x∈A→x∈B. 记成 ACB 这里我们引进一个符号“→”它意味着由左边的命题推出右边的 命题,亦即左边的命题“隐含”右边的命题 例如, NCZCQCR 显然,对于任何集合S平凡地有: SCS以及CS. 事实上,成立 S=TScT且TcS 此地我们引进符号“台”,念做“当且仅当”,也可以说:左边命题的 充分必要条件是右边的命题所谓左边命题P的必要条件是右边 的命题H即指P→H而左边命题P的充分条件为右边命题H, 此乃H→P(亦写成P=H)因此,符号可看作两个符号→和← 的缩写 、集合运算 常用的集合运算有三个:并、交、补 两个集合S和T的并是一个集合记为SUT,它的元素或者 来自S或者来自T: SUT={x|x∈S或x∈T}. 例如, S-la,b, c,T=la, d, ey 于是 SUT=fa, b,c,d, ef 平凡地,对于任何集合S有 SUg=S,SUS≈S
两个集合S和T的交是一个集合,记为S∩T,它由S与T共 同拥有的元素组成 S∩T={x|x∈S且x∈T} 对于上面的例子,有 S∩T={a} 注意,a与{a}不同:前者a仅是一个元素而已;后者则是由单个元 素a构成的集合{a} 当两个集合没有共同元素的时候,它们的交是空集例如设E 是偶数集,F是奇数集,于是 EUF=N,以及E∩F= 这时,我们也称集合E和F不相交 平凡地,对于任何集合S有 S∩=,S∩S=S 在集合A是集合B的一个子集,即ACB的前提下,所谓集 合A关于集合B的补是这样的一个集合;它的元素属于B但不属 于A,记为AB: A}={x1x∈B且x∈A 当集合B不必言明的时候,可以将A简写成A° 例如,无理数集是有理数集Q关于实数集R的补.通常,无理 数集就写成Q 有时,为了表述的方便还引进一个辅助性运算“差”集合S 和集合T的差是一个集合,它出集合S中去掉了属于集合T的那 些元素而剩下的元素组成,记成S-T: S-T={x|x∈S且x6T} 应当指出,任何两个集合总可以形成差但并不是任何两个集 合可以构造补的 如果记集合S与集合T的并为集合G: G=SUT, 4
则成立 S-T=S∩T 请读者验证上述等式 关于集合的并交补运算,有以下几个规则 交换律 AUB=B∪A,A∩B=B∩A. 2.结合律 A∪(BUD)=(AUB)∪D, A∩(B∩D)=(AnB)∩D. 3分配律 A∩(BUD)=(A∩B)(A∩D), AU(B∩D)=(AUB)∩A∪D) 4.对偶律 (AUB)C=AC∩BC, (A∩B)C=ACUB 我们建议读者,第一要逐个验证这些运算规则,第二要尽可能 地熟悉它们,这不仅对于集合运算是重要的,雨且还有助于提高思 维的逻辑推理能力 三、坐标 在一条水平直线上,先指定一个“原点”O,再在它的右方取 个点U,以线段O为单位长度,这样就设置了一个坐标框架 显而易见,有了单位长度1,就可以在这条直线上标出所有的 整数点0,士1,士2,…,士n,…整数系Z的几何形象是“离散”的, 它们彼此之间以单位长度为最小间隔 然后,可以进一步地在这条直线上标出所有的有理点,其中 ∈Z,q∈N.有理数系Q的几何形象是“稠密”的,容易验证任何
两个有理数点之间的中点也是一个有理点由此可见任何两个有 理点之间存在无限多个有理点 P 台1-1 个重要的事实是:尽管有理点在直线上密密麻麻地分布着, 但并没有填满整个直线,或者说直线上的空隙还多得不得了.例如 单位正方形的对角线长度(即现在大家熟知的√2)在直线上对 应的点P就不是一个有理点(图1-1).实际上,所有无限不循环的 十进制小数在直线上的对应点皆非有理点 集有理点和无理点之大成,整个直线终于被布满了由于实数 系R这种连绵不断的几何形象,遂称实数系R为实数连续统,相 应地那条标着有理点和无理点的直线称为实直线(图1-1) 直线上的每一个点对应有一个实数;反之,每一个实数对应着 直线上的一个点数和形的这种统一是数学上极其重要的一个观 念笛卡儿0等人正是通过坐标将空间形式(图形)和数量关系(方 程)沟通起来,创立了解析几何 在实直线R上,两点z和y的距离P(x,y)出相应两个实数 之差的绝对值表示: p(t, y 特别地,直线上任何一点x和原点O的距离为 p(x,0)=|x ①笛卡无( Rene Descartes,1596-1650),法国哲学家数学家
不难验证关于距离成立以下几点基本性质 (1)对于任何x和y∈R: p(x,y)≥0,并且P(x,y)=0÷x (2)对于任何x和y∈R: p(x, y)=p(y, x) (3)对于任何三点x,y,z∈R: p(x,y)≤P(x,x)+p(z,y)(三点不等式) 作为三点不等式的特例,有 x+y|≤x1+1y以及|x-y|≥|x|-!y 四、区间 实直线R上两点之间的一段叫做区间.共有九种区间:四种 有限区间和五种无限区间(图1-2) 1开区间 (a,b)={xa<x<b}(注意:它不包括两个端点). 2.闭区间 [a,b]={xa≤x≤b}(注意:它包括两个端点) 3.左开右闭区间 (a,b={x|a<x≤b}. 4.左闭右开区间 [a,b)={x|a≤x<b 5.右半无限开区间 (a,+∞)={x|x>a} 6.右半无限闭区间 )={x|x≥a} 7.左平无限开区间 b)= 61 8.左半无限闭区间