新疆大学信息科学与工程学院 1 共138页 电磁场与电磁波（第四版）课后答案 第一章习题解答 1.1给定三个矢量A、B和C如下： A=e+e,2-e3 B=-e,4+e: C=e5-e.2 求：(1)4：(2)A-B:(3)ADB:(4)BB:(5)A在B上的分量：(6)A×C: (7)AIB×C)和(A×BC:(8)(A×B)×C和Ax(B×C)。 Ae.+e,2-e.3 解0日+2+号而*6后病 2 (2)4-=ke,+e,2-e,3)-(-e,4+e=g,+e,6-e,4=5历 (3)AB=e,+e,2-e,3)-e,4+e,)=-1 (4)由 AOB s0。=有因xm-2成，得 -1 0u=cos(11 V2对=1355 eses e. (6)A×C=12-3=-e,4-e,13-e.10 50-2 e,e,e. (7)由于B×C=0-41=e,8+e,5+e,20 50-2 es ey e. AxB=12-3=-e,10-e,1-e.4 0-41 所以 AB×C)=(e,+e,2-e3p(e.8+e,5+e.20)=-42 (A×BC=(-e10-e,1-e.40(e,5-e.2)=-42 es ey e. (8)(A×B)×C -10-1-4=e2-e,40+e.5 50-2 新疆大学信息科学与工程学院
新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 1 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院 共 138 页 电磁场与电磁波（第四版）课后答案 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量 A 、 B 和C 如下： 2 3 A xy z ee e 4 Be e y z 5 2 Ce e x z 求：（1） A a ；（2）A B ；（3）AB ；（4） AB ；（5）A 在 B 上的分量；（6）A C ； （7） A( ) B C 和( ) A B C ；（8）( ) A B C 和 A( ) B C 。 解 （1） 22 2 2 3 123 1 2 ( 3) 14 14 14 xy z A xyz A ee e a eee A （2） A B ( 2 3) ( 4 ) ee e e e xy z y z 6 4 53 ee e xy z （3） AB ( 2 3) ee e xy z (4 ) e e y z －11 （ 4 ） 由 cos AB 11 11 14 17 238 A B A B ， 得 1 cos AB 11 ( ) 135.5 238 （5） A 在 B 上的分量 AB A cos AB 11 17 A B B （6） A C 12 3 50 2 xyz eee 4 13 10 ee e xy z （7）由于 BC 0 41 50 2 xyz eee 8 5 20 eee xyz A B 12 3 0 41 xyz eee 10 1 4 e ee x yz 所以 ABC ( ) ( 2 3) ee e xy z ( 8 5 20) 42 eee xyz ( ) A B C ( 10 1 4) x yz e ee ( 5 2) 42 e e x z （8）( ) A B C 10 1 4 50 2 x yz e ee 2 40 5 ee e xy z
新疆大学信息科学与工程学院 .2 e,e,e. A×(B×C)=12-3=e.55-e,44-e.11 8520 12三角形的三个顶点为P(0,1-2)B(4,L-)和B(6,25· (1)判断△PB￡是否为一直角三角形： (2)求三角形的面积。 解(1)三个顶点P(0,1-2)、B(41,-3)和(6,25)的位置矢量分别为 5=e,-e2,5=e,4+e,-e3,5=e,6+e,2+e5 则 R2=5-r=e,4-e., R3=5-5=e2+e,+e.8, R1=r-5=-e,6-e,-e,7 由此可见 RR=(e,4-e.Ie2+e,+e.8)=0 故△PBB为一直角三角形。 (2)三角形的面积S=)R×R=)R.XR=)7xV6=17.13 1.3求P'(-3,14)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。 解rp=-e,3+e,+e.4,=e2-e,2+e3, 则 Rrp =T-Tr- =e.5-e,3-e 且Rp与x、y、:轴的夹角分别为 =w瓷-房-m7 Rgp 14给定两矢量A=e,2+e,3-e,4和B=e,4-e,5+e.6,求它们之间的夹 角和A在B上的分量。 解A与B之间的夹角为0。=0因=（2四示=1Br -31 A在B上的分量为4。=A B-31 回V7-352 1.5给定两矢量A=e,2+e3-e.4和B=-e,6-e,4+e,求A×B在 C=e,-e,+e.上的分量。 e,e,e. 解A×B=23-4=-e,13+e,22+e10 -6-41 所以4xB在C上的分量为(AxB:=4严=-名二443 C 16证明：如果AB=AC和AxB=AxC,则B=C: 新疆大学信息科学与工程学院
新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 2 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院 A BC ( ) 12 3 8 5 20 xyz eee 55 44 11 eee xyz 1.2 三角形的三个顶点为 1P(0,1, 2) 、 2 P (4,1, 3) 和 3P (6, 2,5)。 （1）判断PPP 123是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点 1P(0,1, 2) 、 2 P (4,1, 3) 和 3P (6, 2,5)的位置矢量分别为 1 2 y z ree ， 2 4 3 x yz re ee ， 3 625 re e e xyz 则 12 2 1 4 R x z rre e ， 23 3 2 2 8 R x yz rr e e e ， 31 1 3 6 7 R x yz rr e e e 由此可见 12 23 ( 4 ) ( 2 8) 0 RR e e e e e x z x yz 故PPP 123为一直角三角形。 （2）三角形的面积 12 23 12 23 11 1 17 69 17.13 22 2 S RR R R 1.3 求 P( 3,1, 4) 点到 P(2, 2,3) 点的距离矢量 R 及 R 的方向。 解 3 4 r e ee P x yz ， 223 re e e Px y z ， 则 5 3 RPP P P x y z rr e e e 且 RPP 与 x、 y 、 z 轴的夹角分别为 1 1 5 cos ( ) cos ( ) 32.31 35 x PP x P P e R R 1 1 3 cos ( ) cos ( ) 120.47 35 y PP y P P e R R 1 1 1 cos ( ) cos ( ) 99.73 35 z PP z P P e R R 1.4 给定两矢量 234 A x yz eee 和 456 Be e e xyz ，求它们之间的夹 角和 A 在 B 上的分量。 解 A 与 B 之间的夹角为 1 1 31 cos ( ) cos ( ) 131 29 77 AB A B A B A 在 B 上的分量为 31 3.532 77 AB B A B 1.5 给定两矢量 234 A x yz eee 和 6 4 Be e e xyz ， 求 A B 在 Ce e e xyz 上的分量。 解 A B 23 4 6 41 xyz eee 13 22 10 ee e xy z 所以 A B 在C 上的分量为 ( ) A B C ( ) 25 14.43 3 A BC C 1.6 证明：如果 AB A C 和 A B A C ，则 B C ；
新疆大学信息科学与工程学院 -3 解由A×B=AxC,则有A×(A×B)=Ax(A×C),即 )A-(A0)B=(AC)A-(AD)C 于6r,于地得到8 B=C 17如果给定一未知矢量与一己知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确 定该未知矢量。设A为一已知矢量，P=AX而P=AxX,p和P已知，试求 X 解由P=A×X,有 A×P=A×(A×X)=(AX)A-(A04)X=PA-(AD4)X 故得 X=PA-Axp 1.8在圆柱坐标中，一点的位置由(4,2π，3)定出，求该点在：(1)直角坐 标中的坐标：(2)球坐标中的坐标。 解(1)在直角坐标系中x=4cos(2π/3)=-2~y=4si(2π/3)=2V5、:=3 故该点的直角坐标为(-2,2W5,3)。 (2)在球坐标系中 r=√42+32=5、0=tan(4/3)=53.1°y d=2T/3=120° 故该点的球坐标为(5,53.°，120) 19用球坐标表示的场E=6, 25 (1)求在直角坐标中点(-3,4，-5)处的E和E,: (2)求在直角坐标中点(-3,4，-5)处E与矢量B=6,2-6,2+e构成的夹角。 解(1)在直角坐标中点(-3,4，-5)处，r2=(-3}+42+(-5)2=50,故 -3 (2)在直角坐标中点(-3,4，-)处，r=-e,3+e,4-e5,所以 E.25-2r-e3+e,4-e5 2 3 10W2 故E与B构成的夹角为 哈a-w10=1536 EB 1.10球坐标中两个点(G,日，4)和(G,A,4)定出两个位置矢量R和R。证 明R和R,间夹角的余弦为 cosy=cose cose+sinesine,cos(-) 解由R=esin8cos4+e,hsin8sinA+e:icos8 R =e,r sin,cose sino,sin+er cos 得到y资 新疆大学信息科学与工程学院
新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 3 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院 解 由 A B A C ，则有 A() () AB A AC ，即 ( )( ) ( )( ) A B A AAB AC A AAC 由于 AB A C ，于是得到 ()() A AB AAC 故 B C 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确 定该未知矢量。设 A 为一已知矢量， p AX 而 P AX ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由 P AX ，有 A P A A X AX A AAX A AAX ( )( ) ( ) ( ) p 故得 p AAP X A A 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 2 (4, ,3) 3 定出，求该点在：（1）直角坐 标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。 解（1）在直角坐标系中 x 4cos(2 3) 2 、y 4sin(2 3) 2 3 、z 3 故该点的直角坐标为( 2, 2 3,3) 。 （ 2 ）在球坐标系中 2 2 r 43 5 、 1 tan (4 3) 53.1 、 2 3 120 故该点的球坐标为(5,53.1 ,120 ) 1.9 用球坐标表示的场 2 25 r r E e ， （1）求在直角坐标中点( 3, 4, 5) 处的 E 和 Ex ； （2）求在直角坐标中点( 3, 4, 5) 处 E 与矢量 2 2 Be e e xyz 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点( 3, 4, 5) 处， 2 22 2 r ( 3) 4 ( 5) 50 ，故 2 25 1 2 r r E e 1 3 32 cos 2 20 5 2 Ex x rx eE E （2）在直角坐标中点( 3, 4, 5) 处， 345 xyz ree e ，所以 2 3 25 25 345 10 2 x y z r r r eee E 故 E 与 B 构成的夹角为 1 1 19 (10 2) cos ( ) cos ( ) 153.6 3 2 EB E B E B 1.10 球坐标中两个点 111 (, , ) r 和 222 (, , ) r 定出两个位置矢量 R1和 R2 。证 明 R1和 R2 间夹角的余弦为 1 2 1 2 12 cos cos cos sin sin cos( ) 解 由 1 11 1 111 1 1 sin cos sin sin cos x yz Re e e r rr 2 22 2 222 2 2 sin cos sin sin cos x yz Re e e r rr 得到 1 2 1 2 cos R R R R
新疆大学信息科学与工程学院 -4 sin cos sin cos+sinsinsin,sin+coscos= sinesine(coscos+,sind sin,)+cose cose= sin sine.cos()+cos0 cos 1.11一球面s的半径为5，球心在原点上，计算：重(e,3sin0S的值。 解fe,3sin9四S-fe,3sin9e,dS=了dj3sin0x5sin6d0=75x 1.12在由r=5、2=0和：=4围成的圆柱形区域，对矢量A=e2+e.2=验 证散度定理。 解在圆柱坐标系中 m4=1a w+22)=3r+2 所以 SVdr-jd=jdef(3r+2xrdr=1200z 又 =(er2+e.2=e,ds,+e,ds,+e.ds.)= x5dd+2x4rdrd-1200 故有 [0Adr=1200π=fAS 1.13求(1)矢量A=e,x2+e,xy2+e,24x2y2:3的散度：(2)求四4对中 心在原点的一个单位立方体的积分：(3)求4对此立方体表面的积分，验证散 度定理。 解)m4-0r+ry2+024r=2x+2xy+72y- (2)四A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 「m4dr=背ff2x+2ry+Rry:)dxdyd=24 (3)A对此立方体表面的积分 fus-jj(dyd- - 2xdxd-2xr}dxd+ 故有 1.14计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求D对 球体积的积分。 解 rds=re,ds=[dofaa'sinodo=4na 新疆大学信息科学与工程学院
新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 4 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院 1 1 2 2 11 2 2 1 2 sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos 1 2 1 21 1 2 1 2 sin sin (cos cos sin sin ) cos cos 1 2 12 1 2 sin sin cos( ) cos cos 1.11 一球面 S 的半径为5，球心在原点上，计算： ( 3sin ) d r S e S 的值。 解 ( 3sin ) d ( 3sin ) d r rr S S S e Se e 2 2 2 0 0 d 3sin 5 sin d 75 1.12 在由r 5 、z 0和 z 4 围成的圆柱形区域，对矢量 2 2 r z Ae e r z 验 证散度定理。 解 在圆柱坐标系中 1 2 ( ) (2 ) 3 2 rr z r rr z A 所以 42 5 000 d d d (3 2) d 1200 z r rr A 又 2 d ( 2 )( d d d ) r z rr zz S S r zS S S AS e e e e e 42 52 2 00 00 5 5d d 2 4 d d 1200 z rr 故有 d 1200 A d S A S 1.13 求（1）矢量 2 2 2 2 23 24 xy z Ae e e x xy xyz 的散度；（2）求A对中 心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散 度定理。 解 （1） 2 2 2 2 23 2 2 22 ( ) ( ) (24 ) 2 2 72 x xy xyz x x y x y z xy z A （2）A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 12 12 12 2 2 22 12 12 12 1 d (2 2 72 )d d d 24 x xy xyz x y z A （3） A 对此立方体表面的积分 12 12 12 12 2 2 12 12 12 12 1 1 d ( )d d ( )d d 2 2 S y z y z A S 12 12 12 12 22 2 2 12 12 12 12 1 1 2 ( )d d 2 ( )d d 2 2 x xz x xz 12 12 12 12 22 3 22 3 12 12 12 12 1 11 24 ( ) d d 24 ( ) d d 2 2 24 xy x y xy x y 故有 1 d 24 A d S A S 1.14 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求r 对 球体积的积分。 解 2 2 3 0 0 d d d sin d 4 r S S S aa a r S re
新疆大学信息科学与工程学院 -5 又球华标系种，0是=3所以 vrdr=jjj3r'simodrdod=4xd 1.15求矢量A=e,x+e,x2+ey:沿y平面上的一个边长为2的正方形回 路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求V×A对此回路所 包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 fl=∫xdx-∫xdx+∫2dy-j0dy=8 e. 7×A= axay =e,2z+e.2x xx y 所以 xds-2e.2xe,dxdy-8 故有 重41=8=∫夕×As 116求矢量A=ex+e,严沿圆周x+y=心的线积分，再计算×A对此 圆面积的积分。 解重1=ixdx+gydy=了(-co+acosn0d6= 4 as会-4ras-道rm女der号 4 1.17证明：(1)DR=3:(2)V×R=0:(3)V(AR)=A。其中 R=e,r+e,y+e:,A为一常矢量。 e,e,e. (2) x yy (3)设A=e,4+e,4,+e4,则AR=r+4y+4,故 VAR)-6(x+Ay+)+(+)+ e是4+4y+)=4+4+e4=A 1.18一径向矢量场F=e,)表示，如果F=0,那么函数f)会有什 么特点呢？ 解在圆柱坐标系中，由 u品oj-0 可得到 新疆大学信息科学与工程学院
新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 5 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院 又在球坐标系中， 2 2 1 ( )3 r r r r r ，所以 2 2 3 0 00 d 3 sin d d d 4 a rr a r 1.15 求矢量 2 2 xy z Ae e e x x yz 沿 xy 平面上的一个边长为2 的正方形回 路的线积分，此正方形的两边分别与 x轴和 y 轴相重合。再求 A对此回路所 包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 222 2 2 000 0 d d d 2 d 0d 8 C xx xx y y A l 又 2 2 2 2 xy z x z yz x xy z x x yz ee e A ee 所以 2 2 0 0 d ( 2 2) d d 8 x zz S yz x x y AS e e e 故有 d 8 C A l d S A S 1.16 求矢量 2 x y Ae e x xy 沿圆周 222 x y a 的线积分，再计算 A对此 圆面积的积分。 解 2 ddd C C x x xy y A l 2 4 2 42 2 0 ( cos sin cos sin ) d 4 a a a d ( )d y x z z S S A A S x y AS e e 2 4 2 22 0 0 d sin d d 4 a S a yS r r r 1.17 证明：（1） R 3 ；（2） R 0 ；（3） ( ) AR A 。其中 xyz R eee x y z ， A 为一常矢量。 解 （1） 3 xyz xyz R （2） xyz xyz xyy eee R 0 （3）设 A eee xx yy zz A A A ，则 Axyz A R x A y A z ，故 () ( ) ( ) x xyz y xyz A x Ay Az Ax Ay Az x y AR e e ( ) z xyz A x Ay Az z e eee A xx yy zz AAA 1.18 一径向矢量场 ( ) r F e f r 表示，如果F 0 ，那么函数 f ( )r 会有什 么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1 d [ ( )] 0 d rf r r r F 可得到