复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第五章 晶格振动_晶体的热学性质

上讲回顾:晶格振动的量子理论 晶格简谐振动是一种集体振动——称为格波 独立的简谐振动模式→声子→简谐振动的能量 量子格波能量→量子化→声子能量是分立的 n,+aho, (a) *声子遵从玻色统计 ho,()/kBT *声子的能量和准动量分别为ho1和加q hmp:m10.10,0.68 inche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 1 上讲回顾：晶格振动的量子理论 • 晶格简谐振动是一种集体振动——称为格波 • 独立的简谐振动模式声子简谐振动的能量 量子格波能量量子化声子能量是分立的 * 声子遵从玻色统计 * 声子的能量和准动量分别为 和 (q) l l l  n     21 1 1   l l kBT e n (q)/ (q)  l q

本讲目的:如何确定晶格振动能量? ·晶格振动的能量子声子→声子贡献 *对照电子能量,声子是完全类似的 电子J- f费(E)D(EEE *其困难是相同的→状态密度←色散关系,太复杂 对电子,没有一个真实的能带结构 自由电子气→得C电子~T,低温时被实验证实 #对晶格振动,有唯象理论下,可得到色散关系, 但数学上难;可用两种模型近似解决这个困难 Einstein模型C声子~exp(hbr/kBmT Debye模型→C声子T,很大温度范围被证实 hmp:m10.10,0.68 inche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 2 本讲目的：如何确定晶格振动能量？ • 晶格振动的能量子声子声子贡献 * 对照电子能量，声子是完全类似的 * 其困难是相同的状态密度色散关系，太复杂  对电子，没有一个真实的能带结构 † 自由电子气得C电子~T，低温时被实验证实  对晶格振动，有唯象理论下，可得到色散关系， 但数学上难；可用两种模型近似解决这个困难 † Einstein模型C声子~exp(\hbar/kBT)/T2 † Debye模型C声子~T3 ，很大温度范围被证实   U电子  f费米 E D E EdE

第26讲、晶体的热学性质 1.晶格振动能量——经典模型 2.晶格振动能量——半经典模型 3.晶格振动能量——量子模型 4.声子态密度 5.频率分布函数的 Einstein近似 6.频率分布函数的 Debye近似 hmp:m10.10,0.68 inche/晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 3 第26讲、晶体的热学性质 1. 晶格振动能量——经典模型 2. 晶格振动能量——半经典模型 3. 晶格振动能量——量子模型 4. 声子态密度 5. 频率分布函数的Einstein近似 6. 频率分布函数的Debye近似

、晶格振动能量—经典模型 晶格振动平均能量 E=∫en/je"n,B 可以写为 E ne 简谐近似下,对相空间积分∫e"n中的相空 间变量动量和位移作一与温度有关的变量替换 R du(r)dp/r/- u(r)=B-u(R) du(r)=B-3/du(R) P(R)=B-PR), dP(r)=B-3/2dPR) 就有n-sp2M++ pBU平衡-3N P +C简谐 hmp:/10.107 2M

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 4 1、晶格振动能量——经典模型 • 晶格振动平均能量 • 可以写为 • 简谐近似下，对相空间积分 中的相空 间变量动量和位移作一与温度有关的变量替换 • 就有 k T E He d e d H H B 1   ,                E e d H  ln    e d H                         平衡 简谐 U U M e d d H 2 exp 2 P                           u 平衡 P 简谐 U M e d U N 2 exp 2 3                 ,   , 1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2                 P R P R P R P R u R u R u R u R u R P R R d d d d d d d    

现积分号内的量与温度无关、P(R) +U 简谐 2M 因此得到E=-0ln(B3×常数=U平+3Nkn7 aE 比热 BNkB °这就是能均分定理≯每个简谐振动贡献kT *即用经典统计,根据能均分定理,每个自由度的平 均能量是knT 固体中有N个原子,就有3N个简谐振动模,因 此晶体平均能量等于3NknT 于是,C=3NkB→与温度无关 水这就是 Dulong-Petit定律 *这个结果在100K温度数量级或以上与实验相符 *前面用经典力学处理时,估计过简并温度是50K :∥10.107.0.68% inche′晶体的热学性质

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体的热学性质 5       u P R 简谐 U 2 M 2 E e  U Nk T U N B 3 ln    3      平衡  常数 平衡    3Nk B T E C V     • 现积分号内的量与温度无关 • 因此得到 • 比热 • 这就是能均分定理 每个简谐振动贡献 kB T * 即用经典统计，根据能均分定理，每个自由度的平 均能量是 kB T • 固体中有 N个原子，就有 3 N个简谐振动模，因 此晶体平均能量等于 3Nk B T • 于是， C V= 3Nk B 与温度无关 * 这就是Dulong-Petit定律 * 这个结果在100K温度数量级或以上与实验相符 * 前面用经典力学处理时，估计过简并温度是50K