量子力学初步（PPT课件）薛定谔方程、力学量的平均值、算符表示和本征值、定态薛定谔方程解的算例

对波函数(x,D)=ve i(k.x-ot) e(pxB)进行时间微分 有 的C(x,t Oe (k x-at) hoy(, t)=Ey(x, t) at at 再对坐标变量进行微分 dy(r ae i(k.x-@t) =hk,y(x, t)=py(x, t) ax 再一次对坐标变量求微分,有 i(-一)=-i ay(x P2=p(x,) aV(x, t) 即 ax 2=p2V(x,D)

( ) ( )/ 0 0 ( , ) i t i Et t e e      −  − = = k x p x x ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) i t t e i i t E t t t       −   = = =   k x x x x ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) i t x x t e i i k t p t x x       −   − = − = =   k x x x x 2 ( , ) ( ) ( , ) x x t i i i p p t x x x       − − = − =    x x 2 2 2 2 ( , ) ( , ) x t p t x    − =  x x 对波函数 进行时间微分 再对坐标变量进行微分 有 再一次对坐标变量求微分，有 即

同理12V(x2) p*y(x, t)-h ay(x, t) p-v(x, t) Qx2+2+a2k(x0)=[p2+p3+](x 用微分算符表示为 2 2 Vy(x, t=P-v(x, t=Ew(x 2m 2 其中 2+2拉普拉斯算符E 水k2m 2=p2+p2+ 粒子的动能

2 2 2 2 ( , ) ( , ) y t p t y    − =  x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [ ] ( , ) [ ] ( , ) x y z t p p p t x y z      − + + = + +    x x 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 k p t t E t m m −  = =    x x x 2 2 2 2 ( , ) ( , ) z t p t z    − =  x 同理 x 用微分算符表示为 其中 2 2 2 2 2 2 2 x y z     = + +    2 2 2 2 x y z p p p p = + + 2 2 k p E m = 粒子的动能 拉普拉斯算符

由于自由粒子不受外力,没有势能,它的总能量就是它的动 能,即 2 E=Ek 2m 所以汤5(x1) Ey(x, t=Ey(x, t) 的C(, 2 t) h Vy(, t) 2 P53,23.5式 自由粒子的薛定谔方程

2 2 ( , ) ( , ) 2 t i t t m    = −   x x ( , ) ( , ) ( , ) k t i E t E t t     = =  x x x 自由粒子的薛定谔方程 由于自由粒子不受外力，没有势能，它的总能量就是它的动 能，即 2 2 k p E E m = = 所以 P53, 2.3.5式

2)势场(外场)中粒子的薛定谔方程 对于处于势场中的粒子,除了动能,还有势能 E=E+En=-+V(x,1) 哈密顿量 2 重复上述计算过程,可得到势场中运动粒子的薛定谔方程 lih oW(,ty [V+v(x, ou(r 2 其中E→边 01-iVE→_hz2 2m 力学量算符h2 V2+(x,t) 哈密顿算符

2 ( , ) 2 k p p E E E V t m = + = + x 2 2 ( , ) [ ( , )] ( , ) 2 t i V t t t m    = −  +  x x x E i t  →  p → − i 对于处于势场中的粒子，除了动能，还有势能 2 2 ( , ) 2 V t m −  + x 哈密顿算符 哈密顿量 2）势场(外场)中粒子的薛定谔方程 力学量算符 2 2 2 Ek m → −  重复上述计算过程，可得到势场中运动粒子的薛定谔方程 其中

ay(r, t) h =[V2+V(x,)(x,) at 方程物理意义的讨论: 1)描述了一个质量为m的粒子,在势场中随时间变化运动状 态。由于方程只含有一次微商,也就是说只要t=o的初始状态 给定,此后任意时刻的状态就可完全确定。 2)薛定谔浪动方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律, 提供了系统、全面、定量处理微观粒子运动的基本理论。 3)方程给出了波函数随时间变化的因果关系关系,其因果关 系的实际含义与经典力学不同

2 2 ( , ) [ ( , )] ( , ) 2 t i V t t t m    = −  +  x x x 方程物理意义的讨论： 1）描述了一个质量为m的粒子，在势场中随时间变化运动状 态。由于方程只含有一次微商，也就是说只要t=o的初始状态 给定，此后任意时刻的状态就可完全确定。 2）薛定谔波动方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律， 提供了系统、全面、定量处理微观粒子运动的基本理论。 3）方程给出了波函数随时间变化的因果关系关系，其因果关 系的实际含义与经典力学不同：