6.静电位的边界条件 设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为9和9？。当两点间距离△1→0 时 %-%=mE.d=0→0=0 若介质分界面上无自由电荷，即 A-0>6需=6器 =-p 导体表面上电位的边界条件：p=常数，m 例3.1.4两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度 为Ps0的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。 解在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷 分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程 do()-0. (0<x<b) dx y do:(x)-0. (b<x<a) dx 方程的解为 0(x0(x) o(x)=Cx+D 2(x)=C2x+D2 利用边界条件，有 x=0处，%，0)=0 两块无限大平行板 x=a处，p2(a)=0 x=b处，0，(b)=p(a 「a9.d_agd=-
6 6. 静电位的边界条件 设 P1 和 P2 是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为 1 和 2 。当两点间距离 l → 0 时 lim d 0 2 Δ 0 1 1 − 2 = = → P l P E l 1 =2 由 ( ) n S e D1 − D2 = 和 D = − S n n = − 1 1 2 2 若介质分界面上无自由电荷，即 S = 0 n n = 1 1 2 2 导体表面上电位的边界条件： = 常数， S n = − 例 3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度 为 S 0 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。 解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷 分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程 ( ) ( ) ( ) (b x a) dx d x x b dx d x = = 0, 0, 0 2 2 2 2 1 2 方程的解为 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 x C x D x C x D = + = + 利用边界条件，有 ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 0 1 2 2 1 x b b a x a a x = = = = = = 处， 处， 处， ( ) ( ) 0 2 1 0 S x b x x x x = − − = o b a x y 两块无限大平行板 S 0 1 ( ) x 2 ( ) x
所以D,=0 C3a+D2=0 Cb+D=Cb+D: 最后得 C:-C=-Pso 60 n)=la-lx0sxs） oa 由此解得 9()-Pxb(a-x)(bsxsa) Eoa C=-2su(6-a) D=0 E(*)-Vg.(r)-2,esola-b) C:=-Poob,D.=exb E.(x)=-Vo.(x)-i.Pxb Sa 3.1.3导体系统的电容与部分电容 (1)在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用。 (2)通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路。 (3)在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的 利用率。 1.电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。孤立导体的电容，孤 C-9 立导体的电容定义为所带电量q与其电位P的比值，即 ?两个带等量异号电荷（±q)的导 9 体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电 量和电位无关。 计算申容的方法一： 山假定两导体上分别带申荷如和 计算电容的方法二： 山)假定两申极间的电位差为U: 一q: (2)计算两导体间的电场强度E: (2)计算两电极间的电位分布P: B由-矿E,、求出西生如 )由E=-Vp符到E 的电位差： ④求比值C=9/心，即得出所求电 ④由A=E,得到P q=p,ds (⑤由 ,求出导体的电苞
7 0 0 2 1 1 1 2 2 2 2 1 0 0 S C C C b D C b D C a D D − = − + = + + = 所以 = ( ) 0 0 2 0 0 2 1 0 0 1 , , 0 b D a b C D b a C S S S = − = = − = − 由此解得 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 （1）在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用。 （2）通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路。 （3）在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的 利用率。 1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。孤立导体的电容，孤 立导体的电容定义为所带电量 q 与其电位 的比值，即 q C = 两个带等量异号电荷（ q ）的导 体组成的电容器，其电容为 1 −2 = = q U q C 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电 量和电位无关。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b E x x e a a b E x x e a x b x a a b x x x b a a b x S x S x S S 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 2 0 0 1 , , 0 = − = − = − = − = − − = 最后得 计算电容的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为 U ； (2) 计算两电极间的电位分布 ； (3) 由 E = − 得到 E ; (4) 由 S En = 得到 S ; (5) 由 q dS s = s ，求出导体的电荷 q ； (6) 求比值 ，即得出所求电 容。 计算电容的方法一： (1) 假定两导体上分别带电荷+q 和 －q ； (2) 计算两导体间的电场强度 E； (3) 由 = 2 1 U E dl ，求出两导体间 的电位差； (4) 求比值 C = q U ，即得出所求电 容
9=☑ =0 例3.1.4同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b,其间填充介电常数为的均匀介质 求此球形电容器的电容。 解：设内导体的电荷为q,则由高斯定理可求得内外导体间的电场 D=g,E=6,4怀g 同心导体间的电压 u-品启》品品 C=4=4TEab 球形电容器的电容 U b-a -一一孤立导体球的电容 当6→时，C=4标0← 例3.15如图所示的平行双线传输线，导线半径为a,两导线的轴线距离为D,且D>a,求 传输线单位长度的电容。 解设两导线单位长度带电量分别为十P和一P。由于D>a,故可近似地认为电荷分别均匀分布 在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点 P的电场强度为 )=,1 1 2π6（xD-x 两导线间的电位差 a- π6
8 例 3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为 a 、外导体半径为 b，其间填充介电常数为ε的均匀介质。 求此球形电容器的电容。 解：设内导体的电荷为 q ，则由高斯定理可求得内外导体间的电场 2 2 4 , 4 r q E e r q D er r = = 同心导体间的电压 ab q b a a b q U Edr b a − = = = − 0 4 0 1 1 4 球形电容器的电容 b a ab U q C − = = 40 当b →时，C = 40a 例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为 a ，两导线的轴线距离为 D ，且 D >> a ，求 传输线单位长度的电容。 解 设两导线单位长度带电量分别为 + l 和 − l 。由于 D a ，故可近似地认为电荷分别均匀分布 在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点 P 的电场强度为 ( ) − = + x D x E x e l x 1 1 2 0 两导线间的电位差 a D a dx x D x U E dl l D a a l − = − = = + − ln 1 1 2 0 0 2 1 E 2 = 0 1 =U + q − q 孤立导体球的电容 x y z x D a
故单位长度的电容为 G-号-o-aya"n(pia π6 π6 (F/m) 例3.1.6同轴线内导体半径为，外导体半径为b,内外导体间填充的介电常数为6的均匀介质， 求同轴线单位长度的电容。 解设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为P和一P,应用高斯定理可得到内外导体间任 一点的电场强度为 ip）=E,2rp 内外导体间的电位差 同轴线 =Ph(b/a) 2π 故得同轴线单位长度的电容为 2π8 U-h(bla)(F/m) *2.部份电容 在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系 统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。 (1)电位系数 由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位 为 月-2ag,6=2,州 式中：a0=1,2,.N)-自电位系数 a,(≠)-互电位系数 电位系数的特点： （1)a,在数值上等于第i个导体上的总电量为一个单位、而其余导体上的总电量都为零时，第j 个导体上的电位，即 a,=21g,==9.=9.9w=06j=12,N)
9 故单位长度的电容为 ( ) ( ) (F m) U D a a D a C l ln ln 0 0 1 − = = 例 3.1.6 同轴线内导体半径为 a ，外导体半径为 b ，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质， 求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 + l 和 − l ，应用高斯定理可得到内外导体间任 一点的电场强度为 ( ) 2 l E e = 内外导体间的电位差 ( ) (b a) U E e d d l b a l b a ln 2 1 2 = = = 故得同轴线单位长度的电容为 ( ) (F m) U b a C l ln 2 1 = = ＊ 2. 部份电容 在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系 统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。 （1） 电位系数 在由 N 个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位 为 q (i N) j N j i ij 1,2, , 1 = = = ( ) ( ) 互电位系数 式中： 自电位系数 − − − = − − − i j i N ij ij 1,2, 电位系数的特点： （1） ij 在数值上等于第 i 个导体上的总电量为一个单位、而其余导体上的总电量都为零时，第 j 个导体上的电位，即 q q q q (i j N) q j j N j i i j | 0 , 1,2, , = 1 == −1= +1 = = a b 同轴线
(2)a只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和 带电量无关： 64y>0. (4)具有对称性，即Q,=0m。 (2)电容系数 若己知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 g=立%=12，N 式中：B=1,2,.,N)-自电容系数或自感应系数 B(≠)-互电容系数或互感应系数 电容系数的特点： (1)B,在数值上等于第j个导体上的电位为一个单位、而其余导体接地时，第i个导体上的电 量，即 B,=g1A==9=9m=9w=06j=12,. (2)B订j只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位 和带电量无关： (3)B>0、B,≤0f≠方 (4)具有对称性，即B≠B。 (3)部分电容 将各导体的电量表示为 9,=∑P9,=∑B,0,-B,A+R,A)=-∑B,Q-p,+∑B,A =∑C,-9,+C06=l2., 式中：C=-B,6≠) 一一导体i与导体j之间的部分电容
10 （2） ij 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和 带电量无关； (3) ij 0 ； (4)具有对称性，即 ij = aji 。 （2） 电容系数 若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 q (i N) N j i ij j 1,2, , 1 = = = ( ) ( ) 互电容系数或互感应系数 式中： 自电容系数或自感应系数 − − − = − − − i j i N i j i j 1,2,, 电容系数的特点： （1） ij 在数值上等于第 j 个导体上的电位为一个单位、而其余导体接地时，第 i 个导体上的电 量，即 (i j N) q j j N j i i j | 0 , 1,2, , = 1 == −1 = +1= = = （2）βi j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位 和带电量无关； （3） 0 0(i j); ii 、ii （4）具有对称性，即 ij ji 。 （3） 部分电容 将各导体的电量表示为 ( ) ( ) C ( ) C (i N) q i i i N j i i j i j N j i j i N j i i j i j N j j i j j i j i i j i N j i i j 1,2, , 1 1 1 = − + = = = − + = − − + = = = 式中： C (i j) ij = −ij —— 导体 i 与导体 j 之间的部分电容