C.-A 一一导体ⅰ与地之间的部分电容 部分电容的特点： (1)C“在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第i个导体上的电量： (2)C,≠》在数值上等于第j个导体的电位为一个单位、其余导体都接地时，第1个导体上的 电量： (3)C可只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和 带电量无关： (4)C>0 (5)具有对称性，即C,=Cn. (4)等效电容 在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U,极 板上所带电荷分别为士9，则比值9/心称为这两个导体间的等效电容。 如图所示，有三个部分电容CC2C2】 CuC22 导线1和2间的等效电容为 =Cu+Cu+Cx C吉 C22 Cy2C2 导线1和大地间的等效电容为 C=Cu+Cp+Cm 大地 大地上空的平行双导线 导线2和大地间的等效电容为 3.1.4静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。 静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立（或充电）过程。在此过 程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成 电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。 1.静电场的能量 11
11 = = N j Cii ij 1 —— 导体 i 与地之间的部分电容 部分电容的特点： （1） Cii 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第 i 个导体上的电量； （2） C (i j) ij 在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余导体都接地时，第 i 个导体上的 电量； （3） Cij 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和 带电量无关； （4） Cij 0 ； （5） 具有对称性，即 Cij = Cji 。 （4）等效电容 在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压 U ，极 板上所带电荷分别为 q ，则比值 q U 称为这两个导体间的等效电容。 如图所示，有三个部分电容 C11、C22、C12 . 导线 1 和 2 间的等效电容为 11 22 11 22 1 12 C C C C C C + = + 导线 1 和大地间的等效电容为 12 22 12 22 2 11 C C C C C C + = + 导线 2 和大地间的等效电容为 12 11 12 11 3 22 C C C C C C + = + 3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。 静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过 程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成 电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。 1. 静电场的能量 1 2 C12 C11 C22 大地 大地上空的平行双导线
设系统从零开始充电，最终带电量为9、电位为P。充电过程中某一时刻的电荷量为网、电 位为ap。0≤a≤1当a增加为a+da）时，外电源做功为agda）。对a从0到1积分， 即得到外电源所做的总功为 [agoda- 根据能量守恒定律，此功也就是电量为9的带电体具有的电场能量。，即 W=290 对于电荷体密度为P的体分布电荷，体积元dD中的电荷PW具有的电场能量为 dw.=podv 故体分布电荷的电场能量为 形-Iar 对于面分布电荷，电场能量为 形=P,s 对于多导体组成的带电系统，则有 所∑美P%a-∑a{Pds-∑0a 式中：9：一第i个导体所带的电荷 第ⅰ个导体的电位 2.电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。 电场能量密度： 06 电场的总能量： w.-[p.Eav 积分区域为电场所 对于线性、各向同性介质，则有 在的整个空间
12 设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为 。充电过程中某一时刻的电荷量为 q 、电 位为 。(0≤α≤1)当 增加为 ( + d) 时，外电源做功为: (qd) 。对 从 0 到 1 积分， 即得到外电源所做的总功为 qd q 2 1 1 0 = 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量 We ，即 We q 2 1 = 对于电荷体密度为 的体分布电荷，体积元 dV 中的电荷 dV 具有的电场能量为 W dV 2 1 d e = 故体分布电荷的电场能量为 = V W dV 2 1 e 对于面分布电荷，电场能量为 = S W S dS 2 1 e 对于多导体组成的带电系统，则有 = = = i i i i S i S i S W S i S S q i i i i 2 1 d 2 1 d 2 1 e 式中： i q —— 第 i 个导体所带的电荷 i —— 第 i 个导体的电位 2. 电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。 电场能量密度： w D E = 2 1 e 电场的总能量： W D EdV V e = 2 1 对于线性、各向同性介质，则有 积分区域为电场所 在的整个空间
D=0 w.-3D.E-3E.E-c 形=D-=e运r-Eaw 推证：w.=foww=.0业b0p-D+voD p=.- -v6ojo-dUv-Dw=f0.因 =,5as+E-E=-@ 由于体积V外的电荷密度P=0,若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要 电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有 -d月-d) 故50.a5-0员是a5)-02→0 例3.l.7半径为a的球形空间内均匀分布有电荷体密度为p的电荷，试求静电场能量。 解方法，利用所D 计算 根据高斯定理求得电场强度 后=e名 属=6兴6>小 故形=D-ar=6Ear+l6d 法=，期w 先求出电位分布 13
13 W D EdV E EdV E dV w D E E E E V V V e e = = = = = = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) D S E D V D D dV W dV D dV S V V V V e d 2 1 d 2 1 [ ] 2 1 2 1 2 1 = + = − = = 推证： 由于体积 V 外的电荷密度ρ＝0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要 电荷分布在有限区域内，当闭合面 S 无限扩大时，则有 ) 0 1 d ) ~O( 1 1 d ~ O( 1 ~ 1 ~ 2 2 → R S R R D S R D R S S 故 、 例 3.1.7 半径为 a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。 解： 方法一，利用 W D EdV V e = 2 1 计算 根据高斯定理求得电场强度 ( ) (r a) r a E e r a r E e r r = = 2 0 3 2 0 1 3 3 W D E V E V E V V V V d 2 1 d 2 1 d 2 1 1 2 2 0 2 2 e 0 1 = = + 故 2 5 0 2 2 4 0 2 6 2 0 2 0 2 2 0 15 4π 4π d ) 9 4π d 9 ( 2 1 r r a r a r r r a a = + = 方法二：利用 = V We dV 2 1 计算 先求出电位分布 D = ( D) D D = + ( ) = V s D dV D dS E = − R ρ ρ＝0 S
可医+属院+· =a-sa 故既-aedr分c-写arw经d 3.1.5静电力(*) 己知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于 电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来 计算静电力。 虚位移法：假设第1个带电导体在电场力的作用下发生位移g,则电场力做功1=F8,， 系统的静电能量改变为：。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为 dws Fdg;+dw. 其中形是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。 1.各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量 dm,=∑dg,9）=2odg, dm,=∑dg,e)=之e,d 系统所改变的静电能量 即am,=2aw之Fs,=dm>多装 2.各带电导体的电荷不变 此时，所有带电体都不和外电源相连接，则形=0，因此 ®城之5=爱 式中的“一”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。 例3.1.8有一平行金属板电容器，极板面积为×b,板间距离为d,用一块介质片（宽度为b
14 ) ( ) 3 ( 2 d 3 d 3 d d 2 2 0 2 0 3 0 1 1 2 r a r a r r a r r E r E r a r a a a r = − = + = + 2 5 0 2 0 2 2 0 2 e 1 15 4π )4π d 3 ( 2 2 1 d 2 1 r r a r W V a a V = = − = 故 3.1.5 静电力（*） 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于 电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来 计算静电力。 虚位移法：假设第 i 个带电导体在电场力 Fi 的作用下发生位移 dgi ，则电场力做功 dA = Fidgi ， 系统的静电能量改变为 dWe 。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为 dWS = Fidgi + dWe 其中 dWS 是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。 1. 各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量 ( ) = = = = N i i i N i dWS d qi i dq 1 1 系统所改变的静电能量 ( ) = = = = N i i i N i dWe d qi i dq 2 1 1 1 即 dWS = 2dWe Fidgi = dWe 不变 i e i g W F = 2. 各带电导体的电荷不变 此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS = 0 ，因此 Fidgi = −dWe q不变 i e i g W F = − 式中的“－”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。 例 3.1.8 有一平行金属板电容器，极板面积为 l b ，板间距离为 d ，用一块介质片（宽度为 b 、 由于ε>ε0，所以介质
厚度为，介电常数为8)部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为0，忽略边 缘效应，求介质片所受的静电力。 解平行板电容器的电容为 c=6-+ d 所以电容器内的电场能量为 cug-k0-则 的 可求得介质片受到的静电力为 a- 2d 此题也可用式 gg 来计算 设极板上保持总电荷q不变，则 形-无同 由此可得F=- d(e-6o灯2 axp2bE,0-+司 由于 g=Cu,=gs0-到 同样得到F=bs-S 2d 3.2导电媒质中的恒定电场分析 本节内容 3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2恒定电场与静电场的比拟 3.2.3漏电导 3.21恒定电场的基本方程和边界条件 由J=E可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的 电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的 电场称为恒定电场。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场与静电场的重要区别： (1)恒定电场可以存在于导体内部。 (2)恒定电场中有电场能量的损耗要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充 15
15 厚度为 d ，介电常数为 ）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为 U0 ，忽略边 缘效应，求介质片所受的静电力。 解 平行板电容器的电容为 ( ) d bx d l x b C + − = 0 所以电容器内的电场能量为 (l x) x d bU We = CU = − + 0 2 2 0 0 2 2 1 由 不变 i e i g W F = 可求得介质片受到的静电力为 ( ) d b U x W F U e x 2 2 0 0 0 − = = 不变 此题也可用式 q不变 i e i g W F = − 来计算 设极板上保持总电荷 q 不变，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d b U F l x x d bU q CU b l x x d q x W F b l x x dq C q W x q e x e 2 [ ] 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 − = = = − + − + − = = − − + = = 同样得到 由于 由此可得 不变 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 本节内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 由 J =E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的 电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的 电场称为恒定电场。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场与静电场的重要区别： （1）恒定电场可以存在于导体内部。 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充