方程中含有虚数i,对时间的微商是一阶导数,所以由 方程求解出的浪函数一定是复数。 众所周知,有实际物理意义的物理量均是由实数来表 示的,而量子力学波函数其本身其实不代表具有什么 物理意义。但是它的绝对值平方是实数,它具有非常 明确的物理意义 ——它代表粒子在空间出现的概率密度
方程中含有虚数i ,对时间的微商是一阶导数，所以由 方程求解出的波函数一定是复数。 众所周知，有实际物理意义的物理量均是由实数来表 示的，而量子力学波函数其本身其实不代表具有什么 物理意义。但是它的绝对值平方是实数，它具有非常 明确的物理意义： —— 它代表粒子在空间出现的概率密度
3)定态薛定谔方程 其目的是通过处理简单的波动方程获 得对量子现象的具体而直观的理解。 如果势能函数不含时间,即对于定态势能场,则有 V(x, t=v(x) 势场中粒子的薛氏方程,利用分离变量法,波函数可写成 y(, t=u(xf(t) 把上式代入Ov(x,1) =[-xV2+V(x,t)]y(x,t) at 2 薛定谔方程变为: ihu(x=vu(x)+v(x)u(x)lf( dt 2m
( , ) ( ) ( ) x x t u f t = 2 d ( ) 2 ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) d 2 f t i u u V u f t t m x x x x = − + 如果势能函数不含时间，即对于定态势能场，则有 V t V ( , ) ( ) x x = 势场中粒子的薛氏方程，利用分离变量法，波函数可写成 3）定态薛定谔方程 2 2 ( , ) [ ( , )] ( , ) 2 t i V t t t m = − + x x x 薛定谔方程变为： 把上式代入 其目的是通过处理简单的波动方程获 得对量子现象的具体而直观的理解
进一步整理后,薛定谔方程可以写成: i-19()2=-1-2h [oVu(x)+v(xu(x) f(t)dt u(x) 2m 方程的左端只是时间t的函数,与x完全无关。而右端只是x的函数,因此 方程两端必须等于一个不依赖于t和x的常数,等式才能成立。设其为E 方程左 端为: 内 1 df(t E其解为f()=CeB/b f(t)dt 2 定态薛定谔方程 其右端[V2+V(x)(x)=E(x) 2m 或哈密顿方程 P542.3.12式 方程的解(x,1)=l(x)eB/b
2 1 d ( ) 1 2 [ ( ) ( ) ( )] ( ) d ( ) 2 f t i u V u f t t u m = − + x x x x 1 d ( ) ( ) d f t i E f t t = / ( ) iEt f t Ce− = 2 2 [ ( )] ( ) ( ) 2 V u Eu m − + = x x x / ( , ) ( ) iEt t u e− x x = 定态薛定谔方程 或哈密顿方程 P54 2.3.12式 方程的解 进一步整理后，薛定谔方程可以写成： 方程的左端只是时间t的函数，与x完全无关。而右端只是x的函数，因此 方程两端必须等于一个不依赖于t和x的常数，等式才能成立。设其为E 方程左 端为： 其解为 其右端
定态薛定谔方[V2+(x)(x)=Ex)v(x,1)=l(x)e iEt /h 程的物理意义:2m 1.)方程求得的波函数描述的状态是定态。而波函数的指数项 是一个随时间振荡的函数,其频率为O=E/h,由此可知,与 粒子相关物质波的频率是由粒子的总能量E决定的。 表明:处于定态的粒子总能量是不随时间变化的。 2)因为exp(iE/b)=1,状态的几率密度: v'(x,1)v(x,)=l(x)*(x)待定态 只取决于u(x),也就是说只与坐标位置有关,而与时间无关。 表明:粒子出现在空间的概率密度分布是不随时间变化的。 这些均是定态的主要特征!
2 2 [ ( )] ( ) ( ) 2 V u Eu m 定态薛定谔方 − + = x x x 程的物理意义： 1.）方程求得的波函数描述的状态是定态。而波函数的指数项 是一个随时间振荡的函数，其频率为 ，由此可知，与 粒子相关物质波的频率是由粒子的总能量E决定的。 表明：处于定态的粒子总能量是不随时间变化的。 = E 2.）因为 ( ) ，状态的几率密度： 2 exp 1 − = iEt ( , ) ( , ) ( ) ( ) x t x t u x u x = 只取决于u(x)，也就是说只与坐标位置有关，而与时间无关。 表明：粒子出现在空间的概率密度分布是不随时间变化的。 这些均是定态的主要特征！ 此为定态 的特征 / ( , ) ( ) iEt h x t u x e− =
h [-V2+V(x)(x)=El(x) 2m 数学上,对于常数E的任意值,方程↑都应该有解,但并 不是所有的数学解都有物理意义。为什么? 物理上,波函数的绝对值平方表示粒子出现在空间某一 处的几率密度,因此只要满足单值性、连续性和有限性, 这三个条件的波函数才能满足物理上的要求,或者说才 有实际的物理意义
• 数学上，对于常数E的任意值，方程↑都应该有解，但并 不是所有的数学解都有物理意义。为什么？ • 物理上，波函数的绝对值平方表示粒子出现在空间某一 处的几率密度，因此只要满足单值性、连续性和有限性， 这三个条件的波函数才能满足物理上的要求，或者说才 有实际的物理意义。 2 2 [ ( )] ( ) ( ) 2 V u Eu m − + = x x x