其两个重要参数为、σ,记为 N(、a),决定曲线在x轴的位置,a 决定曲线的形状 σ小→曲线高、陡峭、卿 b/o=0. 精密度好; σ大→曲线低、平坦 精密度差。 正态分布的两个参数
其两个重要参数 为 µ、 σ， 记为 N(µ、 σ2), µ 决定曲线在 x轴的位置， σ 决定曲线的形状 σ 小 →曲线高、陡峭、 精密度好； σ 大 →曲线低、平坦、 精密度差
随机误差符合正态分布 1.大误差出现的几率小,小误差出现的几率大 2.绝对值相等的正负误差出现的几率相等。 3.误差为零的测量值出现的几率最大。 所有测量值出现的概率总和应为1,即 P(-0,∞) e dx=l 2兀 求变量在某区间出现的概率,即对该区间求积分 P(a,b)=I O√2m
随机误差符合正态分布 1.大误差出现的几率小，小误差出现的几率大。 2.绝对值相等的正负误差出现的几率相等。 3.误差为零的测量值出现的几率最大。 所有测量值出现的概率总和应为 1，即 e d 1 2 π 1 ( , ) 2 2 2 ( ) −∞ ∞ = = − ∞ − ∫− ∞ P x x σ µ σ 求变量在某区间出现的概率，即对该区间求积分 P a b x x b a e d 2 π 1 ( , ) 2 2 2 ( ) σ µ σ − − ∫ =
对于不同的、σ有不同的 曲线,积分比较麻烦,为 简化做数学上的变量转 换,令n=x 将上式两端微分得adu=dx f(x)dx==2= jou-2ou-nu toubou*30 x -26-00。23x 682% 9546% 9973% 此时正态分布转换为标准 正态分布,记为N0,12) 标准正态分布 99.74
对于不同的µ、σ 有不同的 曲线，积分比较麻烦，为 简化做数学上的变量转 换，令 σ − µ = x u 将上式两端微分得 σ du=dx f x x u f u u u e d ( )d 2π1 ( )d 2 2 = = − 此时正态分布转换为标准 正态分布，记为N(0,12)。 99.74
积分P e2du已被做成概率积分表 2兀 正态分布概丰积分表 面积一a l面积s|面积1面积 00.00001.00.3413 0.4773 010.081.103643|2104821 020.073.203892204861 0301791.30.4032 30.4893 0.4a15.40.419240418 05a19151.5a482250438 06022581.604452260453 0702801.70527065 0.8028811.8046412804974 a935s1.9a73290.87
积分 已被做成概率积分表 P u u u e d 2 π 1 2 0 2 − ∫ =
x-p x P%o =±1±a P=2×0.3413=0.6826=68.26% l=±2±20-20(+20P=2×04773=09546=9546% =±3±3030+30P=2×04987=0994=9974% <例>按照正态分布x在区间(k0.5+1.50出现的概率 解:根据l 可将0.50≤x≤H+1.50变换为-5≤≤1.5 查表l=0.5时面积为01915 =1.5时面积为04332 则-0.5≤≤1的总面积即为x在区间(-0.5, +1.5o)出现的概率P=0.1915+0.43=0.6247
u x -μ x P % u=±1 ±σ µ-σ µ+σ P=2× 0.3413 = 0.6826 =68.26% u=± 2 ± 2σ µ-2σ µ+2σ P=2× 0.4773 = 0.9546 =95.46% u=± 3 ± 3σ µ-3σ µ+3σ P=2× 0.4987 = 0.9974=99.74% <例> 按照正态分布x在区间(µ-0.5σ, µ+1.5σ)出现的概率 解: 根据 σ x u − µ = 可将 µ-0.5σ ≤x ≤µ+1.5σ 变换为 -0.5≤u ≤1.5 查表 u=0.5 时 面积为0.1915 u=1.5 时 面积为0.4332 则-0.5≤ u ≤1.5的总面积即为x在区间( µ - 0.5σ , µ +1.5σ )出现的概率 P = 0.1915 + 0.4332=0.6247