第四章非线性模型 因变量和解释变量之间的线性关系,包括参数线性和解释变量线性两 种。前面的分析假定总体回归函数的形式为 PRF X=B1+B2X2+B3k3+…+BkXk+l12i=1,2,…k 但是根据经济现实或经济理论,变量之间不一定存在这种形式的线性关系 如参数线性形式的回归函数: , =B,+B,+ 或参数、变量均为非线性形式的函数关系,如C-D生产函数: Y=ALPIKP2e 对于这些不符合线性假定的模型进行参数估计,必须加以适当的变换 以后,才能用OLS方法估计模型参数
第四章 非线性模型 PRF Y X X X u i k i i i k ki i : , 1,2, , = 1 + 2 2 + 3 3 ++ + = 因变量和解释变量之间的线性关系，包括参数线性和解释变量线性两 种。前面的分析假定总体回归函数的形式为： 但是根据经济现实或经济理论，变量之间不一定存在这种形式的线性关系。 如参数线性形式的回归函数： i i i u X Y = + + 1 1 2 或参数、变量均为非线性形式的函数关系，如C-D生产函数： u Y AL K e 1 2 = 对于这些不符合线性假定的模型进行参数估计，必须加以适当的变换 以后，才能用OLS方法估计模型参数
对于参数线性的模型,可以采用变量的直接代换,转化为参数、变量 均为线性的形式进行估计。 、倒数模型: 函数形式为: B,+B2+u X 令变昌y*_1 ,则回归函数可变为: B+B2X+u 根据解释变量的观测值,计算出X*的之后进行OLS估计,得到 B+B2X 因此可得到原模型的估计方程: Y =B,+B
对于参数线性的模型，可以采用变量的直接代换，转化为参数、变量 均为线性的形式进行估计。 一、倒数模型： 函数形式为： i i i u X Y = + + 1 1 2 令变量 ，则回归函数可变为： i i X X * 1 = Yi X ui i = + + * 1 2 根据解释变量的观测值，计算出X*i 的之后进行OLS估计，得到： * 1 2 ˆ ˆ i Yi = + X 因此可得到原模型的估计方程： i i X Y 1 ˆ ˆ = 1 + 2
对数线性模型 通过对原模型的对数变换,函数形式可变为: In Y=I+B2In X2i+B2In x3i+u 令变量Y=h2X=hXk,则回归函数可变为 Y=B,+B,X+B,x+ 根据解释变量的观测值,进行OLS估计,得到 r=B,+B2x +B,x 因此可得到原模型的估计方程 In Y=B+B2In x2itb2n X3 例如,估计CD函数:Y=ADKe,两边取对数后: In K=hn A+B2In L +Bhn K+u 得到原模型的估计方程:hY=B1+B2nL+B2hK1 因此,CD函数的估计形式为:Y=eBL2K
二、对数线性模型： 通过对原模型的对数变换，函数形式可变为： Yi = 1 + 2 X2i + 2 X3i +ui ln ln ln 令变量 Y i ln Yi , X ki ln Xki ，则回归函数可变为： * * = = Y X X ui i i i = + + + * 2 * 1 2 * 2 3 根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到： 因此可得到原模型的估计方程： * 2 * 1 2 * 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i i Y = + X + X Yi 1 2 X2i 2 X3i ln ˆ ln ˆ ˆ ˆ ln = + + 例如，估计C-D 函数： u Y AL K e 1 2 = ，两边取对数后： Ki = A+ Li + Ki +ui ln ln 2 ln 2 ln 得到原模型的估计方程： Y Li Ki ln ˆ ln ˆ ˆ ˆ ln = 1 + 2 + 2 因此，C-D 函数的估计形式为： 1 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ Y = e L K
半对数线性模型: 模型的函数形式可变为: B+B2X+u 或Y=B1+B2lhX1+ Y=B,+B2X+u E y=B,+B2x+u 根据解释变量的观测值,进行OLS估计,得到 B+B2X1或Y=B1+B2X 因此可得到原模型的估计方程 B1+B,X 或Y=B1+B2hH 、多项式模型 模型的函数为: Bo+BX+B, +BkX+l1,i=1,2,…k 令变量X=Xk,同样可以进行参数的OLS估计
二、半对数线性模型： 模型的函数形式可变为： i i i i i i Y X u Y X u = + + = + + ln ln 1 2 1 2 或 令变量 ，同样可以进行参数的OLS估计。 k Xki = Xki * Y Xi ui Yi Xi ui i = + + = + + * 1 2 1 2 * 或 根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到： 因此可得到原模型的估计方程： * 1 2 1 2 ˆ * ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i i Y = + Xi 或 Y = + X i i X Yi e Y X i ln ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 ˆ ˆ 1 2 = = + + 或 三、多项式模型： 模型的函数为： Y X X X u i k i k i i k i ki , 1,2, , 2 = 0 + 1 1 + 2 2 ++ + =
第五章多重共线性 第一节违背古典假定的估计问题 我们关于经典线性回归模型(CLRM)有如下假定: 假定1:回归模型对参数是线性的 假定2:在重复抽样中X的值是固定的(非随机) 假定3:干扰项的均值为零。即,E(uX)=0 假定4:同方差性或u的方差相等。即 Var(u, X)=ELu-E(u)X12=E(u xi12=02 假定5:各个干扰项无自相关。即 Cov(u, u X Xi=Elu E(uiX( Xi]=EquilXqui Xi =0 假定6:u和X的协方差为零。即 Covlui X =elui-EquillXi-E(XD]=Elui (X-E(XD) equ, X, -e(u e(X =equi Xi=0 假定7:观测次数必须大于待估计的参数个数 假定8:解释变量X的只要有变异性。即一个样本中,Ⅹ不能完全相同 假定9:模型没有设定误差。 假定10:没有完全的多重共线性,即解释变量之间没有完全的线性关系 在现实中,以上假定不一定得到满足。本章讨论某些假定不成立时的估 计问题
我们关于经典线性回归模型（CLRM）有如下假定： 假定1：回归模型对参数是线性的 假定2：在重复抽样中X的值是固定的（非随机） 假定3：干扰项的均值为零。即，E(ui |Xi )=0 假定4：同方差性或ui的方差相等。即 Var(ui |Xi )=E[ui -E(ui )|Xi ] 2 = E(ui 2 |Xi ] 2 = 2 假定5：各个干扰项无自相关。即 Cov(ui ,uj |Xi ,Xj )=E[ui -E(ui |Xi ) ][uj -E(uj |Xj )] = E(ui |Xi )(uj |Xj ) = 0 假定6：ui和Xi的协方差为零。即 Cov(ui ,Xi ) = E[ui – E(ui )][Xi – E(Xi )] = E[ui (Xi – E(Xi ))] =E(ui Xi ) – E(ui )E(Xi） = E(ui Xi ) = 0 假定7：观测次数必须大于待估计的参数个数。 假定8：解释变量X的只要有变异性。即一个样本中，Xi不能完全相同。 假定9：模型没有设定误差。 假定10：没有完全的多重共线性，即解释变量之间没有完全的线性关系。 在现实中，以上假定不一定得到满足。本章讨论某些假定不成立时的估 计问题。 第五章 多重共线性 第一节 违背古典假定的估计问题