河南师范大学：《物理化学》课程教学资源_实验三十一 径向分布函数、角度分布函数 电子云图形的绘制

实验三十一径向分布函数、角度分布函数 电子云图形的绘制 1.目的要求 (1)绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像,观察各种函数的分布情况 (2)了解计算机绘图方法 2.基本原理 (1)程序原理:本程序可绘制类氢原子的径向分布函数,角度分布函数及原子轨道、杂化轨 道和分势道等电子几率密度图,绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。式 中b=maan为主量子数,=0.0529m,为波尔半径,Z是有效核电荷,由 Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1中,下面简要叙述对 各类图形的处理方案。 ①径向分布函数图 径向分布函数D(r)=r2R2(r) 反映了电子的几率随半径r的分布情况,D(r)dr代表半径r到r+dr两个球壳夹层内找到电 子的几率。其中R(r)为类氢原子的径向函数,本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表Ⅱ 24-2中。②角度分布函数图:波函数vnm(r,O,的角度部分vmn(0,)以及角分的小 表示同一球面不同方向上vmn(,0,)或v2mn(,日,)的相对大小,本程序所采用的角度 函数m(,中)分别列于表Ⅱ-24-3中 p=,P2,f3,f2,(f2)F 角度分布图是画的X-Z平面的截面图,其余角度分布 图都是画的X-Y平面的截面图。角度分布函数图中,凡轨道形状相同,而仅方向不同者, 仅绘出一个图形作为代表 ③等电子几率密度图:(r,.p)称为电子几率密度函数,它描述在该轨道中的电子在三维 空间的分布情况,为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图,程序按指 定的轨道在该切面上逐点计算w2的值,及找出Wm2的最大值,求出相对几率密度 wma,该值在X-Y平面上是位置坐标(xy)的函数(对于3d2轨道是在X2平 面),绘图时不是将取值相同的点连成曲线,而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区 域。当P<0.01时为空白 0.01≤P<0.02时用“:”,0.02≤P<0.1时用“/”,0.1≤P<0.25时用“0”,0.25≤P<0.5 时用“&”和P>0.5时用“#”符号表示。根据这些符号可以粗略看出几率密度的分布情况。 在XY平面内,坐标变化范围为

实验三十一 径向分布函数、角度分布函数 电子云图形的绘制 1.目的要求 (1) 绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。 (2) 了解计算机绘图方法。 2.基本原理 (1) 程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨 道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。式 中 ，n 为主量子数， =0.0529nm，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由 Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1 中，下面简要叙述对 各类图形的处理方案。 ①径向分布函数图： 径向分布函数 D(r)=r2 R 2 (r) 反映了电子的几率随半径 r 的分布情况， D(r)dr 代表半径 r 到 r+dr 两个球壳夹层内找到电 子的几率。其中 R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数 R(r)分别列于表Ⅱ -24-2 中。②角度分布函数图：波函数 的角度部分 以及角度分布函 数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度 函数 分别列于表Ⅱ-24-3 中。 , 2 , 3 , 2 ,( 2 ), , 2 3 z z z xz yz sp d sp p p f f f Y Y 角度分布图是画的 X-Z 平面的截面图，其余角度分布 图都是画的 X-Y 平面的截面图。角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则 仅绘出一个图形作为代表。 ③等电子几率密度图： 2 (r,,) 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维 空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指 定的轨道在该切面上逐点计算 2  的值，及找出 2  max 的最大值，求出相对几率密度 2 max 2 P =  / ，该值在 X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于 3 2 z d 轨道是在 X-Z 平 面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区 域。当 P＜0.01 时为空白， 0.01≤P＜0.02 时用“：”，0.02≤P＜0.1 时用“／”，0.1≤P＜0.25 时用“O”，0.25≤P＜0.5 时用“&”和 P＞0.5 时用“#”符号表示。根据这些符号可以粗略看出几率密度的分布情况。 在 X-Y 平面内，坐标变化范围为 0 2 na Zr  = 0 a  (r,,) nlm  (,) lm ( , ) 2  lm    (r,,) nlm ( , , ) 2  nlm r    (,) lm

2.4≤x≤2.4(步长=0.08) -1.42≤y≤1.42(步长=0.133) 所有距离的长度单位都是10m。 原子轨道使用的波函数如表Ⅱ-24-4所示。对3d2,4d2,4/,和4f2轨道采用X-Z平面做 截面,所有其它原子轨道都画在X-Y平面上,程序使用原子轨道的四重轴对称性,首先计算 第三象限内,即24≤x≤0,-14≤y≤0的甲值,随后被P=V2ym2代替,在其它三 个象限内的相应值由对称性得到,用P(x,y)代表电子在坐标(x,y)点的几率密度,则: P(x, -y)=P(x, y)=P(x, -y)=P(x, y) 表Ⅱ-24-1 S1ater轨道中的Z参量值 Z|原 有效核电荷2 Z原子 有效核电荷z Is 2s, 2p 3s, 3p H|1.00 19K18.7014.857.75 2|He1.70 20ca19.7015.858.75 2.85 Sc20.7016.859.753.003 3.701.95 22Ti21.7017.8510.75 653.15 4.702.60 23V22.7018.8511.754.303.30 6C5.703.25 24cr23.7019.8512.755.602.95 N|6.703.90 Mn24.7020.8513.755.603.60 8「07.704.55 26Fe25.7021.8514.756.253.75 9F8.705.20 27co2670228515756 23.8516.757.554.05 11Na10.706.852.2029cu28.7024.8517.758.853.70 12kg1.7078528530zn297025.8518.758.854.35 13A|12.708853.5031Ga30.7026.8519.759.855.00 si13.709854.1532ce31.7027.8520.7510.855.65 14.7010.854.8033As32.7028.8521.7511.856.30 16s15.7011.85|5.4534se|3.7029.8527512.856.95 17c1|16.7012.85|6.1 Br34.7030.8523.7513.857.60 Ar17.7013.856.75 Kr|357031.8524751485825 杂化轨道采用的杂化方式如表Ⅱ-24-5所示,程序中应用了以X轴为对称轴的二重轴对 称性,在XY平面上画出杂化轨道等电子几率密度图 分子轨道采用如表Ⅱ-24-6所示的原子轨道的线性组合,取双原子-A、B的两个原子核 在Y轴上,及以Y轴为分子轴,其坐标分别为-RAB/2,RAB/2,若ZA=Z,则分子轨道具有 四重轴对称性,否则仅有以Y轴为对称轴的二重轴对称性

-2.4≤x≤2.4(步长=0.08) -1.42≤y≤1.42(步长=0.133) 所有距离的长度单位都是 10-10 m 。 原子轨道使用的波函数如表Ⅱ-24-4 所示。对 3 2 ,4 2 ,4 3 , 4 2 z z z xz d d f 和 f 轨道采用 X-Z 平面做 截面，所有其它原子轨道都画在 X-Y 平面上，程序使用原子轨道的四重轴对称性，首先计算 第三象限内，即-2.4≤x≤0,-1.42≤y≤0 的Ψ值，随后被 2 max 2 P =  / 代替，在其它三 个象限内的相应值由对称性得到，用 P(x,y)代表电子在坐标(x，y)点的几率密度，则： P(-x,-y)=P(-x,y)=P(x,-y)=P(x,y) 表Ⅱ-24-1 Slater 轨道中的 Z *参量值 Z 原子 有效核电荷 Z * Z 原子 有效核电荷 Z * ls 2s,2p 3s,3p 1s 2s,2p 3s,3p 3d 4s,4p 1 H 1.00 19 K 18.70 14.85 7.75 2.20 2 He 1.70 20 Ca 19.70 15.85 8.75 2.85 3 Li 2.70 1.30 21 Sc 20.70 16.85 9.75 3.00 3.00 4 Be 3.70 1.95 22 Ti 21.70 17.85 10.75 3.65 3.15 5 B 4.70 2.60 23 V 22.70 18.85 11.75 4.30 3.30 6 C 5.70 3.25 24 Cr 23.70 19.85 12.75 5.60 2.95 7 N 6.70 3.90 25 Mn 24.70 20.85 13.75 5.60 3.60 8 O 7.70 4.55 26 Fe 25.70 21.85 14.75 6.25 3.75 9 F 8.70 5.20 27 Co 26.70 22.85 15.75 6.90 3.90 10 Ne 9.70 5.85 28 Ni 27.70 23.85 16.75 7.55 4.05 11 Na 10.70 6.85 2.20 29 Cu 28.70 24.85 17.75 8.85 3.70 12 Mg 11.70 7.85 2.85 30 Zn 29.70 25.85 18.75 8.85 4.35 13 Al 12.70 8.85 3.50 31 Ga 30.70 26.85 19.75 9.85 5.00 14 Si 13.70 9.85 4.15 32 Ge 31.70 27.85 20.75 10.85 5.65 15 P 14.70 10.85 4.80 33 As 32.70 28.85 21.75 11.85 6.30 16 S 15.70 11.85 5.45 34 Se 33.70 29.85 22.75 12.85 6.95 17 Cl 16.70 12.85 6.10 35 Br 34.70 30.85 23.75 13.85 7.60 18 Ar 17.70 13.85 6.75 36 Kr 35.70 31.85 24.75 14.85 8.25 杂化轨道采用的杂化方式如表Ⅱ-24-5 所示，程序中应用了以 X 轴为对称轴的二重轴对 称性，在 X-Y 平面上画出杂化轨道等电子几率密度图。 分子轨道采用如表Ⅱ-24-6 所示的原子轨道的线性组合，取双原子-A、B 的两个原子核 在 Y 轴上，及以 Y 轴为分子轴，其坐标分别为-RAB／2，RAB／2，若 ZA=ZB，则分子轨道具有 四重轴对称性，否则仅有以 Y 轴为对称轴的二重轴对称性

表19-2类氢原子的径向波函数Rn1(r) IS RIo(r)=(=/ao)2 % R2(r)=_1 2 (=/a0)3(-2) R21(r)= (=/a1)与% R3()=9√3 (=/a1)x(6-6p+p2)e R31() 9√6(=/a)2(4-p)xc% R2()=_1 (=/a0) % 6Ry(a)2(24-36+122-p)% R()=2=/a)2(20-100+p2)a% R2()=_1 (=/a0)2(6-p)p2e 96√5 R % 96√35 表19-3波函数角度部分Ym1(6,中) sin e cosφ PyV4丌 sin Osin o

表 19-2 类氢原子的径向波函数 R (r) nl 1S R10 (r) = 2 2 3 ( / 0 ) 2 − z a 2S R20 (r) = 2 2 3 0 ( / ) ( 2) 2 2 1   − z a − 2P R21 (r) = 2 2 3 0 ( / ) 2 6 1   − z a e 3S R30 (r) = 2 2 2 3 0 ( / ) (6 6 ) 9 3 1    − z a − + e 3p R31 (r) = 2 2 3 0 ( / ) (4 ) 9 6 1    − z a − e 3d R32 (r) = 2 2 2 3 0 ( / ) 9 30 1   − z a e 4S R40 (r) = 2 2 3 2 3 0 ( / ) (24 36 12 ) 96 1     − z a − + − e 4p R41 (r) = 2 2 2 3 0 ( / ) (20 10 ) 32 15 1     − z a − + e 4d R42 (r) = 2 2 2 3 0 ( / ) (6 ) 96 5 1    − z a − e 4f R43 (r) = 2 3 2 3 0 ( / ) 96 35 1   − z a e 表 19-3 波函数角度部分 (,) lm Y 4 1 S =    sin cos 4 3 = x p    sin sin 4 3 = py

P:V4r cose d 16z c0-0-D) sin 00 cos中 0 cos Osm o sin-0sin 29 sin-6 cos 2o 1- (5cos0-3cos 0) sin 0(5cos 0-D)coso f-2=1-sin 0(5 0-1)sin g fx2)-12s2m= A cos0sn 2g y(3x'-y)32r sn0 cos 30 ③5sm3m3 +√3cosO d'sPv16r cOS cos 0+ 3(V5 表19-4类氢原子波函数 In(F,6,p)

  cos 4 3 = pz (3cos 1) 16 5 2 2 =  −  z d     sin cos cos 4 15 = xz d     sin cos sin 4 15 = yz d    sin sin 2 4 15 2 = dxy    sin cos 2 16 15 2 2 2 = x − y d (5cos 3cos ) 16 7 3 3    = − z f     sin (5cos 1) cos 32 21 2 2 = − xz f     sin (5cos 1)sin 32 21 2 2 = − yz f     sin cos cos 2 16 105 2 ( ) 2 2 = z x −y f     sin cos sin 2 16 105 2 = xyz f    sin cos3 32 35 3 (3 ) 2 2 = y x −y f    sin sin 3 32 35 3 ( 3 ) 2 2 = x x − y f (  )  1 3 cos 8 1 Ysp = +                 = + + −1 5 2 3 1 cos 5 2 cos 16 15 2 2 3    d sp Y 表 19-4 类氢原子波函数  (r,,) nlm

21% )2e% 4√2xao vs=183 )32(6-6p+P2)g2% 92√r 3(24-36p+12-D3kemn2 Yep pe sin 8 cosg W2Py 42r ao 2× "p sin Osin g v2P:4 )oe ?s cos e v3=18√2xa (4-p) % 6cosφ WaP x64√5za (y(20-10p+p2)pe% sin 0 cos g vd236√6ra 2p2e(3cos2-1) % (-)22 pesin2bcos2小 36√2丌 vxy36√2aa esn 2o 422=1283 (2)162-p)2sm20c052 1(2)16p2-03%sm2Bm26 1283 338457a)o3e-760o0-3cos) W2=12850an)2%m50-os v4x2-y2)3842丌 pe p% n b cos 128√3 ()/pe /2 sin 20 cos 8 cos 20

2 0 3 2 1 ( ) 1    − = e a Z S 2 0 3 2 2 ( ) 4 2 1    − = e a Z S 2 0 ( ) (6 6 ) 18 3 1 3 2 2 3      − = − + e a Z S 3 2 2 3 2 4 ( ) (24 36 12 ) 192 1 0       − = − + − e a Z S       ( ) sin cos 4 2 1 2 2 3 0 2 − = e a Z x P       ( ) sin sin 4 2 1 2 2 3 0 2 − = e a Z y P      ( ) cos 4 2 1 2 2 3 0 2 − = e a Z z P        ( ) (4 ) sin cos 18 2 1 2 2 3 0 3 − = − e a Z x P         ( ) (20 10 ) sin cos 64 5 1 2 2 3 0 2 4 − = − + e a Z x P ( ) (3cos 1) 36 6 1 2 2 2 3 2 3 2 = − −      e a Z o z d       ( ) sin cos 2 36 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 − = − e a Z o x y d       ( ) sin sin 2 36 2 1 2 2 2 3 2 3 − = e a Z o dxy ( ) (6 ) (3cos 1) 384 1 2 2 3 2 2 3 4 2 = − − −       e a Z o z d        ( ) (6 ) sin cos 2 128 3 1 2 2 3 2 2 3 2 2 4 − − = − e a Z o x y d        ( ) (6 ) sin sin 2 128 3 1 2 2 3 2 2 3 4 − = − e a Z o xy d ( ) (5cos 3cos ) 384 5 1 2 3 2 3 3 4 3       = − − e a Z o z f        ( ) sin (5cos 1) cos 128 30 1 2 3 2 2 3 4 2 = − − e a Z o xz f       ( ) sin cos3 384 2 1 2 3 2 3 3 ) 2 2 ( 4 − − = e a Z o x x y f        ( ) sin cos cos 2 128 3 1 2 3 2 2 3 ) 2 2 ( 4 − − = e a Z o z x y f