讲,在投入方案x处,要素h对要素k的贡献弹性是比值ECh(x): ECL(r= dTh(x)Thk(x) d In Thk(x) dR(x)/Rk(x)dIn Rnk(x) 贡献弹性与替代弹性可以相互确定,即具有对偶性,其对偶公式为: ESh(x) EChk(x) 事实上,从Mh(x)=Th(x)Rh4(x)可知 d In m(x)=dh7h4(x)+ dIn Rh(x),于是, d In Mnk(x)dIn T,(x)+dIn Rik (x) i' dhn Thk(x) ECh(r) d In rhk(x) =1+ k(x) dIn Thk(x) d In Th(x) 为了方便记忆,贡献弹性与替代弹性之间的对偶偶公式也可写成: 第三节齐次生产函数 生产函数f:R→R叫做是a阶齐次函数,是指∫满足如下条件:对任何投入向量x及 任何实数t>0,都有f(tx)=t“f(x)。其中的这个数a叫做齐次函数f的阶数。 欧拉定理Luer).如果生产函数f:R4→R是a阶齐次函数并且可微,则对于任何投入 向量x∈R,都有af(x)=∑1x4f(x)。 证明:设x∈R任意给出。既然f(tx)=1“f(x)对一切实数t>0都成立,那么在此式两 边对t求导数就可得到

第六章 理性生产者 133 (二) 贡献弹性 贡献弹性指技术系数变化幅度与贡献系数变化幅度之比，反映的是技术系数对贡献系数 变化的敏感程度。严格地讲，在投入方案 x 处，要素 h 对要素 k 的贡献弹性是比值 EC (x) hk ： ln ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d R x d T x dR x R x dT x T x EC x hk hk hk hk hk hk hk = = 贡献弹性与替代弹性可以相互确定，即具有对偶性，其对偶公式为： ( ) 1 1 ( ) 1 ES x EC x hk hk = + 事实上，从 M (x) T (x) R (x) hk = hk hk 可知 d ln M (x) d ln T (x) d ln R (x) hk = hk + hk ，于是， ( ) 1 1 ln ( ) ln ( ) 1 ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) 1 d T x EC x d R x d T x d T x d R x d T x d M x ES x hk hk hk hk hk hk hk hk hk = + = + + = = 为了方便记忆，贡献弹性与替代弹性之间的对偶偶公式也可写成： 1 ( ) 1 ( ) 1 − = ES x EC x hk hk 第三节 齐次生产函数 生产函数 f R+ → R  : 叫做是  阶齐次函数，是指 f 满足如下条件：对任何投入向量 x 及 任何实数 t  0 ，都有 f (t x) t f (x)  = 。其中的这个数  叫做齐次函数 f 的阶数。 欧拉定理(Euler). 如果生产函数 f R+ → R  : 是  阶齐次函数并且可微，则对于任何投入 向量  R++ x ，都有  = =   1 ( ) ( ) h h h  f x x f x 。 证明: 设  R++ x 任意给出。既然 f (t x) t f (x)  = 对一切实数 t  0 都成立，那么在此式两 边对 t 求导数就可得到: k x k x k x L1 (弱) L(Q) L(Q) L2 (单一) L3 (强) h x h x h x (a) 无替代弹性 (b) 弱、单一、强替代弹性 (c) 完全替代弹性 图 6-3 替代弹性与等产量曲线

第六章理性生产者 d()a“f(x)=ar-(x) 注意,f(x)=∑f(x)x1。于是,amf(x)=∑f(x)x对一切1>0成立,当然对 =1也就成立。令=1,即可得到af(x)=∑x1f(x)。欧拉定理得证。 欧拉定理说明,对于a阶齐次生产函数来说,a就是任何投入方案下全部生产要素的总 贡献,即全部要素的总贡献a(x)恒为常数a。 例1. Leontief生产函数 Leontief生产函数是一种固定技术系数生产函数。设所有生产要素都必须按照固定的比 例投入使用,这个固定比例为a1:a2…:a。于是,生产一单位产品所必需的投入向量是 a=(a1,a2,…a1)>>0。生产函数f:R4→R便可写成 ()=(x)=m.2 这就是 Leontief生产函数的形式,显然这种形式的生产函数具有下面一些性质 ()f是严格单调的,即对一切x,y∈R,若x<<y,则f(x)<f(y) (2)f是一阶齐次函数,即对任何x∈R及任何实数t>0,都有f(x)=1f(x) (3)生产要素之间不能相互替代 (4)等产量曲线是如图6-2(a)所示的夹角为90°的折线(两种要素情形) 例2.cobb- Douglas生产函数 Cobb- Douglas生产函数的形式是: (x)=f(x,x2…,x)=x=Axx2…x(x∈R) 其中A,a1,a2,…,at都是正的常数,A称为技术进步系数 记a=a1+a2+…+a。可以看出 (1)f是a阶齐次函数 (2)an是要素h的贡献,即a=ah(x)=xnf(x)/(x),a是全部要素的总贡献 (3)f是单调的,即对一切x,y∈R,若x≤y,则f(x)≤f(y) (4)f是内部强单调的,即对一切x,y∈R,若x<y,则f(x)<f(y) (5)投入要素之间可以完全相互替代,因而技术系数完全可变; (6)边际替代率MMk(x)=(a4xk)(ax)=(xk/x)(a/(ak),贡献系数R(x)=an/ak为常 数,技术系数Th(x)=xk/xb (7)贡献弹性为无穷大,替代弹性单一。这是因为贡献系数为常数,从而贡献弹性为无穷大 再根据替代弹性与贡献弹性之间的对偶关系可知,替代弹性单一。 例3.CES生产函数 CES( Constant Elasticity of Substitution)生产函数(即不变替代弹性生产函数)的定义为 f(x)=fo x° R 其中y,δ1,2,…,o,p,D都为正的常数 (1)f是U阶齐次函数

第六章 理性生产者 134 ( ) ( ( )) ( ) 1 t f x t f x dt d f t x dt d − = =    注意，  = =   1 ( ) ( ) h h h f t x f t x x dt d 。于是，  = − =   1 1 ( ) ( ) h h h t f x f t x x   对一切 t  0 成立，当然对 t =1 也就成立。令 t =1 ，即可得到  = =   1 ( ) ( ) h h h  f x x f x 。欧拉定理得证。 欧拉定理说明，对于  阶齐次生产函数来说，  就是任何投入方案下全部生产要素的总 贡献，即全部要素的总贡献 (x) 恒为常数  。 例 1. Lèontief 生产函数 Lèontief 生产函数是一种固定技术系数生产函数。设所有生产要素都必须按照固定的比 例投入使用，这个固定比例为 a a  a : : : 1 2 。于是，生产一单位产品所必需的投入向量是 a = (a1 , a2 ,  , a )  0 。生产函数 f R+ → R  : 便可写成：       = =      a x a x a x f (x) f (x , x , , x ) min , , , 2 2 1 1 1 2 这就是 Lèontief 生产函数的形式，显然这种形式的生产函数具有下面一些性质： (1) f 是严格单调的，即对一切  R+ x, y ，若 x  y ，则 f (x)  f (y) ； (2) f 是一阶齐次函数，即对任何  R+ x 及任何实数 t  0 ，都有 f (t x) = t f (x) ； (3) 生产要素之间不能相互替代； (4) 等产量曲线是如图 6-2(a)所示的夹角为  90 的折线(两种要素情形)。 例 2. Cobb—Douglas 生产函数 Cobb—Douglas 生产函数的形式是：           f x f x x x A x Ax x x h h h 1 2 1 2 1 1 2 ( ) = ( , , , ) =  = = ( )  R+ x 其中      , , , , A 1 2 都是正的常数， A 称为技术进步系数。 记  =1 + 2 ++  。可以看出： (1) f 是  阶齐次函数； (2)  h 是要素 h 的贡献，即 (x) x f (x) f (x) h h h h  = =  ， 是全部要素的总贡献； (3) f 是单调的，即对一切  R+ x, y ，若 x  y ，则 f (x)  f (y) ； (4) f 是内部强单调的，即对一切  R++ x, y ，若 x  y ，则 f (x)  f (y) ； (5) 投入要素之间可以完全相互替代，因而技术系数完全可变； (6) 边际替代率 ( )( ) hk h k k h k h h k M (x) = ( x ) ( x ) = x x   ，贡献系数 hk h k R (x) =  为常 数，技术系数 hk k h T (x) = x x ； (7) 贡献弹性为无穷大，替代弹性单一。这是因为贡献系数为常数，从而贡献弹性为无穷大。 再根据替代弹性与贡献弹性之间的对偶关系可知，替代弹性单一。 例 3. CES 生产函数 CES(Constant Elasticity of Substitution)生产函数(即不变替代弹性生产函数)的定义为：      − = −       = =     1 1 2 ( ) ( , , , ) h h h f x f x x x x ( )  R+ x 其中  , 1 , 2 ,  ,  , , 都为正的常数。 (1) f 是  阶齐次函数

第六章理性生产者 (2)生产要素的贡献情况 要素h的贡献a(x)为:n(=+(x)D f∫(x) ∑δx U∑δx 全部要素的总贡献a(x)为:a(x)=∑a(x)= ∑x (3)技术系数、边际替代率及贡献系数 技术系数为:Th(x)= 边际替代率为:MA()=<(x22x叫_1(x f(x)8, 8k(Xh S f ht(er))o+ 贡献系数为:R(x)= Mn(x)8n xk Ta(x)2* 5 (The(r) (4)贡献弹性与替代弹性 dIn Tn(x) d In Th(x) d In Tnk(x) 贡献弹性为:ECM(x)dmRk(x)dh(m(x) pd In Th(x)p 替代弹性为:ESM(x)=-1 tp 由此可知,CES生产函数具有不变的替代弹性1和不变的贡献弹性1,这正是CE生 产函数名称的由来。 第四节收益分析 生产者投入一定数量的若干生产要素后,所得到的一定数量的产品回报叫做生产者的报 酬或生产收益。生产者得到的报酬可以是实物形态,也可以是货币形态。本节讨论实物形态的 报酬,即讨论生产收益(产品产量)随投入要素数量变化而变化的规律。我们将按照两种情况分 别讨论,一种情况是讨论单个生产要素数量变化对生产的影响,这是收益的短期分析:另一种 情况是讨论所有生产要素按照同一比例同时变化对生产的影响,即规模报酬变化规律,这属于 生产收益的长期分析

第六章 理性生产者 135 (2) 生产要素的贡献情况 要素 h 的贡献 (x)  h 为：  = − − =  =  1 ( ) ( ) ( ) i i i h h h h h x x f x x f x x      全部要素的总贡献 (x) 为：    = = − = − = = =    1 1 1 ( ) ( ) h i i i h h h h x x x x         (3) 技术系数、边际替代率及贡献系数 技术系数为： h k hk x x T (x) = 边际替代率为： ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + + − − − − =         = =   =           T x x x x x f x f x M x hk k h h k k h k k h h k h hk 贡献系数为： ( )       ( ) ( ) ( ) ( ) T x x x T x M x R x hk k h h k k h hk hk hk =         = = (4) 贡献弹性与替代弹性 贡献弹性为： ( )    1 ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) = = = = d T x d T x d T x d T x d R x d T x EC x hk hk hk hk hk hk hk 替代弹性为： +  = + = 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) EC x ES x hk hk 由此可知，CES 生产函数具有不变的替代弹性 1+  1 和不变的贡献弹性  1 ，这正是 CES 生 产函数名称的由来。 第四节 收益分析 生产者投入一定数量的若干生产要素后，所得到的一定数量的产品回报叫做生产者的报 酬或生产收益。生产者得到的报酬可以是实物形态，也可以是货币形态。本节讨论实物形态的 报酬，即讨论生产收益(产品产量)随投入要素数量变化而变化的规律。我们将按照两种情况分 别讨论，一种情况是讨论单个生产要素数量变化对生产的影响，这是收益的短期分析；另一种 情况是讨论所有生产要素按照同一比例同时变化对生产的影响，即规模报酬变化规律，这属于 生产收益的长期分析