证券市场的不同描述方式 ·给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我们可以形成N个线性 独立的组合，记为01，.，0，.，0w。此时我们可以把每个组合当 作一个证券，它们的支付矩阵是 X.8 Xg三 Xo.6 Xo.0o Xo.0N =X[e,.,0n,.,0w]=XH Xo.a Xo.0 Xo.ON 其中，Xg的第n列是组合On的支付向量。Xe是满秩的
证券市场的不同描述方式 • 给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我们可以形成N个线性 独立的组合，记为𝜃1 , ⋯ , 𝜃𝑛, ⋯ , 𝜃𝑁。此时我们可以把每个组合当 作一个证券，它们的支付矩阵是 其中，𝑋𝜃的第n列是组合𝜃𝑛的支付向量。𝑋𝜃是满秩的
·证明：令H三[日1，.，0N,则H为(N×N)矩阵。因为各组合（即H的列向量）之 间是独立的，H满秩。由于rank(AB)≤min{rank(A),rank(B),rank(X)= rank(XHH-1)≤min{rank(XH),rank(H-1)}≤rank(XH)≤rank(X),于 是rank(XH)=rank(X)=WN。因而Xe也是满秩的。 ·用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合。特别的，我们可以用 这些组合来复制原始证券： X=XoH- ·H-1的第n列，记作H,给出了由组合0，.，0N生成的一个组合，也就是X= XgH-1的第n列，这与开始的第n只证券的支付相同。也就是说，O,.,0v的 组合H复制了原始市场结构中的第只证券。原始证券的任意组合0，都可 以由01，.，0N的组合H-10复制：
• 证明：令𝐻 ≡ ൣ𝜃 ൧ 1 , ⋯ , 𝜃𝑁 ,则H为(𝑁 × 𝑁)矩阵。因为各组合(即H的列向量)之 间是独立的，H满秩。由于𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴𝐵) ≤ min{𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴), 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵)}, 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋𝐻𝐻 −1 ) ≤ min{𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋𝐻), 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐻 −1 )} ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋𝐻) ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑋)，于 是𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑋𝐻 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑋 = 𝑁。因而𝑋𝜃也是满秩的。 • 用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合。特别的，我们可以用 这些组合来复制原始证券： • 𝐻 −1的第n列，记作𝐻⋅,𝑛 −1 ,给出了由组合𝜃1 , ⋯ , 𝜃𝑁生成的一个组合，也就是𝑋 = 𝑋𝜃𝐻 −1的第n列，这与开始的第n只证券的支付相同。也就是说， 𝜃1 , ⋯ , 𝜃𝑁的 组合𝐻⋅,𝑛 −1复制了原始市场结构中的第n只证券。原始证券的任意组合𝜃，都可 以由𝜃1 , ⋯ , 𝜃𝑁的组合𝐻 −1 𝜃复制： 1 X X H − =