图6-8所示是工程上常见的各种不完整的曲面体，应该熟悉它们的投影 eA合68 本申①① 扫 e) 图68不完整的曲面体 a)圆维台b)半圆柱c)半球d)半圆简e)鼓形回转体)四分之一圆环面 6.2平面与立体相交 在工程上常常会遇到平面与立体相交的情形。例如，车刀的刀头是由一个四棱柱被四 个平面切割而成的（图69）：铣床上的尾座顶尖，是由两回转体被平面切割而成的（图 69%)。平面与立体表面相交的交线称为截交线，平面称为截平面。在画图时，为了清楚地 表达它们的形状，必须画出交线的投影。本节将讨论交线的作图方法。 图69立体与平面相交 a)车刀 b)顶尖 立体被平面截切时，立体形状和截平面相对位置不同，所形成截交线的形状也不同 135
135 图 6-8 所示是工程上常见的各种不完整的曲面体，应该熟悉它们的投影。 6.2 平面与立体相交 在工程上常常会遇到平面与立体相交的情形。例如，车刀的刀头是由一个四棱柱被四 个平面切割而成的（图 6-9a）；铣床上的尾座顶尖，是由两回转体被平面切割而成的（图 6-9b）。平面与立体表面相交的交线称为截交线，平面称为截平面。在画图时，为了清楚地 表达它们的形状，必须画出交线的投影。本节将讨论交线的作图方法。 立体被平面截切时，立体形状和截平面相对位置不同，所形成截交线的形状也不同。 图 6-8 不完整的曲面体 a）圆锥台 b）半圆柱 c）半球 d）半圆筒 e）鼓形回转体 f）四分之一圆环面 a） b） 图 6-9 立体与平面相交 a）车刀 b）顶尖 a） b） c） d） e） f）
但任何截交线都具有以下性质： (1)截交线是截平面和立体表面的共有线。 (2)截交线一般是封闭的平面图形。 6.2.1.平面与平面立体相交 1.平面与平面立体相交平面与平面立体相交所得的截交线是由直线组成的封闭多边 形，如图6-10a所示。多边形的边数取决于立体上与平面相交的棱线的数目，如图6-10 所示，用同一平面按不同位置切割立方体时，其截交线可以是三边形、四边形、五边形或 六边形。 b) 图610截交线与截断面 根据截交线的性质，求截交线可归结为求截平面与立体表面的共有点、线的问题。由 于物体上绝大多数的截平面是特殊位置平面，因此可利用积聚性作出其共有点、线。 例1完成截切后的三棱锥投影（见图6-11）。 分析：如图6-11为一三棱锥S4BC被一正垂面P所截切，由于P具有积聚性，所以 交线的正面投影与Pr重影。 作图： 图6-11平面截切三棱锥 图6-12带缺口的三棱锥 (1)Pr与s4a4、s4b1、s1c4的交点11、21、34为截平面与各棱线的交点I、Ⅱ、Ⅲ 的正面投影。 (2)根据线上取点的方法作出其水平投影1、2、3及侧面投影1号、2、3 136
136 但任何截交线都具有以下性质： （1）截交线是截平面和立体表面的共有线。 （2）截交线一般是封闭的平面图形。 6.2.1. 平面与平面立体相交 1.平面与平面立体相交 平面与平面立体相交所得的截交线是由直线组成的封闭多边 形，如图 6-10a 所示。多边形的边数取决于立体上与平面相交的棱线的数目，如图 6-10b 所示，用同一平面按不同位置切割立方体时，其截交线可以是三边形、四边形、五边形或 六边形。 根据截交线的性质，求截交线可归结为求截平面与立体表面的共有点、线的问题。由 于物体上绝大多数的截平面是特殊位置平面，因此可利用积聚性作出其共有点、线。 例 1 完成截切后的三棱锥投影（见图 6-11）。 分析：如图 6-11 为一三棱锥 S-ABC 被一正垂面 P 所截切，由于 PV 具有积聚性，所以 交线的正面投影与 PV 重影。 作图： （1）PV 与 sa、sb、sc的交点 1、2、3为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 的正面投影。 （2）根据线上取点的方法作出其水平投影 1、2、3 及侧面投影 1、2、3。 1 2 3 3 4 5 6 1 2 2 2 1 1 3 3 4 4 5 a） b） 图 6-10 截交线与截断面 P X c 3 2 b a m s 1 V s m 2 3 1 a b c c a b 2 1 3 s c 3 a 1 4 s 2 b y y y y a 1 4 s 2 3 b c c a b 2 1 3 4 s ( ) 图 6-11 平面截切三棱锥 图 6-12 带缺口的三棱锥
(3)连接各点的同面投影即得截交线的三个投影。 例2完成带缺口的三棱锥的投影（见图6-12）。 分析：图612为一带切口的三棱锥，切口由水平截面和正垂截面组成，切口的正面投 影有积聚性。水平截面与三棱锥的底面平行，因此它与△SAB棱面的交线IⅡ必平行于底 边AB,与△SMC棱面的交线IⅢ必平行于底边AC,正垂截面分别与△SMB、△SMC棱面 交于ⅡV和ⅢⅣ。由于组成切口的两个截面都垂直于正投影面，所以两截面的交线ⅡⅢ 一定是正垂线，画出这些交线的投影即完成切口的水平投影和侧面投影。 作图： (1)由11在sa上作出1，由12∥ab、13∥ac,再分别由21、34在12和13上作出2、 3。由121和12作出123，由1134和13作出13号。12和13重合在水平截面 的侧面投影上。 (2)由41分别在a和s9上作出4和4，然后再分别与2、3和2、3连成42 43和42、43，即完成切口的水平投影和侧面投影。特别注意组成切口两截面交线 的水平投影23应连成虚线。 2.平面立体被切割，开槽与穿孔平面立体被切割、开槽与穿孔时，随着截切面的位 置不同，变化甚多。以下列举几个在零件中最常见的基本情况。 (1)图6-13a所示四棱柱的前后棱面P均为侧垂面，被水平面R和侧平面Q所切割 先作出切割后的主视图与左视图。水平面R与前、后侧垂面P的交线AB和CD均为侧垂 线，拉先找出其在左视图上的投影 一点a"b“和c”d”,再按宽相等的投影规律，作出交线 在俯视图上的投影ab和cd。 (a) (6) 图6-13四棱柱体被切剖 图6-13b为同样的四棱柱被正垂面S所斜切，由于平面S和P分别在主、左视图上具 有重影性，因此它们的交线AB(一般位置线)在主、左视图上的投影ab'和a"b“分别与 s和p”重影。按投影规律便能作出该交线在俯视图上的投影ab。 如切割的部位从四棱柱的左上方移到中上方，如图6-14a,则习惯上称之为开槽。如 切割部位移到四棱柱的中部，如图6-14b,则习惯上称之为穿孔。其交线的求法与图6-13a 所述基本相同，请读者自行分析。 137
137 （3）连接各点的同面投影即得截交线的三个投影。 例 2 完成带缺口的三棱锥的投影（见图 6-12）。 分析：图 6-12 为一带切口的三棱锥，切口由水平截面和正垂截面组成，切口的正面投 影有积聚性。水平截面与三棱锥的底面平行，因此它与△SAB 棱面的交线ⅠⅡ必平行于底 边 AB，与△SAC 棱面的交线ⅠⅢ必平行于底边 AC，正垂截面分别与△SAB、△SAC 棱面 交于Ⅱ Ⅳ和Ⅲ Ⅳ。由于组成切口的两个截面都垂直于正投影面，所以两截面的交线ⅡⅢ 一定是正垂线，画出这些交线的投影即完成切口的水平投影和侧面投影。 作图： （1）由 1在 sa 上作出 1，由 12∥ab、13∥ac，再分别由 2、3在 12 和 13 上作出 2、 3。由 12和 12 作出 12，由 13和 13 作出 13。12和 13重合在水平截面 的侧面投影上。 （2）由 4分别在 sa 和 sa上作出 4 和 4，然后再分别与 2、3 和 2、3连成 42、 43 和 42、43，即完成切口的水平投影和侧面投影。特别注意组成切口两截面交线 的水平投影 23 应连成虚线。 2．平面立体被切割，开槽与穿孔 平面立体被切割、开槽与穿孔时，随着截切面的位 置不同，变化甚多。以下列举几个在零件中最常见的基本情况。 （1） 图 6-13a 所示四棱柱的前后棱面 P 均为侧垂面，被水平面 R 和侧平面 Q 所切割， 先作出切割后的主视图与左视图。水平面 R 与前、后侧垂面 P 的交线 AB 和 CD 均为侧垂 线，应先找出其在左视图上的投影——点 a"b"和 c"d"，再按宽相等的投影规律，作出交线 在俯视图上的投影 ab 和 cd。 图 6-13b 为同样的四棱柱被正垂面 S 所斜切，由于平面 S 和 P 分别在主、左视图上具 有重影性，因此它们的交线 AB（一般位置线）在主、左视图上的投影 a'b'和 a"b"分别与 s'和 p″重影。按投影规律便能作出该交线在俯视图上的投影 ab。 如切割的部位从四棱柱的左上方移到中上方，如图 6-14a，则习惯上称之为开槽。如 切割部位移到四棱柱的中部，如图 6-l4b，则习惯上称之为穿孔。其交线的求法与图 6-13a 所述基本相同，请读者自行分析。 a b d c q p a'c' d' b' p' q' c"d" a"b" r r" q" p" s a b p a' b' p' s' a" b" s" p" r' （a） （b） 图 6-13 四棱柱体被切割
(a) 图6-14开槽与穿孔 (2)图6-15为零件的应用实例一一垫块的形体分析图。图6-15a表示该垫块是由上 部的四棱锥台和下部的长方块叠加而成，在长方块下部左、右被切割后而形成燕尾形凸块 的投影。图6-15b表示四棱锥台中部开槽后的投影（作图方法与图6-14妇相同），从而完成 该垫块的三个投摄影。 图6-15垫块的形体分析 模型制作：用泡沫等材料做出三棱、四棱、五棱的柱和锥，并进行切割，使截面为 角形、四边形、五边形、六边形等，或进行多次切割，观察截面形状，并徒手绘图图示之。 6.2.2.平面与曲面立体相交 平面与曲面立体相交，所得截交线是平面曲线或平面曲线与直线的封闭形，特殊情况 为直线的封闭形。 1.平面与圆柱相交 (1)交线分析平面与圆柱相交时，根据平面对圆柱轴线的位置不同，其截交线有 138
138 （2）图 6-15 为零件的应用实例——垫块的形体分析图。图 6-15a 表示该垫块是由上 部的四棱锥台和下部的长方块叠加而成，在长方块下部左、右被切割后而形成燕尾形凸块 的投影。图 6-15b 表示四棱锥台中部开槽后的投影（作图方法与图 6-l4a 相同），从而完成 该垫块的三个投影。 模型制作：用泡沫等材料做出三棱、四棱、五棱的柱和锥，并进行切割，使截面为三 角形、四边形、五边形、六边形等，或进行多次切割，观察截面形状，并徒手绘图图示之。 6.2.2. 平面与曲面立体相交 平面与曲面立体相交，所得截交线是平面曲线或平面曲线与直线的封闭形，特殊情况 为直线的封闭形。 1.平面与圆柱相交 （1）交线分析 平面与圆柱相交时，根据平面对圆柱轴线的位置不同，其截交线有 a b a b a b a b c d a c b d c b d a （a） （b） 图 6-14 开槽与穿孔 图 6-15 垫块的形体分析
三种情形圆、椭圆和两平行直线，见表6-1。 表61平面与圆柱相交的各种情形 截平面位置 轴线垂 与轴线倾斜 与轴线平行 空间形状 支调花表面 两平行直线 (2)应用实例 1)圆柱被与圆柱轴线平行的平面截切图6-16a所示圆柱体的左、右被切割，先作出 切割后的正面投影，再作出水平投影，最后通过水平投影与正面投影求出侧面投影。侧平 面P的水平投影p与圆的交点(b)为截平面P与圆柱面交线AB的水平投影，按投影规律 作出交线AB的侧面投影a”b”,从而完成被切割后的侧面投影。 图6-16b和c分别表示圆柱体被开槽和穿孔，其交线AB的求法与图6-16a所述基本相 同，但必须注意，在侧面投影上的开槽与穿孔部位处，圆柱的外形轮廓线由于开槽和穿孔 而不存在了。 9⊕ 图6-16圆柱体被切制、开槽与穿孔 a)切制b)开槽c)穿孔 图6-17a、b、c分别表示空心圆柱体被切割、开槽和穿孔后的三面投影画法。作图时 应分别作出切割平面与圆柱外表面及内圆柱表面（即圆柱孔）的交线AB及CD的投影 139
139 三种情形圆、椭圆和两平行直线，见表 6-1。 表 6-1 平面与圆柱相交的各种情形 截平面位置 与轴线垂直 与轴线倾斜 与轴线平行 空间形状 与圆柱表面 交线形状 圆 椭圆 两平行直线 （2）应用实例 1）圆柱被与圆柱轴线平行的平面截切 图 6-16a 所示圆柱体的左、右被切割，先作出 切割后的正面投影，再作出水平投影，最后通过水平投影与正面投影求出侧面投影。侧平 面 P 的水平投影 p 与圆的交点 a(b)为截平面 P 与圆柱面交线 AB 的水平投影，按投影规律 作出交线 AB 的侧面投影 a"b"，从而完成被切割后的侧面投影。 图 6-16b 和 c 分别表示圆柱体被开槽和穿孔，其交线 AB 的求法与图 6-16a 所述基本相 同，但必须注意，在侧面投影上的开槽与穿孔部位处，圆柱的外形轮廓线由于开槽和穿孔 而不存在了。 图 6-17a、b、c 分别表示空心圆柱体被切割、开槽和穿孔后的三面投影画法。作图时 应分别作出切割平面与圆柱外表面及内圆柱表面（即圆柱孔）的交线 AB 及 CD 的投影， p a b p b a a b p ( ) a b b a a b ( ) a b b a a b a） b） c） 图 6-16 圆柱体被切割、开槽与穿孔 a）切割 b）开槽 c）穿孔