高等数学开 秦曾复余跃年、编著
内容提要 全书共分九章，内容包括：连续函数、微分演算、积分演 算、解析儿何、线性代数、多变量分析、数量场与向量场、无穷 级数、常微分方程该书在介绍传统教材基本内容的基础上， 在有关章节中穿插和充实进数学模型和数值计算的内容，反 映计算机时代的特征，体现现代数学的精神 该书可作为理工科大学高等数学课程的教材，也可供有 关科研人员和工程技术人员阅读参考
序言 读这本《高等数学讲义》的大学生将是21世纪的人才,因此可 以说,写于世纪之交的这本讲义是面向新世纪的 20世纪中叶,斯米尔诺夫院士的五卷本《高等数学教程》是 部具有历史意义的著作.50年代和60年代我们中国成千上万的 大学生读过这套救科书.由于它成书的时侯现代计算机尚未问世 更未普及,因而以它为模式鳊写的教材不可能反映计算机吋代的 特征 教材需要不斷更新.現代高等数学的教学内容应当具有这样 的持点:一、高等数学课程的目标是打下掌提和运用现代数学的基 础.如杲说解析凡何开创了数和形统一的新局面的话,那么现代数 学则更进一步地将分祈、几何、代数高度統一教材要反映現代数 学的这个特征。早期的高等数学课程只讲微积分不包括线性代数; 后来虽然讲统性代数,不过把它放在微积分后面单列一章,按照现 代数学的精神,线性代数应与多元函数的微分和积分,与解析几何 中二次曲线和曲面的分类紧密地结合起来、二、计算机对于数学及 自然科学和工程技术的作用越来越大,现代高等数学课程必须反 映这个时代特征.以N个未知量的线性代数方程组为例,传統的 讲法是克拉默规则,即每一个未知量的解表达成两个N阶行列式 的商,需要N量级的乘除工作量.对于大規模计算,这个工作量 是难以承受的.米用高斯消去法求解,只需N量级的乘除工作 .因此现在讲线性代数方糕组就应强调计算机上可行的高斯消 去法,淡化克拉默规则。三、各门科学和工程技术应用现代数学的 广度和深度突出地反映在数学模型上.没有数学模型,根本用不上 1
计算机;数学模型不精确,计算机也就发挥不了关键性作用,所以, 高等数学课程应充实数学模型和数值计算的内容,譬如在一元函 數微积分之后,讲一讲从开普勘行星运动定律到牛顿万有引力定 律的演算,这是科学史上最杰出的数学樸型之一;再者,从椭圓的 周长和摆的周期问题归结出两类椭圆积分,进而指出数值计算的 必要性.我们在躺写这本讲义的时候,努力休现这些特点 本书分成九章.幕一章为连续函数,第二章为薇分演算,第三 章为积分演算,第二章和第三章大体上就是一元函数微积分.在多 元分析之前,先讲第四章的解析几何和第五章的线性代数.只要有 需要又有可能,各拿内容相互穿插.例如在第一章讲数列之后就顺 势引出死穷蚁数,再如在第三章积分的最后一节将可以分离变量 的微分方程结合进来讨论,又如在第四章解析凡何的空问曲线一 节里运用向量值函数的导數写出切线方程,第六章的多变量分析 以及第七章的数量场与向量场是多元函數微积分的基本内容.雅 可比阵在表达导数、复合函数求导的鲢式规则和重积分的变量代 换诸方面起着重要作用,第八章的元穷蚁数中专辟一节讲快遠得 里叶变换,意在加强数学应用和数僬计算、理论联亲实际的观念 第九章为常微分方程,这可以说是数学還向自然科学和工程技术 的主要途径之一,这是因为大量的数学模型可归结为微分方程,大 量的微分方程需要数值计算 这份讲义作为两个学期高等数学课程的教材已在复旦大学理 科和技术学院几个寺业使用过三遍,定槁时又修改了一回.微请专 家和广大读者提出意见,以进一步改善这本高等教学讲义 曾复余跃年 1995年9月
目录 第一章连续函数…………… §1实数连续统 曲非日善自非。申。·甲曲命非非非·非·自非专节 §2数列极限………… s3无穷级数与数列………………………………28 §4函数极限…… §5初等函数的连续性……………………………57 s6闭区间上的连续函数………………………………71 第二章微分演算…………………………………………83 §1导数……………………………………………83 S2求导规则…………………………………92 83微分…………………·……………104 s4高阶导数…………………………………………111 §5徽分中值定理 s121 §6洛必达法则……129 §7泰勒展开及其应用……134 §8单调函数与凸函数……147 §9函数图形………162 §10牛顿-雷夫逊迭代…………………………………167 第三章积分演算…………………………………………173 §1黎曼积分… s173 §2原函数…………………………179 §3牛顿莱布尼茨公式………………………183 §4分部积分法…190