讨论:·变换核的性质: 1变换核是p的连续函数。 有 lim K=K 2n lim k =K P→2n+1P 2n+1 →)2n 2.Kn(t,)=K,(l,t) 3.K_,(,n)=Kn(,l) 4.Kn(-t,)=K,(t2-l) K(t2=)K2(=,dz=Kn+0(t K,(t,uk(t, ut=d(u-u)
讨论： ◼ 变换核的性质： 2 2 1 2 2 1 * * * 1. lim lim 2. ( , ) ( , ) 3. ( , ) ( , ) 4. ( , ) ( , ) 5. ( , ) ( , ) ( , ) 6. ( , ) ( , ) ( ) p n p n p n p n p p p p p p p q p q p q p K K K K K t u K u t K t u K t u K t u K t u K t z K z u dz K t u K t u K t u dt u u + → → + − + − − = = = = − = − = = − 变换核是 的连续函数。 有
讨论 变换的性质: 1.分数阶傅立叶变换是线性变换。 Fs(t)=fs(t=s(t) 3.Fs()=Fs(t)=S(o)(傅立叶变换) 4.FF(1)=F((1)(可加性 5.F4(s(1)=F(s(t)
讨论： ◼ 变换的性质： 0 4 1 5 4 1. 2. ( ) ( ) ( ) 3. ( ) ( ) ( )( ˆ 4. ( ) ( ) 5. ( ) ( ) p q p q n p p F s t F s t s t F s t F s t s F F s t F s t F s t F s t + = = = = = = 分数阶傅立叶变换是线性变换。 傅立叶变换） （ ） （ ） (可加性） （ ） （ ）
性质4的证明: 利用 Kn(,2)K(=,l)k=Kn+0(t,l) q FP*(s(0))=Kn+(t, u)s(tyat 「(∫k,(=)k,(n))(M Ka(E,u(K,(t, 2)s(t )dt )dz K2(=,l)F((t)=FF"(s(t)
性质4的证明： ( , ) ( , ) ( , ) ( ( )) ( , ) ( ) ( ( , ) ( , ) ) ( ) ( , )( ( , ) ( ) ) ( , ) ( ( )) ( ( )) p q p q p q p q p q q p p q p q K t z K z u dz K t u F s t K t u s t dt K t z K z u dz s t dt K z u K t z s t dt dz K z u F s t dz F F s t + − + + − − − − − − = = = = = = 利用
FRFT的其他定义: 特征函数和特征值( V Namias,1980) 将傅立叶变换当作信号空间上的算子, 对应的特征方程为: Fv(1)=2W(t)=e2v4(t) y(1)=H()e2,H(1)是k阶 Hermite多项式。 Hk(1)=(-1224kP12
FRFT的其他定义： ◼ 特征函数和特征值（V.Namias,1980) 2 2 2 / 2 / 2 / 2 / 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 jk k k k k t k k k k k t t k k F t t e t t H t e H t k Hermite d H t e e dt − − − = = = 将傅立叶变换当作信号空间上的算子， 对应的特征方程为： 是 阶 多项式。 ＝（－）
分数阶傅立叶变换的定义2: 令v(1)=H()e2为普通傅立叶变换的特征值 λ对应的特征函数,且构成有限能量信号空间的 标准基,定义阶分数阶傅立叶变换为算子: FPVr(t=Apr(t)=e pk /v(t)
2 / 2 / 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k t k k k p p jpk k k k t H t e p F t t e t − − = = = 分数阶傅立叶变换的定义2： 令 为普通傅立叶变换的特征值 对应的特征函数，且构成有限能量信号空间的 标准基，定义 阶分数阶傅立叶变换为算子：