第四章数值积分 §4.1数值积分的一般概念 问题:)=f(x)x=2,(x)原函数不易找到 数值方法:找一个逼近f(x)的简单函数p(x)此时 f(x=p(x)+r(x) 数值求积公式[f(x)k≈1(p)=[p(x)dk易算! 误差:Er(f)=l(f)-/(p) R(xdx ??若逼近f(x)的简单函数p(x)是区间a,b上对应于分划 =x0<x1<…<xn-1<xn 及函数值f(x0),f(x1)…,f(xn21),f(x) 的插值函数!由此得到的数值积分公式称为插值型求积公式
第四章 数值积分 §4.1 数值积分的一般概念 的插值函数！由此得到的数值积分公式称为插值型求积公式。 及函数值 ？？若逼近 的简单函数 是区间 上对应于分划 误差： 数值求积公式： 易算！ 数值方法：找一个逼近 的简单函数 此时 问题： 的原函数不易找到。 ( ), ( ), , ( ), ( ) ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ?, ( ) 0 1 1 0 1 1 b a n n n n b a b a b a f x f x f x f x a x x x x b f x p x a b R x dx Err f I f I p f x dx I p p x dx f x p x R x f x p x I f f x dx f x − = − = = = − = = + = =
??若逼近f(x)简单函数是区间a,b上的最佳平方逼近函数, 则由此得到的求积公式称为高斯型求积公式。 显然,数值求积公式的一般形式为: I()≈∑4(x,)…① 我们的任务是希望误差 Er()=|1()-1(p)≤E 并且代数精度尽量的高。 所谓代数精度:若求积公式(1)对于任意次数不高 于m的多项式pn(x)都精确成立(Er(pn)=0,而对于某 个m+次多项式n+1(x)不精确成立(Er(pm+)≠0)。则 称此求积公式具有m次代数精度
称此求积公式具有 次代数精度。 个 次多项式 不精确成立（ ）。则 于 的多项式 都精确成立（ 而对于某 所谓代数精度：若求积公式（）对于任意次数不高 并且代数精度尽量的高。 我们的任务是希望误差 （） 显然，数值求积公式的一般形式为： m m p x Err p m p x Err p Err f I f I p I f f x m m m m n i i i ) 0 ~ ( ) ( ~ 1 ( ) ( ) 0), 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 + = = − + + = 则由此得到的求积公式称为高斯型求积公式。 ??若逼近f (x)的简单函数是区间[a,b]上的最佳平方逼近函数
汪: 1)求积公式的误差计算精度的度量标志。而代数精度 是求积公式优良性的度量指标。 2)求积公式的误差小,不代表代数精度高。代数精度 高,也不代表求积公式的误差小。他们没有必然联系 3)确定一个求积公式的代数精度可采用如下方法: 若Er(x)=0,k=0,1…,m而Er(xk+)≠0,则求积 公式具有m次代数精度 4)收敛性:Ern(∫)→>0,n→> 5)数值稳定性:若f(x)=y+6,且s6则当∑|< i=0 时,算法是数值稳定的
时，算法是数值稳定的。 数值稳定性：若 且 则当 收敛性： 公式具有 次代数精度。 若 而 则求积 确定一个求积公式的代数精度可采用如下方法： 高，也不代表求积公式的误差小。他们没有必然联系。 ）求积公式的误差小，不代表代数精度高。代数精度 是求积公式优良性的度量指标。 ）求积公式的误差计算精度的度量标志。而代数精度 注： = + → → = = = + n i i i i i i n k k f x y Err f n Err x k m Err x 0 1 5) ( ) , , 4) ( ) 0, . m ( ) 0, 0,1, , . ( ) 0, 3) 2 1
§4.2插值型求积公式 、拉格朗日求积公式 用分划a=x0<x1<…<x及对应的型值(x,f(x1) f(xn)构成的拉格朗日函数逼近函数,得到 拉格朗日求积公式: ()≈()=∑4(x),4=1(x)k (n+1) 截断误差:Ern(∫)= n+1 (x)dx 注: a(n+1) 1)代数精度至少为n 2)虽然∑=b-a但不一定数值稳定 l:
§4.2 插值型求积公式 + + = + = = = = b a n n n b a i i n i n i i n n x dx n f Err f I f I f f x l x dx f x a x x x f x f x ( ) . ( 1)! ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) . , ( ) ( ), ( ), 1 ( 1) 0 0 1 0 1 截断误差 拉格朗日求积公式： 构成的拉格朗日函数作为逼近函数，得到 用分划 及对应的型值 一 、拉格朗日求积公式 虽然 但不一定数值稳定。 ）代数精度至少为 注： 2) , 1 ; 0 b a n n i i = − =
3)等距节点的拉格朗积公式称为牛顿柯特斯公式,且 n为偶数时代数精度为+1但∑λ→∞说明对大的数值不稳定 i=0 4)我们知道n>6时拉格朗日插值逼近勰很差,自然求积精度 也难以保证。所以真用的求积公式应是分没低次插值下的 求积公式。即复合求秘式。 5)几个低次牛顿-柯特斯求积公式: *梯形公式(n=时) 1(f) b 2 (f(a)+f(b) E()(b-a)3f"(m) 12 代数精度为
− = − + − = = − + → − = 1 ( ) 12 ( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 ( ) * 1 5 4) 6 1. , 3 3 1 1 0 代数精度为 梯形公式（ 时 ） ）几个低次牛顿 柯特斯求积公式： 求积公式。即复合求积公式。 也难以保证。所以真正实用的求积公式应是分段低次插值下的 我们知道 时拉格朗日插值逼近效果很差，自然求积精度 为偶数时代数精度为 但 说明对大的 数值不稳定。 ）等距节点的拉格朗日求积公式称为牛顿 柯特斯公式，且 f b a Err f f a f b b a I f n n n n n n i i