§23薛定谔方程 量子理论的两种表达方式: 1)海森堡、波恩和约丹等人1925年发展起来 的矩阵方法一数学模型较复杂。 2)薛定谔与狄拉克于1926年建立的波动方法 描述物质波连续时空演化的偏微分方程 薛定愕方程,给出了量子论的另一个数 Erwin Schrodinger 学描述——波动力学。 1887~1961 特点:薛定谔方程是量子力学的最基本方程; 不是经过严格的推导而获得的; 它是用试探方法找到的或者说是“猜”到的
2）薛定谔与狄拉克于1926年建立的波动方法 —描述物质波连续时空演化的偏微分方程 —薛定愕方程，给出了量子论的另一个数 学描述——波动力学。 §2-3 薛定谔方程 Erwin Schrodinger 1887～1961 量子理论的两种表达方式： 1）海森堡、波恩和约丹等人1925年发展起来 的矩阵方法 — 数学模型较复杂。 薛定谔方程是量子力学的最基本方程； 不是经过严格的推导而获得的； 它是用试探方法找到的或者说是“猜”到的。 特点：
既然所有物质都具有波粒二象性,理所当然可以用波的形 式表达式来描述粒子的行为。波具有时、空两种周期性, 最简单的平面单色波振动的波函数可以表示为: (G,)=V0(k7-2)27:2b= h 2丌 若用复数表示为:v/(,D)=W0e i(k.r-at) 若用粒子动量和能量p=Mk,E=hO 则自由粒子的 波函数可写为Vy(,1)=ex (p·F-ED
• 既然所有物质都具有波粒二象性，理所当然可以用波的形 式表达式来描述粒子的行为。波具有时、空两种周期性， 最简单的平面单色波振动的波函数可以表示为: 0 ( , ) cos( ) r t k r t = − 若用复数表示为： ( ) 0 ( , ) i k r t r t e − = 2 p p k h = = 2 h = 若用粒子动量和能量 p k E = = , 则自由粒子的 波函数可写为 0 ( , ) exp ( ) i r t p r Et = −
或者一般波函数可以写为 y(x, t)=voe i( k.x-ot) (p. x-et)/h ·对波函数的要求 粒子不能产生和湮灭,即总能在空间某处发现该粒子,必须有 flv(, D)d'X=1百1wedx=A 可 等于常数A 对于上述积分不 等于1的波函数 vx 波函数的 归一化 d'X 归一化条件 A因子 可进行“归一化”√A 几率是相对的,都乘以一个因子后,没有变化
• 对波函数的要求 • 粒子不能产生和湮灭，即总能在空间某处发现该粒子，必须有 ( ) ( )/ 0 0 ( , ) ei t i p x Et h t e − − = = k x x 2 3 ( , ) d 1 V t X = x 2 3 ( , ) d V t X A = x 2 3 ( , ) d 1 V t X A = x A 1 归一化 因子 几率是相对的，都乘以一个因子后，没有变化 或者一般波函数可以写为 波函数的 归一化条件 由于几率总是相 对的，该积分也 可等于常数A 对于上述积分不 等于1的波函数 可进行“归一化” ←
事实上,归一化并非总是需要的,而且有些波函数 不能归一化,例如,单色浪或自由粒子,由于它们 在空间各处的几率都相等,因而有: ● (x tl dX= i(K.@t dx
事实上，归一化并非总是需要的，而且有些波函数 不能归一化，例如，单色波或自由粒子，由于它们 在空间各处的几率都相等，因而有： 2 2 ( ) 0 ( , ) i K r t V x t dX e dX + − − = 2 0 dX + − = =
1)自由粒子的薛定谔方程(或者单色平面波的薛定谔方程) 若把该方程视为量子力学的基本假设,不必要推导它。下面 我们只对方程的合理性进行说明,再引入有关算符的概念。 波函数 V(x, t)=voe i(k.x-ot) i p.)/h x=(xe, ye ze.k=(k,er, k, e,,ke )p(p,,,pe,, p.e) 位矢 波矢 粒子的动量 利用粒子的能量和动量表达式 h hh2丌 E=h=2兀 2Iv=ho p 12x 对波函数进行一系列微分运算
1）自由粒子的薛定谔方程（或者单色平面波的薛定谔方程） 2 2 h E h = = = ( ) ( )/ 0 0 ( , ) e e i t i Et t − − = = k x p x x ( , , ) x y z x e e e = x y z ( , , ) x x y y z z k e e e = k k k ( , , ) x x y y z z p e e e = p p p 位矢 波矢 粒子的动量 波函数 对波函数进行一系列微分运算 2 2 h h p k = = = 利用粒子的能量和动量表达式 若把该方程视为量子力学的基本假设，不必要推导它。下面 我们只对方程的合理性进行说明，再引入有关算符的概念