我们假定:各个水平A1(i=1,2,,r)下的样本X1X2,X1m来自具有 相同方差G2,均值分别为μ(i=1,2,,r)的正态总体N(p12),与2 未知。且设不同水平A2下的样本之间相互独立。 由于X1~N(p,2),即有X吗2~N(0,a2)。因此,X1-可看 成随机误差。记X1H1=,则X可写成 E:~N(0,c2),各:独立, (1.1) i=1,2,3,…,r;j=1,2,…,n 其中μ与σ均为未知参数。(1.1)式称为单因素试验方差分析的 数学模型。这是本节的研究对象。 方差分析的任务是对于模型(1.1),一是检验r个总体N(p1012) N(μ2o2)…,N(12)的均值是否相等,即检验假设 H0:1=2=,=;H1:1,2…,不全相等。(1.2) 二是作出未知参数μ1μ2…,H-,σ2的估计。(二略)。 为了将问题(12)写成便于讨论的形式我们将p1,2,H的加权平 均值 M2记为μ,即 N ∑ 其中 N u称为总平均。再引入
我们假定：各个水平Ai (i=1,2,… ,r)下的样本Xi1,Xi2,…,Xi,ni来自具有 相同方差σ 2，均值分别为μi (i=1,2,…,r) 的正态总体N(μi ,σ2 )，μi与σ 2 未知。且设不同水平Ai下的样本之间相互独立。 由于Xij ~ N(μi ,σ2 )，即有Xij - μi ~N（0， σ 2 ）。因此, Xij - μi可看 成随机误差。记Xij - μi =εij，则Xij可写成 Xij = μi +εij， εij ~N（0，σ 2 ），各εij独立， （1.1) i =1，2，3，… ，r； j=1，2，… ，ni 。 其中μi与σ 2均为未知参数。(1.1)式称为单因素试验方差分析的 数学模型。这是本节的研究对象。 方差分析的任务是对于模型（1.1) ，一是检验r个总体N(μ1 ,σ1 2 ), N(μ2 ,σ2 2 ),…,N(μr ,σr 2 )的均值是否相等，即检验假设 H0 : μ1=μ2=…=μr ; H1 : μ1 ,μ2 ,…,μr不全相等。 (1.2) 二是作出未知参数μ1 ,μ2 ,…,μr， σ 2的估计。（二略）。 为了将问题(1.2)写成便于讨论的形式,我们将μ1 ,μ2 ,…,μr的加权平 均值 记为μ ,即 其中 , μ 称为总平均。再引入 = r i ni i N 1 1 = = r i i i n N 1 1 = = r i N ni 1
6=μ,i=1,2,,r,此时有n61+n262+,+n,6,=0,6表示水 平A下的总体平均值与总平均的差异,习惯上将δ称为水 平A的效应。 利用这些记号,模型(1.1)可改写成 X:=+6;k5 EN(0,02),各;独立 1,2 1.2 (1.1) n6.=0 i=1 而假设(12)等价于假设 H:6,= 6.=0 0 (1.2) H1:δ,2,…,δ不全为零 这是因为当且仅当μ=2=…甲时,1=即,即81=0, i=1,2,,r
δi=μi -μ , i=1,2,…,r，此时有n1 δ1+n2 δ2+…+nr δr=0,δi表示水 平Ai下的总体平均值与总平均的差异，习惯上将δi称为水 平Ai的效应。 利用这些记号，模型（1.1)可改写成 Xij=μ+δi+εij , εij~N(0,σ2 ) , 各εij独立 i=1,2,…,r ; j=1,2,…,ni 而假设（1.2)等价于假设 这是因为当且仅当μ1=μ2=…=μr时， μi = μ，即δi =0， i=1,2,…,r 。 0 1 = = r i ni i (1.1) (1.2) : , , , . : 0; 1 1 2 0 1 2 r 不全为零 r H H = == =
§712离差平方和的分解 下面我们从平方和的分解着手,导出假设检验问题(1.2) 的检验统计量。 引入总的离差平方和 SS=∑∑(X-X)2 i=1j=1 其中 X N ∑∑X 是数据的总平均。SS1能反应全部试验数据之间的差异, 因此SSr又称为总变差。又记A水平下的样本平均值 为X1,即 X,=-∑X1i=1
§7.1.2 离差平方和的分解 下面我们从平方和的分解着手，导出假设检验问题 的检验统计量。 引入总的离差平方和 其中 是数据的总平均。SST 能反应全部试验数据之间的差异， 因此SST 又称为总变差。又记Ai水平下的样本平均值 为 ，即 (1.2) = = = − r i n j T i j i SS X X 1 1 2 ( ) X i r n X ni j i j i i 1,2, , 1 1 = = = = = = r i n j ij i X N X 1 1 1 X i
我们将SS写成 S=∑∑(x2-x)+(x-x)=∑∑(x2-x) +∑∑(x-x)+2∑∑(x-xx-x) 注意到上式第三项(即交叉项) 2(-x),-x)=2(x)(x,-x 2∑(x-x)∑x-nX=0 于是我们就将SS1分解成为SS=SS+SS(1.3)
我们将SST写成 注意到上式第三项（即交叉项） 于是我们就将SST分解成为 SST=SSE+SSA （1.3) ( ) ( ) ( ) (X X ) (X X )(X X ) SS X X X X X X i r i n j i i j r i n j i r i n j r i n j i i j i i T i j i i i i + − + − − = − + − = − = = = = = = = = 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0 2 2 1 1 1 1 1 1 = = − − − − = − − = = = = = = i i i n j i i j i r i i n j i i j r i i i r i n j i i j X X X n X X X X X X X X X
其中 S5=∑∑(xn-x) SS各项(Xn-XJ表示在水平A下,样本观察值与 样本均值的差异,这是由随机误差所引起的。叫做误差 平方和(或组内离差平方和)。 S5=∑∑(x-x)=∑n(x,-x) i=1j=1 i=1 NX SS的各项nx-X)表示A水平下的样本均值与数据 总平均的差异,这是由水平A的效应的差异以及随机误 差引起的。SS叫做因素A的效应平方和(或组间离差平 方和)。(1.3)式就是我们所需要的平方和分解式
其中 SSE的各项 表示在水平Ai下，样本观察值与 样本均值的差异，这是由随机误差所引起的。叫做误差 平方和（或组内离差平方和）。 SSA的各项 表示Ai水平下的样本均值与数据 总平均的差异，这是由水平Ai的效应的差异以及随机误 差引起的。SSA 叫做因素A的效应平方和（或组间离差平 方和）。(1.3)式就是我们所需要的平方和分解式。 ( ) 2 1 1 = = = − r i n j i E ij i SS X X ( ) 2 − i Xij X ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 1 2 n X N X SS X X n X X r i i i i r i i r i n j i A i = − = − = − = = = = ( ) 2 ni X i − X