《高级微观经济学》第四章 需求理论

第四章需求理论 u在x处的海森( Hessian)矩阵。在假设ⅢU之下,海森矩阵是对称矩阵。今后,为了方便起 见,把u在x处的梯度记为l(x)=Vn(x)=V(x)=(u(x),2(x),…,l(x)。 效用函数的强拟凹性 效用函数的拟凹性蕴含着海森矩阵具有某种良好性质,或者说,任何一点处的无差异曲 面必然在该点处的切平面的上方。因此,从切平面上看,切点是效用函数在切平面上的最大 值点,即切点是切平面上效用最大的点。这就是下面命题所述的事实。 命题1.设消费集合X是商品空间R的凸子集,x∈ntY,效用函数a是拟凹的,在x 处可微,且u'(x)≠0。对任何z∈X, (1)如果()≥l(x),那么u'(x)2≥(x)x;也即,如果n(x)z<l'(x)x,那么()<l(x); (2)如果u()>l(x),那么u'(x)>a(x)x;也即,如果a(x)z≤u(x)x,那么u()≤l(x); (3)进一步,当效用函数u严格拟凹并且z≠x时 如果(=)≥u(x),那么u'(x)>n'(x)x;也即,如果u(x)≤u(x)x,那么u(z)<u(x) 证明:任意给定z∈X。 (1)设()≥u(x)。的拟四性保证了u(tx+(1-1)x)2(x)对一切t∈(O,1)成立,从而 0≤lml(x+1(-x)-l(x) =∑(x(=-x)=n(x)--x) 即a(x)z≥u(x)x,这就证明了(1) (2)设l(=)>l(x)。既然x∈ntX,存在x的邻域U使得UcX,从而也存在t∈(O,1)使 得=t=+(1-t)x=x+1(-x)∈U。效用函数u的拟凹性保证了u()>l(x),而u的连续性 又保证了存在w的邻域V(即以w为中心的一个开球)使得VsU且对于任何y∈,都有 l(y)>u(x)。显然,我们可以在V中选取一个符合下列条件的点y=(y1,y2…yt):对每个 h(h=1,2,…,O),当h(x)≥0时,yb<wn;当l(x)<0时,yb>h。对于这样选定的点y, 从u(x)≠0可知(x)y<'(x)n。既然(y)>(x),从(1)的结论可知u(x)y≥(x)x,从而 (x)w>l(x)x。注意u(x)w=(x)x+1(x)(-x),因此tu'(x)(z-x)>0。而t>0,于是 r(x)>u'(x)x。(2)得证 (3)设u严格拟凹,x≠x且()≥l(x)。令y=(2)(x+)。效用函数u的严格拟凹性 保证了(y)>l(=),于是从(2)的结论可知u(x)y>u(x)x。将y=(1/2)(x+2)代入此式即可 得到u(x)>u(x)x,(3)得证 命题2.设消费集合X是R的凸子集,效用函数u:X→R拟凹,在点x∈mtx处二阶 可微,并且1(x)≠0。则对于任何z∈⊥(x),都有z'(x)x≤0。这里,“”表示矩阵的转 置运算,集合⊥(x)={y∈R:u(x)y=0}是无差异曲面在点x处的切平面。 证明:设x∈ntX是命题中给定的点,这意味着存在正实数E满足B(x,E)sX,其中 B(x)={y∈R(:y-<e是以x为中心、E为半径的开球。 现在,设∈⊥(x)是切平面上的任一点。如果z=0,那么z(x)z=0是明显的。以下 设二≠0。于是,必然存在一个正实数λ,使得x+A∈B(x,E)sX且x-Ax∈B(x,E)gX 记w=x+Az,并对每个实数t,令y(1)=x+1(w-x)。显然,对于任何t∈[-,],都有 ()=x+12=成立,从而有u(x)y(t)=l'(x)x+tn'(x)2=l(x)x成立(因为a(x)=0) 这说明,命题1(2)的条件得到满足,因此u(y(t)≤l(x)=l(y(0)对一切t∈[-1成立 定义函数∫:[-1,1→R如下:f(1)=l((t)(t∈[-1,1)。则从上面的讨论知,f(O)=l(x) 是f(1)在[-1,1上的最大值点,而且f(1)在(-1,1)上二阶可微。根据函数最大值二阶必要条

第四章 需求理论 58 u 在 x 处的海森(Hessian)矩阵。在假设 HU 之下，海森矩阵是对称矩阵。今后，为了方便起 见， 把 u 在 x 处的梯度记为 ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 u x x x u x u x u x u    =  =  =    。 一．效用函数的强拟凹性 效用函数的拟凹性蕴含着海森矩阵具有某种良好性质，或者说，任何一点处的无差异曲 面必然在该点处的切平面的上方。因此，从切平面上看，切点是效用函数在切平面上的最大 值点，即切点是切平面上效用最大的点。这就是下面命题所述的事实。 命题 1. 设消费集合 X 是商品空间  R 的凸子集， x  int X ，效用函数 u 是拟凹的，在 x 处可微，且 u (x)  0 。对于任何 z X ， (1) 如果 u(z)  u(x) ，那么 u (x)z  u (x)x ；也即，如果 u (x)z  u (x)x ，那么 u(z)  u(x) ； (2) 如果 u(z)  u(x), 那么 u (x)z  u (x)x ；也即，如果 u (x)z  u (x)x ，那么 u(z)  u(x) ； (3) 进一步，当效用函数 u 严格拟凹并且 z  x 时， 如果 u(z)  u(x) ，那么 u (x)z  u (x)x ；也即，如果 u (x)z  u (x)x ，那么 u(z)  u(x) 。 证明：任意给定 z X 。 (1) 设 u(z)  u(x)。u 的拟凹性保证了 u(tz + (1− t)x)  u(x) 对一切 t (0,1) 成立，从而 ( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ) 0 lim 1 0 u x z x u x z x t u x t z x u x h h h h t =  − =  − + − −   → = +  即 u (x)z  u (x)x ，这就证明了(1)。 (2) 设 u(z)  u(x) 。既然 xint X ，存在 x 的邻域 U 使得 U  X , 从而也存在 t (0,1) 使 得 w = tz + (1− t)x = x + t(z − x)U 。效用函数 u 的拟凹性保证了 u(w)  u(x) ，而 u 的连续性 又保证了存在 w 的邻域 V （即以 w 为中心的一个开球）使得 V U 且对于任何 yV ，都有 u(y)  u(x) 。显然，我们可以在 V 中选取一个符合下列条件的点 ( , , , ) 1 2   y = y y y ：对每个 h (h =1,2,  , ) ，当 uh  (x)  0 时， h wh y  ；当 uh  (x)  0 时， h wh y  。对于这样选定的点 y ， 从 u (x)  0 可知 u (x) y  u (x)w 。既然 u(y)  u(x) ，从(1)的结论可知 u (x) y  u (x)x ，从而 u (x)w  u (x)x 。注意 u (x)w = u (x)x + tu (x)(z − x) ，因此 tu (x)(z − x)  0 。而 t  0 ，于是 u (x)z  u (x)x 。(2)得证。 (3) 设 u 严格拟凹， z  x 且 u(z)  u(x) 。令 y = (1 2)(x + z) 。效用函数 u 的严格拟凹性 保证了 u(y)  u(z) ，于是从(2)的结论可知 u (x) y  u (x)x 。将 y = (1 2)(x + z) 代入此式即可 得到 u (x)z  u (x)x ，(3)得证。 命题 2. 设消费集合 X 是  R 的凸子集，效用函数 u : X → R 拟凹，在点 xint X 处二阶 可微，并且 u (x)  0。则对于任何 z⊥(x) ，都有 ( )  0 T z u x z 。这里，“ T ”表示矩阵的转 置运算，集合 ⊥(x) ={yR : u (x)y = 0}  是无差异曲面在点 x 处的切平面。 证明：设 xint X 是命题中给定的点，这意味着存在正实数  满足 B(x,)  X ，其中 B(x, ) ={y R : y − x  }  是以 x 为中心、  为半径的开球。 现在，设 z⊥(x) 是切平面上的任一点。如果 z = 0 ，那么 ( ) = 0 T z u x z 是明显的。以下 设 z  0 。于是，必然存在一个正实数  ，使得 x + zB(x,)  X 且 x − zB(x,)  X 。 记 w = x + z ，并对每个实数 t ，令 y(t) = x + t(w − x) 。显然，对于任何 t [−1,1] ，都有 y(t) = x + t z 成立，从而有 u (x) y(t) = u (x)x + t u (x)z = u (x) x 成立（因为 u (x)z = 0 ）。 这说明，命题 1(2)的条件得到满足，因此 u(y(t))  u(x) = u(y(0)) 对一切 t [−1,1] 成立。 定义函数 f :[−1,1]→ R 如下： f (t) = u(y(t)) (t [−1,1]) 。则从上面的讨论知， f (0) = u(x) 是 f (t) 在 [−1,1] 上的最大值点，而且 f (t) 在 (−1,1) 上二阶可微。根据函数最大值二阶必要条

第四章需求理论 件可知,∫"(O)≤0(这是因为,假如f"(O)>0,那么f(0)便为f的极小值,出现矛盾)。计 算∫"(0)可知 f0)=∑o(x-xmnk-x)=2∑0(x)-=2n(x)≤0 结果,zn(x)z7≤0。命题得证。 效用函数的拟凹性或严格拟凹性,都不足以保证需求函数的可微性。为了用微分法分析 消费者需求的变动情况,需要把上述命题中得到的不等式换为严格不等式,即提出效用函数 的强拟凹性概念 定义.设效用函数u:X→R严格拟凹,在X内部二阶可微。u叫做在点x∈itX处强拟 凹,是指(x)≠0且对任何∈⊥(x),x≠0,都有z(x)z7<0。如果u在X内部的每个点处 都是强拟凹的,则称是强拟凹的效用函数 效用函数的强拟凹性实际上只与消费者的偏好有关,而与二阶可微效用函数的具体选择 无关。事实上,对于等价的效用函数u与ν来说,从第三章第3节的讨论可知,存在严格递 增可微函数q:l们→v满足: (1)对任何x∈X,v(x)=g((x); (2)对任何x∈ntx,v(x)=g(u(x)(x)。由此可知 (3)对任何x∈ntx,v'(x)=g"u(x)((x)u(x)+g1(u(x)u(x)。 注意,g(u(x)>0且对于任何z∈⊥(x),zy(x)z=g{u(x)zn'(x)z7。这说明,u强 拟凹当且仅当v强拟凹。即强拟凹性与效用函数的具体选择无关,属于偏好关系本身的性质。 命题3.设消费集合XcR是凸集,效用函数u:X→R严格拟凹且在X内部二阶可微, x∈ntX。则a在x处强拟凹的充分必要条件是:u在x处的加边海森矩阵H(x)非奇异。这 里,所谓效用函数u的加边海森矩阵H(x),是指: u1(x)…utc(x)a1(x) H(x)=H2(x) ((x) (x)0 aa(x)…ul(x)a2(x) l1(x) l2(x)0 证明:线性代数理论告诉我们,一个n阶方阵A非奇异的充要条件是:对任何非零的n维 列向量z,都有Ax≠0。下面的证明将应用这一事实。设x∈intY为命题中给定的点。 必要性.我们只需证明:对于任何C+1维向量(x,r)∈RxR,如果H(x)(z,r)=0, 么(x,r)=0。为此,设(,r)∈RxR满足H(x)(,r)2=0的任意一个(+1维向量。注意 "(x)+r(n(x) 因此,u(x)z7+r((x)y=0,(x)z7=0,从而z∈⊥(x) 进一步,0=z(x)z+r=((x)y=z(x)z。既然u强拟凹且z∈⊥(x),可见只有 z=0。将这一结果代入n'(x)z+r(n(x)=0,可得r((x)=0。由于(x)≠0,因此 r=0。这就证明了(=,r)=0。H(x)的非奇异性得证 充分性.H(x)的非奇异性说明,对于任何C+1维向量(x,r)∈RxR,如果(z,r)≠0

第四章 需求理论 59 件可知， f (0)  0 (这是因为，假如 f (0)  0 ，那么 f (0) 便为 f 的极小值，出现矛盾)。计 算 f (0) 可知， (0) ( )( )( ) ( ) ( ) 0 2 , 1 2 , 1  =   − − =   =   = = T h k hk h k h k hk h h k k f u x w x w x  u x z z  z u x z   结果， ( )  0 T z u x z 。命题得证。 效用函数的拟凹性或严格拟凹性，都不足以保证需求函数的可微性。为了用微分法分析 消费者需求的变动情况，需要把上述命题中得到的不等式换为严格不等式，即提出效用函数 的强拟凹性概念。 定义. 设效用函数 u : X → R 严格拟凹，在 X 内部二阶可微。u 叫做在点 xint X 处强拟 凹，是指 u (x)  0 且对任何 z⊥(x) ,z  0 ，都有 ( )  0 T z u x z 。如果 u 在 X 内部的每个点处 都是强拟凹的，则称 u 是强拟凹的效用函数。 效用函数的强拟凹性实际上只与消费者的偏好有关，而与二阶可微效用函数的具体选择 无关。事实上，对于等价的效用函数 u 与 v 来说，从第三章第 3 节的讨论可知，存在严格递 增可微函数  :u[X]→v[X] 满足： (1) 对任何 x X , v (x) =(u(x)) ； (2) 对任何 xint X , v (x) =(u(x))u (x) 。由此可知， (3) 对任何 xint X , v (x) (u(x))(u (x)) u (x) (u(x)) u (x) T  =   +  。 注意， (u(x))  0 且对于任何 z⊥(x) ， ( ) T T z v (x)z = u(x) z u (x)z 。这说明， u 强 拟凹当且仅当 v 强拟凹。即强拟凹性与效用函数的具体选择无关，属于偏好关系本身的性质。 命题 3. 设消费集合  X  R 是凸集，效用函数 u : X → R 严格拟凹且在 X 内部二阶可微， xint X 。则 u 在 x 处强拟凹的充分必要条件是： u 在 x 处的加边海森矩阵 H(x) 非奇异。这 里，所谓效用函数 u 的加边海森矩阵 H(x) ，是指： ( )                       =            = = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x H x H x T u             证明：线性代数理论告诉我们，一个 n 阶方阵 A 非奇异的充要条件是：对任何非零的 n 维 列向量 z ，都有 Az  0 。下面的证明将应用这一事实。设 x  int X 为命题中给定的点。 必要性．我们只需证明：对于任何  +1 维向量 z r R  R  ( , ) ，如果 ( )( , ) = 0 T H x z r ，那 么 (z,r) = 0 。为此，设 z r R  R  ( , ) 满足 ( )( , ) = 0 T H x z r 的任意一个  +1 维向量。注意， ( )           +  = T T T T u x z u x z r u x H x z r ( ) ( ) ( ) ( )( , ) 因此， ( ) + ( ( )) = 0 T T u x z r u x ， ( ) = 0 T u x z ，从而 z⊥(x) 。 进一步， ( ) T T T 0 = z u (x)z + r z u (x) = z u (x)z 。既然 u 强拟凹且 z⊥(x) ，可见只有 z = 0 。将这一结果代入 ( ) + ( ( )) = 0 T T u x z r u x ，可得 ( ( )) = 0 T r u x 。由于 u (x)  0 ，因此 r = 0 。这就证明了 (z,r) = 0。 H(x) 的非奇异性得证。 充分性． H(x) 的非奇异性说明，对于任何  +1 维向量 z r R  R  ( , ) ，如果 (z,r)  0

第四章需求理论 那么H(x)(z,r)≠0。对(z,r)=(0,…0,)应用这一结论,便可知(x)≠0 对于每个t∈R,令A()="(x)+t((x)yu(x)。则对于任何的∈⊥(x),都有 zA()z=zl(x)z+t(ul(x)u(x)z=z(x)z7 l的拟凹性保证了对于任何的z∈⊥(x),都有A(1)=1=u'(x)z7≤0。 令b0=mm(yn(x)y(v∈R)(x)y=1),并取定一个<。我们断定:A(是 非奇异的、半负定的,从而是负定的。 A()的非奇异性的证明:设y∈R任意给出且y≠0。如果(x)y2=0,则从H(x)的非 奇异性可知H(x)(,0)≠0,即u(x)y2≠0,从而A()y≠0。以下设(x)y2≠0,并令 =((x)y)y,则(x)7=1 假若A)=7=0,则0=A(1)==z(x)z+1((x)u(x)z7=z(x)z7+t,从而 t=-7(x)z210,这与t<10发生矛盾。可见,A(1)z=0不成立。这样,Al)y≠0。 之,对任何y∈R,y≠0,都成立A(1)y2≠0。这说明A()是非奇异的。 A(的半负定性的证明:设任意给定y∈R。如果(x)y=0,则根据u的拟凹性和命 题2可知,yA)y=y(x)y≤0。以下设(x)y2≠0。 令二=(/2(x)y)y,则1(x)x7=1.注意:4()=7-n(x)=7=1<0≤-(x)2,因 此A40)=7<0,即的 ) (u(x)y)yA()y<0,从而yA()y<0。 之,对任何的y∈R,都有yA(t)y≤0。这说明A)是半负定的 由于非奇异的半负定矩阵必是负定的,因此A()是负定矩阵,即对于任何y∈R,只要 y≠0,就有yA()y2<0。可见对于任何二∈⊥(x),z≠0,都有z(x)z=A()z7<0。 这说明u是强拟凹的。充分性得证 需求函数的可微分性 现在考察需求函数的可微分变化规律。设消费集合X满足假设HC:效用函数u强拟凹、 在X内部二阶可微,并且无最大值;均衡在消费集合内部实现,即D(p,r)ntX对一切 (P,r)∈△成立。在这些假设之下,对于任何(Pp,r)∈△°,边际方程 lh(x)=APb(h=12,…,0 Pkx 确定了消费者的唯一需求向量x=(x1,x1…,x)=5(P,r)=(51(p,r)22(Pp,r)2…,5(p,r)∈X 及拉格朗日乘数λ=A(p,r)。x=5(p,r)确定了消费者对商品h的需求函数(h=1,2,…,O)。 将这些需求函数代入边际方程,则边际方程就变成为恒等式,称为边际等式。 现在假定价格和收入都发生了微小变化,从而引起了需求发生变化。设商品h的价格变 化为,消费者收入的变化为d,消费者对商品h的需求的变化为dn(h=1,2,…,O)。这 些变化之间的关系,可通过在边际等式两边求微分加以确定 ∑(x)k=4h+pd(h=12…,0 ∑(px+x中)=d

第四章 需求理论 60 那么 H(x)(z,r)  0 。对 (z,r) = (0,  ,0,1) 应用这一结论，便可知 u (x)  0 。 对于每个 t  R ，令 A(t) u (x) t(u (x)) u (x) T =  +   。则对于任何的 z⊥(x) ，都有 ( ) T T T T T z A(t)z = z u (x)z + t z u (x) u (x)z = z u (x)z u 的拟凹性保证了对于任何的 z⊥(x) ，都有 ( ) = ( )  0 T T z A t z z u x z 。 令 0 = min− ( ) :(  ) ( ( ) =1) T T t y u x y y R u x y  ，并取定一个 0 t  t 。我们断定： A(t) 是 非奇异的、半负定的，从而是负定的。 A(t) 的非奇异性的证明：设  y R 任意给出且 y  0 。如果 ( ) = 0 T u x y ，则从 H(x) 的非 奇异性可知 ( )( ,0)  0 T H x z ，即 ( )  0 T u x y ，从而 ( )  0 T A t y 。以下设 ( )  0 T u x y ，并令 z ( u x y ) y T = 1 ( ) ，则 ( ) =1 T u x z 。 假若 ( ) = 0 T A t z ，则 z A t z z u x z t z(u x ) u x z z u x z t T T T T T 0 = ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ，从而 0 t z u (x)z t T = −   ，这与 0 t  t 发生矛盾。可见， ( ) = 0 T A t z 不成立。这样， ( )  0 T A t y 。 总之，对任何  y R ， y  0 ，都成立 ( )  0 T A t y 。这说明 A(t) 是非奇异的。 A(t) 的半负定性的证明：设任意给定  y R 。如果 ( ) = 0 T u x y ，则根据 u 的拟凹性和命 题 2 可知， ( ) = ( )  0 T T y A t y y u x y 。以下设 ( )  0 T u x y 。 令 z ( u x y ) y T = 1 ( ) ，则 ( ) =1 T u x z 。注意 T T T z A(t)z z u (x)z t t z u (x)z 0 −  =   −  ,因 此 ( )  0 T z A t z ，即 (1 ( ( ) )) ( ) 0 2   T T u x y y A t y ，从而 ( )  0 T y A t y 。 总之，对任何的  y R ，都有 ( )  0 T y A t y 。这说明 A(t) 是半负定的。 由于非奇异的半负定矩阵必是负定的，因此 A(t) 是负定矩阵，即对于任何  y R ，只要 y  0 ，就有 ( )  0 T y A t y 。可见对于任何 z⊥(x) , z  0 ，都有 ( ) = ( )  0 T T z u x z z A t z 。 这说明 u 是强拟凹的。充分性得证。 二．需求函数的可微分性 现在考察需求函数的可微分变化规律。设消费集合 X 满足假设 HC；效用函数 u 强拟凹、 在 X 内部二阶可微，并且无最大值；均衡在消费集合内部实现，即 D( p,r)  int X 对一切  ( p,r) 成立。在这些假设之下，对于任何  ( p,r) ，边际方程      =  = = =    1 ( ) ( 1,2, , ) k k k h h p x r u x  p h 确定了消费者的唯一需求向量 x = (x1 , x1 ,  , x ) = ( p,r) = ( 1 ( p,r), 2 ( p,r), ,  ( p,r)) X 及拉格朗日乘数  = ( p,r) 。 x ( p,r) h = h 确定了消费者对商品 h 的需求函数 (h =1,2,  , ) 。 将这些需求函数代入边际方程，则边际方程就变成为恒等式，称为边际等式。 现在假定价格和收入都发生了微小变化，从而引起了需求发生变化。设商品 h 的价格变 化为 dph ，消费者收入的变化为 dr ，消费者对商品 h 的需求的变化为 dx (h =1,2,  , ) h 。这 些变化之间的关系，可通过在边际等式两边求微分加以确定： ( )        + =  = + =   = = p dx x d p d r u x dx d p p d h k k k k k h h k hk k     1 1 ( )   ( 1,2, , )

第四章需求理论 d 中p 记=2 d-,.p=21,则上式可改写为{(一P=中.用E表示 dx= dr-xdp dx C阶单位方阵,则此式又可改写成: (x) dx ae odp 此式称为消费者需求的基本矩阵方程或者称为基本矩阵等式。 命题4.设消费集合X满足假设HC,效用函数强拟凹、在κ内部二阶可微、且无最 大值,()∈△,x=)∈mx则矩库("3))非奇异并且需求函数在点() 附近连续可微。 证明:我们先来证明矩ku(x)的非奇异性,即证明对于任意的(ab)∈RxR 只要(ab)≠0,就有/(x)pYa7 ≠0。为此,设(a,b)∈RxR任意给出,且(a,b)≠0 计算一下这里的矩阵乘积,我们得到 根据pa7是否为零,我们分两种情况进行讨论 情形1.pa7=0,即ap=0 由于(x)=Ap,因此u(x)a=0,即a∈⊥(x)。如果a≠0,则根据u的强拟凹性可 知an(x)<0。注意,d(n1(x)2+bp)=am(xa7<0。这说明《x)x+bp≠0,从而 u"(x)pa ≠0。如果a=0,则b≠0,从而/4(x)p ≠0。总之,不论 0人b 0人b 0 是否为零向量,我们总有“(x)P丫a 情形2.pa≠0 此时,显然有/“(x)Pa l'(x)a+bP≠0。 0人b

第四章 需求理论 61 记               =   dx dx dx dx 2 1 ，               =   dp dp dp dp 2 1 ，               =   p p p p 2 1 ，则上式可改写为    = −  − = p dx dr xdp u x dx p d dp T ( )   。用 E 表示  阶单位方阵，则此式又可改写成：                 − =        −          d r d p x E d dx p u x p T 1 0 0 ( )   此式称为消费者需求的基本矩阵方程或者称为基本矩阵等式。 命题 4. 设消费集合 X 满足假设 HC，效用函数 u 强拟凹、在 X 内部二阶可微、且无最 大值，  ( p,r) ，x =( p,r)int X 。则矩阵          0 ( ) T p u x p 非奇异，并且需求函数  h 在点 ( p,r) 附近连续可微。 证明： 我们先来证明矩阵          0 ( ) T p u x p 的非奇异性，即证明对于任意的 a b R  R  ( , ) ， 只要 (a,b)  0 ，就有 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。为此，设 a b R  R  ( , ) 任意给出，且 (a,b)  0 。 计算一下这里的矩阵乘积，我们得到：          + =                  T T T T T p a u x a b p b a p u x p ( ) 0 ( ) 根据 T T p a 是否为零，我们分两种情况进行讨论。 情形 1. = 0 T T p a ，即 a p = 0。 由于 T u (x) =  p ，因此 ( ) = 0 T u x a ，即 a⊥(x) 。如果 a  0 ，则根据 u 的强拟凹性可 知 ( )  0 T au x a 。注意， ( ( ) + )= ( )  0 T T a u x a b p au x a 。这说明 u (x)a + b p  0 T ，从而 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。如果 a = 0 ，则 b  0 ，从而 0 0 0 ( )         =                  b p b a p u x p T T 。总之，不论 a 是否为零向量，我们总有 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。 情形 2.  0 T T p a 。 此时，显然有 0 ( ) 0 ( )           + =                  T T T T T p a u x a b p b a p u x p

第四章需求理论 总而言之,不论pa是否为零,都有(“() 6/≠0。可见矩阵/“(x)p 必然 是非奇异的。 我们再来说明各个需求函数5的可微性。首先,需求函数5由边际等式确定这一事实以 及隐函数存在定理告诉我们,只要边际方程的雅可比( Jaccobi)矩阵J(p,r)非奇异,边际方 程就确定了在(p,r)附近连续可微的需求函数。计算关于(p,r)的雅可比矩阵J(P,r),不难 发 J(pr-u(x)p 于是,根据上面的分析论证,雅可比矩阵是非奇异的。这就证明了各个需求函数5在点 (p,r)附近的连续可微性。命题4得证。 命题4表明,当价格与收入的变化都很微小时,需求的变化也很微小,并且基本上与价 格和收入的微小变化呈线性关系,这种线性关系可通过需求的基本矩阵方程来求解: u"(x)prdx2E 0-a元 (x) ae oDp 0)(-x1人d 第四节替代效应与收入效应 本节从需求的基本矩阵方程出发,分析价格与收入的变化所引起的需求的变动。现实经 济生活中,我们常常会看到这样的情况,某种商品的价格并未发生变化,消费者的收入也没 有变化,然而消费者对该种商品的需求量却发生了变化。这是为什么呢?实际上,这种需求 变动来自于其他商品价格的变化而引起的商品之间的替代。本节要研究这种替代效应,即要 分析一种商品的价格变化对另一种商品的需求量的影响。另一方面,当商品自身的价格发生 变化时,该商品的需求量会发生变化,这就是所谓的自身效应,本节也要加以研究,即要分 析商品价格的变化对商品自身需求量的影响。当消费者收入发生变化时,商品的需求量明显 地要受到影响,这则是收入效应。因此,本节还要分析收入的变化对需求的影响。 我们将用总效应一词来表达价格与收入的变化所引起的需求的变动。对于总效应的研究 其依据是上一节最后对命题4作说明时,所改写的需求基本矩阵方程: dx(u(x)plae 0YdE d2)(p70 这个矩阵等式准确地表达了价格和收入的变化对需求的影响。但是,我们希望知道一些更加 具体、更加明确的需求变动规律,因而需要对如上方程进行深入分析。为了方便起见,令

第四章 需求理论 62 总而言之，不论 T T p a 是否为零，都有 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。可见矩阵          0 ( ) T p u x p 必然 是非奇异的。 我们再来说明各个需求函数  h 的可微性。首先，需求函数  h 由边际等式确定这一事实以 及隐函数存在定理告诉我们，只要边际方程的雅可比(Jaccobi)矩阵 J ( p,r) 非奇异，边际方 程就确定了在 ( p,r) 附近连续可微的需求函数。计算关于 ( p,r) 的雅可比矩阵 J ( p,r) ，不难 发现：          = 0 ( ) ( , ) T p u x p J p r 于是，根据上面的分析论证，雅可比矩阵是非奇异的。这就证明了各个需求函数  h 在点 ( p,r) 附近的连续可微性。命题 4 得证。 命题 4 表明，当价格与收入的变化都很微小时，需求的变化也很微小，并且基本上与价 格和收入的微小变化呈线性关系，这种线性关系可通过需求的基本矩阵方程来求解：                 − =        −          d r d p x E d dx p u x p T 1 0 0 ( )                   −          =        − − dr dp x E p u x p d dx T 1 0 0 ( ) 1   第四节 替代效应与收入效应 本节从需求的基本矩阵方程出发，分析价格与收入的变化所引起的需求的变动。现实经 济生活中，我们常常会看到这样的情况，某种商品的价格并未发生变化，消费者的收入也没 有变化，然而消费者对该种商品的需求量却发生了变化。这是为什么呢？实际上，这种需求 变动来自于其他商品价格的变化而引起的商品之间的替代。本节要研究这种替代效应，即要 分析一种商品的价格变化对另一种商品的需求量的影响。另一方面，当商品自身的价格发生 变化时，该商品的需求量会发生变化，这就是所谓的自身效应，本节也要加以研究，即要分 析商品价格的变化对商品自身需求量的影响。当消费者收入发生变化时，商品的需求量明显 地要受到影响，这则是收入效应。因此，本节还要分析收入的变化对需求的影响。 我们将用总效应一词来表达价格与收入的变化所引起的需求的变动。对于总效应的研究， 其依据是上一节最后对命题 4 作说明时，所改写的需求基本矩阵方程：                 −          =        − − dr dp x E p u x p d dx T 1 0 0 ( ) 1   这个矩阵等式准确地表达了价格和收入的变化对需求的影响。但是，我们希望知道一些更加 具体、更加明确的需求变动规律，因而需要对如上方程进行深入分析。为了方便起见，令