物 内蒙古科技大学教案 材料与冶金学院李振亮 课程名称：《材料成型控制工程基础》（第4章，共11章） 编写时间：2010年8月29日 4.控制系统的状态空间分析 授课章节 4.1现代控制理论的优越性4.2状态空间描述4.3系统的可控性和可观测性4.4可控性及 可观测性与传递函数零极点对消的关系4.6极点配置 目的要求 本章内容属于现代控制理论的研究范畴，主要介绍“状态空间法”的概念、求解、应用： 系统可控性和可观测性的概念及其判定准则：极点配置等相关内容 重点：如何理解系统的可控性和可观测性，它们的判定准则，以及如何进行相关计算。极 重点难点 点配置相关理论与计算。 难点：转移矩阵、传递矩阵、极点配置
1 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案 材 料 与 冶 金 学 院 李 振 亮 课程名称：《材料成型控制工程基础》 （第 4 章，共 11 章） 编写时间：2010 年 8 月 29 日 授课章节 4．控制系统的状态空间分析 4.1 现代控制理论的优越性 4.2 状态空间描述 4.3 系统的可控性和可观测性 4.4 可控性及 可观测性与传递函数零极点对消的关系 4.6 极点配置 目的要求 本章内容属于现代控制理论的研究范畴，主要介绍“状态空间法”的概念、求解、应用； 系统可控性和可观测性的概念及其判定准则；极点配置等相关内容。 重点难点 重点：如何理解系统的可控性和可观测性，它们的判定准则，以及如何进行相关计算。极 点配置相关理论与计算。 难点：转移矩阵、传递矩阵、极点配置
4.控制系统的状态空间分析 4.1现代控制理论的优越性 现代控制理论的理论基础是建立在系统的状态空间描述与分析之上。 1932年奈奎斯特(H.Nvquist)提出在频率域内研究系统的频率响应法，1948年伊万斯 (W.REwans)提出在复数域内研究系统的根轨迹法（图解法），建立在这两者之上的扫 制理论通称为古典控制理论。 古典控制理论分析系统的数学模型用传递函数，它只适用单输入一单输出系统：对 掌握 系统性质的分析从本质上是一种频率法，即靠各频率分量来描述信号，该方法只限于在 线性定常系统中应用，否则不满足叠加原理。因此古典控制理论只限于对简单的单输入 一单输出的线性定常系统进行分析和设计。由于以传递函数为基础，是在复数域或频率 域对控制系统进行研究，这就限制了整个过程在时间域内进行控制的能力，因此难以实 现实时控制：设计方法建立在试探法基础上，很难设计出品质指标最优的控制系统，也 难以实现最优控制。 现代控制理论采用了状态空间法，因此所研究的系统可以是单输入一单输出，也可 以是多输入一多输出：可以是线性，也可以是非线性：可以定常的，也可以是时变的： 可以是集中参数的 也可以分布参数的： 可以是连续型的，也可以是离散型的：它的 究内容主要包括下面三部分： (1)以最小二乘法为基础的系统辩识。 (2)以极大值原理和动态规划为主要方法的最优控制。 (3)以卡尔品滤波理论为核心的最佳估计。 式，然国 学每号，方使运。 下面换一个角度来说说两种控制理论的不同。 目前分析动态系统的物理过程有如下两种： (1)输入一输出描述法。也称古典控制理论。数学工具借助于拉普拉斯变换在复数 域内分析系统的传递函数。 (2状态描述法，即现代控制理论。对系统的描述变量除了输入、输出变量之外，还有 内蒙古科技大学教案
2 4．控制系统的状态空间分析 4.1 现代控制理论的优越性 现代控制理论的理论基础是建立在系统的状态空间描述与分析之上。 1932 年奈奎斯特（H.Nyquist）提出在频率域内研究系统的频率响应法，1948 年伊万斯 （W.R.Ewans）提出在复数域内研究系统的根轨迹法（图解法），建立在这两者之上的控 制理论通称为古典控制理论。 古典控制理论分析系统的数学模型用传递函数，它只适用单输入—单输出系统；对 系统性质的分析从本质上是一种频率法，即靠各频率分量来描述信号，该方法只限于在 线性定常系统中应用，否则不满足叠加原理。因此古典控制理论只限于对简单的单输入 —单输出的线性定常系统进行分析和设计。由于以传递函数为基础，是在复数域或频率 域对控制系统进行研究，这就限制了整个过程在时间域内进行控制的能力，因此难以实 现实时控制；设计方法建立在试探法基础上，很难设计出品质指标最优的控制系统，也 难以实现最优控制。 现代控制理论采用了状态空间法，因此所研究的系统可以是单输入—单输出，也可 以是多输入—多输出；可以是线性，也可以是非线性；可以定常的，也可以是时变的； 可以是集中参数的，也可以分布参数的；可以是连续型的，也可以是离散型的；它的研 究内容主要包括下面三部分： （1）以最小二乘法为基础的系统辩识。 （2）以极大值原理和动态规划为主要方法的最优控制。 （3）以卡尔曼滤波理论为核心的最佳估计。 状态空间法的实质就是将系统的高阶运动方程写成一种一阶微分方程组的形式，然而 再把一阶微分方程组写成矩阵方程，这样就简化了数学符号，方便运算。 下面换一个角度来说说两种控制理论的不同。 目前分析动态系统的物理过程有如下两种： （1）输入—输出描述法。也称古典控制理论。数学工具借助于拉普拉斯变换在复数 域内分析系统的传递函数。 （2）状态描述法，即现代控制理论。对系统的描述变量除了输入、输出变量之外，还有 掌握 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案
表征系统内部特征的状态变量：状态法的数学基础是矩阵方程，用它来建立上述三者之间 的函数关系，属于时域范畴分析法。一般来讲，分析复杂系统宜用状态分析法。 4.2状态空间描述 4.2.1基本摄念 ④)状态。系统的状态就是指系统的过去，现在和将来的状况 。当系统的所有外部输入 已知时，为确定系统未来运动所必要与充分的信息的集合叫做系统的状态 (2)状态变量。状态变量是能够全面确定系统中状态的最小一组变量，并满足： I)当to时刻，x,x,.xo)能确定系统的初始状态： 2)当心o时刻的输入和初始状态一旦确定，这组变量便可完全、唯一地反映心o任何时 刻的运动。这里“完全”表示反映系统的全部状况：“最小”表示确定系统的状况无多余信 注意： 个系统的状态变量的选取不是唯一的，它往往与系统中的能量有关。典型状态 变量有：位能、动能、电能、磁能、热能等。 若一个系统的状态变量的数目为，则称之为维系统。对于一个确定的系统，其状态 变量数目是不变量，但组成不一定是唯一的。 x看成向量)的n个分量，并写成矩阵的向量形 [x(0] x()= x2(0 x.( 根据状态变量的定义可知，当x及系统的输入给定时，)可唯一地确定。 (4)状态空间。由x1轴，x轴， ,X轴所构成的n维空间叫做n维状态空间。任意状 态都可以用状态空间中的一个点来表示。 42.2系统的状态空间表示式 为了分析动态系统的运动， 对于古典控制理论需要从系统的微分方程出发，建立输入 与输出之间的传递函数：同样，对于现代控制理论也要从系统的微分方程出发，建立输入 与状态之间以及状态与输出之间的状态空间表达式。省略其推导过程，状态空间表达式的 标准式包括下面两部分： ()表征系统的状态变量和输入变量之间的状态方程 重点（考点） X=A+刷 (41) 式中：x一一表示系统中的状态变量X1,x2.x所组成n维向量。 =状态变量 内蒙古科技大学教案
3 表征系统内部特征的状态变量；状态法的数学基础是矩阵方程，用它来建立上述三者之间 的函数关系，属于时域范畴分析法。一般来讲，分析复杂系统宜用状态分析法。 4.2 状态空间描述 4.2.1 基本概念 (1)状态。系统的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。当系统的所有外部输入 已知时，为确定系统未来运动所必要与充分的信息的集合叫做系统的状态。 (2)状态变量。状态变量是能够全面确定系统中状态的最小一组变量，并满足： 1)当 t=t0 时刻，x1(t0)，x2(t0),.,xn(t0)能确定系统的初始状态； 2)当 t≥t0 时刻的输入和初始状态一旦确定，这组变量便可完全、唯一地反映 t≥t0 任何时 刻的运动。这里“完全”表示反映系统的全部状况；“最小”表示确定系统的状况无多余信 息。 注意：一个系统的状态变量的选取不是唯一的，它往往与系统中的能量有关。典型状态 变量有：位能、动能、电能、磁能、热能等。 若一个系统的状态变量的数目为 n，则称之为 n 维系统。对于一个确定的系统，其状态 变量数目是不变量，但组成不一定是唯一的。 (3)状态向量。将状态 x1(t),x2(t),.,xn(t)看成向量 x(t)的 n 个分量，并写成矩阵的向量形 式，即 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x t x t x t x t n 根据状态变量的定义可知，当 x0(t)及系统的输入给定时，x(t)可唯一地确定。 (4)状态空间。由 x1 轴，x2 轴，.，xn 轴所构成的 n 维空间叫做 n 维状态空间。任意状 态都可以用状态空间中的一个点来表示。 4.2.2 系统的状态空间表示式 为了分析动态系统的运动，对于古典控制理论需要从系统的微分方程出发，建立输入 与输出之间的传递函数；同样，对于现代控制理论也要从系统的微分方程出发，建立输入 与状态之间以及状态与输出之间的状态空间表达式。省略其推导过程，状态空间表达式的 标准式包括下面两部分： ⑴表征系统的状态变量和输入变量之间的状态方程 = • X Ax + Bu (4-1) 式中： x——表示系统中的状态变量 x1,x2.xn 所组成 n 维向量。 x= xn x x 2 1 =状态变量 重点（考点） 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案
式中：文一状态变量的导数，2.xn所组成的向量。 k d d d 式中： 系统输入变量的向量。 A、B 一系数矩阵 (2②)表征系统的状态变量和输入、输出变量之间关系的输出方程 Y=Cx+Du (4-2) 式中：了一输出变量的向量 C.D- 一系数矩阵， 一船桔识下D=0 423.系统在不同输入作用下状态空间表达式 (I)榆入作用不含导数项的单输入阶系统的状态空间表达式 在单输入=u作用下，n阶系统的微分方程为 y(m)++d y+dy=u (4-3) 当0时的初始条件，y(),ym-(和心0时输入“已知时，系统的运动状态可完全 确定。取 「x 重点 X2 为一组状态变量，并设 x x;=y Xx=j(o-1) (4-4) 这样，n阶微分方程式4-3便可用n个一阶微分方程组成的状态方程来表示，即： x%2 X=-ax-a-1x-a+u (4-5) 将上式表示成矩阵形式，得 =Ax+Bu (4-6) 内蒙古科技大学教案
4 式中： • X —状态变量的导数， 1 • x , 2 • x . x n • 所组成的向量。 = = • dt dx dt dx dt dx x n 1 式中：u——系统输入变量的向量。 A、B——系数矩阵。 ⑵表征系统的状态变量和输入、输出变量之间关系的输出方程 Y=Cx + Du (4-2) 式中：Y——输出变量的向量 C、D——系数矩阵，一般情况下 D=0。 4.2.3.系统在不同输入作用下状态空间表达式 (1)输入作用不含导数项的单输入 n 阶系统的状态空间表达式 在单输入 U=u 作用下，n 阶系统的微分方程为 (n) y +a1 (n−1) y +.+ n−1 a • y + n a y = u (4-3) 当 t=0 时的初始条件 y(0), • y (0), ., (n−1) y (0)和 t≥0 时输入 u(t)已知时，系统的运动状态可完全 确定。取 x= xn x x 2 1 为一组状态变量，并设 x1=y x2= • y . . xn= (n−1) y (4-4) 这样，n 阶微分方程式 4-3 便可用 n 个一阶微分方程组成的状态方程来表示，即： • 1 x =x2 • 2 x =x3 . . x = −an x − an− x − − a xn + u • n 1 1 2 1 (4-5) 将上式表示成矩阵形式，得 X = Ax + Bu • (4-6) 重点 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案
「0 1 0 . 01 [xi 0 0 0 式中 0 0 0 .1 L-a。-a -a-2 -a, B 0 系统的输出方程或观测方程为 将上式表示成矩阵形式，得 Y-Cx (4-7) 式中 c=l0.0 式4-6称系统的状态方程，式47称为系统的输出方程。 状态方程和输出方程统称为系统的状态空间表达式（描述）。通过系统的状 态空间描述，可将高阶微分方程转化为一个一阶矩阵微分方程组和一个矩阵代数 方程，这对系统求解十分有利。 列41、设系统的微分方程： 45241山+=3 其中：y为输出，“为输入。试求系统的状态空何描述，并画出系统方块 掌握 (2)输入作用不含导数项的多输入阶线性系统状态空间表达式 了解 42.4状态方程的解及转移矩阵 在建立控制系统的状态空间表达式后，更需要的是确定系统在时间域中的解 本节先介绍连续型线性定常系统中齐次与非齐次方程的解法，然后引出状态转移 矩阵的重要概念。 状态方程的解与微分方程解非常相似，其全解包括通解与特解两个部分。 4.24.1线性定常系统齐次状态方程的解法 连续型系统的求解方法很多，此只介绍拉氏变换法和级数法， 线性定常系统状态方程的一般表达式为： 掌握 (4-10) 当强制项u)为零时得到齐次方程 内蒙古科技大学教案 5
5 式中 x= xn x x 2 1 ， A= − − −1 − −2 − 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 an an an a B= 1 0 0 0 系统的输出方程或观测方程为 Y=x1 将上式表示成矩阵形式，得 Y=Cx (4-7) 式中 C= 1 0 0 式 4-6 称系统的状态方程，式 4-7 称为系统的输出方程。 状态方程和输出方程统称为系统的状态空间表达式（描述）。通过系统的状 态空间描述，可将高阶微分方程转化为一个一阶矩阵微分方程组和一个矩阵代数 方程，这对系统求解十分有利。 例 4-1、设系统的微分方程： y (3)+5y(2)+11y (1)+6y=3u 其中：y 为输出，u 为输入。试求系统的状态空间描述，并画出系统方块 图。 (2)输入作用不含导数项的多输入 n 阶线性系统状态空间表达式 4.2.4 状态方程的解及转移矩阵 在建立控制系统的状态空间表达式后，更需要的是确定系统在时间域中的解。 本节先介绍连续型线性定常系统中齐次与非齐次方程的解法，然后引出状态转移 矩阵的重要概念。 状态方程的解与微分方程解非常相似，其全解包括通解与特解两个部分。 4.2.4.1 线性定常系统齐次状态方程的解法 连续型系统的求解方法很多，此只介绍拉氏变换法和级数法。 线性定常系统状态方程的一般表达式为： x(t) = Ax(t) + Bu(t) • (4-10) 当强制项 u(t)为零时得到齐次方程 掌握 了解 掌握 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案