压起完问 可题万RA+RB=P(a) 由虎克定律式(3.18)求得各段变形为 NE R,I 2=2k2(短) A EA (伸长)△l2 EA EA csP+|1代入式△h=1△b1|即得补充方程 △l 以上两式称为物理方程。将此 R =BA(b)联解(a),(b)两式,得: R R 2P =100N()RB P 3200kN(个) (a) (c) 3,求各段应力和变形(反力求出以后就按静定问题求各段内力、应力和变形 M1_RA_100×10 N2R200×103 =50MPa(拉)a2=== AA20×100 20x10=100MPa(压) 11R,1100×103×1.0×103 EAEA200×103×20×1030,25mm(伸长) N2l2R2l2200×103×500 =0.25mm(缩短) EAEA2×105×2×10
§２－8 拉、压超静定问题 Ⅰ超静定问题及其解法 ( ) 1 1 1 1 伸长 EA R l EA N l l A D = = ( ) 2 2 2 2 缩短 EA R l EA N l l B D = = 100 ( ) 1 2 3 2 = = + = k N P P l l l RA 200 ( ) 3 2 1 2 1 = = + = k N P P l l l RB 50 ( ) 20 100 100 103 1 1 MPa 拉 A R A N A = = = = 100 ( ) 20 100 200 103 2 2 MPa 压 A R A N B = = = = 0.25 ( ) 200 10 20 10 100 10 1.0 10 3 2 3 3 1 1 1 1 mm 伸长 EA R l EA N l l A = D = = = 0.25 ( ) 2 10 2 10 200 10 500 5 3 3 2 2 2 2 mm 缩短 EA R l EA N l l B = D = = = 由虎克定律式(3.18)求得各段变形为: 以上两式称为物理方程。将此 代入式 D l1＝|D l2| 即得补充方程: RA+RB=P (a) EA (b)联解(a),(b)两式,得: R l EA R l A 1 B 2 = 3,求各段应力和变形(反力求出以后,就按静定问题求各段内力、应力和变形):
例:图a)所示三杆铰接组成的结构,<tm 给 由前述超静定问题的解法及例题 1,2两杆横截面刚度为E1A1,3杆为E3A3(可见,在综合应用变形的几何方面、 求在P力作用下三杆的内力。 变形与力之间的物理方面以及静力学 解:1,列静力平衡方程(取节点A为研 方面来解超静定问题时,根据问题的 究对象(图(c),其静力平衡方程为 变形相容条件写出变形几何方程(几) n1-N2 2N COSa+Na=p(a) 习何方面),并通过胡克定律(物理方 面)而得到补充方程,这是整个解题 未知力有三个,而平衡条件只有—步骤中的主要环节。抓住了这一环, 两个,故为一次超静定结构,需建立 超静定问题就迎刃而解了 个补充方程。 p P 2,建立补充方程(原结构下端铰接于A点,受到P力作用变形之后仍应铰接于A′ 线上。根据变位图,几何方程为:△1=△13c0S0(/4点A 点。作出A节点变位图(d)。由于结构的对称性,有:△1=△12 应在杆3的轴 物理方程为:Δ N11 34 N N3l3 (c)将式(c)代入式(b),得补充方程 cos a E1A E141E34 联立求解式(a)和(d),并注意到1Coso=13得 N,=N P(E, A, cosa/1) 2 E A cosa/4+E3 A3 /13 N P·(E343/l3) 2E14cos2a/h+E34/l2(2E141cos3a/E343)+1 2 cosa+(E, 4,/E,4, cosa 结果均为正,说明原假定三杆轴力均为拉力是正确的。由解可见:在超静定杆系问题中,各杆轴力与该杄本 身刚度和其它杆的刚度之比有关。刚度越大的杆杄,其轴力也越大。这是超静定结构的一个特性
2,建立补充方程(原结构下端铰接于A点,受到P力作用变形之后仍应铰接于A’ 点。作出A节点变位图(d)。由于结构的对称性,有:Dl1 =Dl2 ,A’点应在杆3的轴 线上。根据变位图,几何方程为: Dl1=Dl3cosa (b) 物理方程为: §２－8 拉、压超静定问题 Ⅰ超静定问题及其解法 例:图(a)所示三杆铰接组成的结构, 1,2两杆横截面刚度为E1A1,3杆为E3A3。 求在P力作用下三杆的内力。 解:1,列静力平衡方程(取节点A为研 究对象(图(c)),其静力平衡方程为: N1=N2 2N1cosa+N3=P (a) 未知力有三个,而平衡条件只有 两个,故为一次超静定结构,需建立一 个补充方程。 2cos ( cos ) 2 cos ( cos ) 2 3 3 1 1 1 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 2 a a a a E A E A P E A l E A l P E A l N N + = + = = 2 cos (2 cos ) 1 ( ) 3 3 3 1 3 3 3 1 1 2 1 1 3 3 3 3 + = + = E A E A P E A l E A l P E A l N a a 由前述超静定问题的解法及例题 可见，在综合应用变形的几何方面、 变形与力之间的物理方面以及静力学 方面来解超静定问题时，根据问题的 变形相容条件写出变形几何方程（几 何方面），并通过胡克定律（物理方 面）而得到补充方程，这是整个解题 步骤中的主要环节。抓住了这一环， 超静定问题就迎刃而解了。 (c) 将式(c)代入式(b),得补充方程: 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 E A N l l E A N l Dl = D = cosa 3 3 3 3 1 1 1 1 E A N l E A N l = 联立求解式(a)和(d),并注意到l1cosa =l3得: 结果均为正,说明原假定三杆轴力均为拉力是正确的。由解可见:在超静定杆系问题中,各杆轴力与该杆本 身刚度和其它杆的刚度之比有关。刚度越大的杆,其轴力也越大。这是超静定结构的一个特性。 (d)