3.1.3DFT的隐含周期性 任何周期为N的周期序列x(n)都可以看成长度为N的有限长序列x(m) 的周期延拓,而x(m)为X(n)的一个周期。 x(n)=∑x(n+ n=-00 x(n)=x(nRN(n) 把周期序列x(m)从n=0,1,…,N-1的第一个周期称为x(m)的主值区间 主值区间上的序列为x(m)的主值序列 x(n) x(m)=x(m)=∑x(n+mN) n=-00 其中(n)表示m对N求余 01234567 即如果n=MN+n1,0≤n1≤N x(n) 则(n)N=n 例如,N=8,x(m)=x(7) x(8)=x(8)s=x(0)x(-3)=x(-3)=x(5) 0123456789
=− = + m x(n) x(n mN) ~ ( ) ( ) ~ x(n) = x n RN n 把周期序列 ~ x(n) 从n＝0，1，…，N－1的第一个周期称为 ~ x(n) 的主值区间 主值区间上的序列为 ~ x(n) 的主值序列 的周期延拓，而 x(n) 为 ~ x(n) 的一个周期。 任何周期为N 的周期序列 ~ x(n) 都可以看成长度为N 的有限长序列 x(n) 即如果 n＝MN＋n1， 0 n1 N −1 则 ((n))N=n1 3.1.3 DFT的隐含周期性 x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 n ( ) ~ x n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例如，N＝8， n 8 ( ) (( )) ~ x n = x n (8) ((8)) (0) ~ 8 x = x = x ( 3) (( 3)) (5) ~ 8 x − = x − = x n N 其中 (( )) 表示n对N求余 =− = = + m x n N x (n) x(n mN) ~ (( ))
DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出: (1)如前所述,X(k)是对Ye)的采样,由于Xe/0)是以2为周期的周期 自变量k超出DFT变换区间时,必然得到0,2以外区间上e 函数,即Xk)是对X(e)的主值区[0,2m上的N点等间隔采样。 的采样,且以N为周期重复出现,得到X(k)=X(k) (2)对于H=eN,有WN=W+m0)其中k,m,N均为整数 所以H(k+mN)=Ex(m)(k+mN)m_N-1 N-1 kn ∑x(m)W X(k) n=0 可见X(k)隐含周期性,且周期为N 同样可证x(n+mN)=x(m)
N k,m,N j N W e 2 − 对于 = ，有 (k mN) N k WN W + = 其中 均为整数 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 ( ) X k mN x n W x n W X k N n kn N N n k mN n N + = = = − = − = 所以 + 可见 X (k) 隐含周期性，且周期为N。 同样可证 x(n + mN) = x(n) DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出： （1） （2） 如前所述，X(k)是对 的采样，由于 ( ) 是以2π为周期的周期 j ( ) X e j X e 的采样，且以N为周期重复出现，得到 。N X (k) X ((k)) ~ = ，即X(k) 是对 ( ) 的主值区[0，2π]上的N点等间隔采样。当 j 函数 X e ( ) j 自变量k 超出DFT变换区间时，必然得到[0，2π]以外区间上 X e