新疆大学：《电磁场理论》课程各章习题（电磁场与电磁波，第四版，含参考答案）

新疆大学信息科学与工程学院 -6 C为任意常数。 在球坐标系中，由 r品rFon=0 可得到 119给定矢量函数E=e,y+e,x,试求从点P(2,1-)到点B(8,2-)的线 积分∫E1:(1)沿抛物线x=y2:(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守 场吗？ 解(1)∫E1-可E.dx+E,dy=ydx+xdy- [yd(2y)+2ydy=[6ydy=14 (2)连接点(2,1，-1)到点P(8,2,-1)直线方程为 x-2-8 y-1y-2 即 x-6y+4=0 故 ∫e1=∫E,dx+E,dy=∫yd6y-4)+(6y-4)dy=j02y-4)dy=14 由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1,20求标量函数4=：的梯度及4在一个指定方向的方向导数，此方 向由单位矢量e, 高6高+e高定出：求2)点的方向号数值。 3 4 e,2x+ex:+e.xy 沿方向6=6高*6高+“局的方向导数 为 y=v,-6++ √5050√50 点(2,3,1)处沿e的方向导数值为 √50V50 121试采用与推导直角坐标中 四4头，4+4相似的方法推导圆柱坐标 题1.21图 下的公式 品0路兰 解在圆柱坐标中，取小体积元如题121图所示。矢量场A沿e,方向穿出 该六面体的表面的通量为 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 6 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 ( ) C f r r  C 为任意常数。 在球坐标系中，由 2 2 1 d [ ( )] 0 d rfr r r   ￾F 可得到 2 ( ) C f r r  1.19 给定矢量函数 x y E   e e y x，试求从点 1P(2,1, 1)  到点 2 P (8, 2, 1)  的线 积分 d  E￾ l ：（1）沿抛物线 2 x  y ；（2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守 场吗？ 解 （1） d dd x y C C   E xE y   E l ￾ d d C yxxy    2 2 2 1 y d(2 ) 2 d y yy    2 2 1 6 d 14 y y   （2）连接点 1P(2,1, 1)  到点 2 P (8, 2, 1)  直线方程为 2 8 1 2 x x y y      即 x y  6 40   故 2 1 d d d d(6 4) (6 4)d x y C C       E xE y y y y y   E l ￾ 2 1 (12 4)d 14 y y    由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1.20 求标量函数 2   x yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方 向由单位矢量 345 50 50 50 eee xyz   定出；求(2,3,1) 点的方向导数值。 解 2 22 () () () xyz x yz x yz x yz xyz      eee 2 2 2x yz e ee xyz x z x y   故沿方向 345 50 50 50 ee e e lx y z  的方向导数 为 2 2 645 50 50 50 l xyz xz x y l         ￾e 点(2,3,1) 处沿 l e 的方向导数值为 36 16 60 112 l 50 50 50 50    1.21 试采用与推导直角坐标中 x y z A A A x y z        ￾A 相似的方法推导圆柱坐标 下的公式 1 ( ) z r A A rA rr r z            ￾A 。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 A 沿 r e 方向穿出 该六面体的表面的通量为 r r z o x y  r z  z 题 1.21 图

新疆大学信息科学与工程学院 7 坐-了T4l+ard6-了T4rdrd0 +A))(4r10(4A r or 同理 g=了了4wdrd:-了了4drd: 6+aAn影e (r,z+△s)-A(,克，ryA1 兰rrL-是ar 因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为 =+,+器兰： 故得到圆柱坐标下的散度表达式了·A=A,r+正 平-1ar4)+A+a4 ”方程。号++给出一稀球族.求椭球表面上任意点的单位法向 矢量。 解由于 21 M=2+宗+ 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 a+e常+e得++ Vu 123现有三个实量从、B、C为 A=e,sin0cos+e cos0cos-e,sin B=e='sin+e='cos+e.2rsind C=e(3y2-2x)+e,x2+e2 (1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量 函数的旋度表示？ (2)求出这些矢量的源分布。 解(1)在球坐标系中 rsin0 30(sin)+ 1 GA. 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 7 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 ( )d d d d zz zz r rr r rr z z A r r r A rr                   [( ) ( , , ) ( , , )] r r r r A r r z rA r z z          () () 1 r r rA rA r z r rr           同理 dd dd r rz z r rz z rz rz A rz A rz               [ ( , , ) ( , , )] A r z Ar z rz           A A r z r               dd dd rr rr z zz z zz r r A rr A rr                  [ ( , , ) ( , , )] Ar z z Ar zrr z z z         A A z z rr z z z          因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面的通量为 1 ( ) [ ] r z r z rA A A ΨΨ Ψ Ψ rr r z              故得到圆柱坐标下的散度表达式 0 1 ( ) lim r z rA A A rr r z                   A 1.22 方程 2 22 222 x y z u abc    给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向 矢量。 解 由于 222 222 xyz x y z u abc    eee 222 222 2( ) ( ) ( ) x y z u abc    故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 222 2 22 2 2 2 ( ) () () () xyz u x y z x y z u abc a b c        n eee 1.23 现有三个矢量 A 、 B 、C 为 sin cos cos cos sin Ae e e   r       2 2 sin cos 2 sin r z z z rz Be e e       2 2 (3 2 ) 2 x yz Ce e e    yx x z （1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量 函数的旋度表示？ （2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中 2 2 11 1 ( ) (sin ) sin sin r A rA A rr r r                ￾A

新疆大学信息科学与工程学院 -8 18 1 a cos 2sin 0cos cos rsin g(-sind)- 子sn0oms4 rsin日 e,reo rsinbe VxA-sin0er 20 ArA。rsin0A, e. rea rsine 1 r2sin 00 =0 06 故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表 也可以由 个矢量函数的旋度表 在圆柱坐标系中 是tes如+品eas+是ecs如 singsing+2rsin=2rsin e,rea e. VxB-12 2 =0 rBo B sing 2r=sin 故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示： 直角在坐标系中 r-2+c+2e-o0 e e V×C= 0 d =e.(2x-6y) ax dv dz 3y2-2x x2: 故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 (2)这些矢量的源分布为 V04=0,7xA=0; V0B=2 rsin,V×B=0: 124利用直角坐标，证明2x-6列 VxC- 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 8 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 2 2 11 1 ( sin cos ) (sin cos cos ) ( sin ) sin sin r rr r r              2 cos 2sin cos cos sin cos 0 r r rr sin sin          2 sin 1 sin sin r r r r r r A rA r A                ee e A 2 sin 1 0 sin sin cos cos cos sin sin r r r r r r r                 ee e 故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表 示； 在圆柱坐标系中 1 1 ( ) z r B B rB rr r z           ￾B = 1 1 2 2 ( sin ) ( cos ) (2 sin ) rz z rz rr r z            2 2 sin sin 2 sin 2 sin z z r r r r      2 2 1 1 0 sin cos 2 sin r zr z r z r r rr z r r z B rB B z rz rz                   e ee e e e B 故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中 x y z C C C x y z       ￾C = 2 2 (3 2 ) ( ) (2 ) 0 yx x z x yz        2 2 (2 6 ) 32 2 x yz z x y x yz y xx z          e ee C e 故矢量C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为   ￾A 0 ，  A 0； ￾B = 2 sin r  ，  B 0；   ￾C 0 ， (2 6 ) z    C e x y 1.24 利用直角坐标，证明

新疆大学信息科学与工程学院 9 fA)=fVDA+AVf 解 在直角坐标中 u0+4影U学+4+U学+4影 是UA+号UA)+是U)=mU团 125证明 V阳AxH)=HNxA-AVxH 解根据又算子的微分运算性质，有 IA×H)=-VAxH)+VAxH) 式中V表示只对矢量A作微分运算，V,表示只对矢量H作微分运算。 由abxc)=caxb),可得 VA×H)=HOV,×A)=HIV×A) 同理 VA×H)=-AVg×H)=-AV×H) 故有 IA×H)=HN×A-AN×H 1.26利用直角坐标，证明 Vx(fG)=fVxG+Vf×G 解在直角坐标中 NG=e号+e空0e受等1 所以 NG+6=eGg/9-o++ eG是+y-G/ 92.a: .)G=Vx(G) 1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 8对合男影的任意鱼面5，由新托克斯定理有 试证明之 J(VxVwS-vd-fd-0 由于曲面S是任意的，故有 Vx(V0)=0 新疆大学信息科学与工程学院 题127图

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 9 ‐  新疆大学信息科学与工程学院     ￾( ) fA AA f f ￾ ￾ 解 在直角坐标中 ( )( ) x y z xyz A A A fff f ff A A A x y z x y z                  ￾ ￾ A A ( )( )( ) x y z x yz A fff A A fA fA fA x x y y z z           ( ) ( ) ( ) () xyz fA fA fA f xyz      ￾ A 1.25 证明       ￾ ￾￾ ( ) A H H AA H 解 根据 算子的微分运算性质，有 ()()()  A     H AH AH A H ￾￾￾ 式中A表示只对矢量 A 作微分运算，H 表示只对矢量 H 作微分运算。 由abc cab ￾ ￾ ()()   ，可得 ( )( )()        A A ￾￾ ￾ A H H AH A 同理 () ( ) ()          H H ￾￾ ￾ A HA HAH 故有       ￾ ￾￾ ( ) A H H AA H 1.26 利用直角坐标，证明      ( ) ff f G GG 解 在直角坐标中 [ ( ) ( ) ( )] z z y y x x xyz G G G G G G f f y z zx x y                 Ge e e   f G [ ( ) ( ) ( )] xz y yx z zy x f f ff ff GG GG GG yz zx xy          eee 所以 f f     G G [( ) ( )] z y xz y f f G G Gf Gf yy zz          e [( ) ( )] x z yx z f f G G Gf Gf zz xx           e [( ) ( )] y x zy x f f G G Gf Gf xx yy          e ( ) ( ) [ ] z y x fG fG y z       e ( ) ( ) [ ] x z y fG fG z x       e ( ) ( ) [ ] y x z fG fG x y       e ( ) fG 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明    ( )0 u 及   ￾( )0 A ，试证明之。 解 （1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有 ( )d d d d 0 S C CC u u u lu l            ￾ ￾ S l ￾ ￾￾ 由于曲面S 是任意的，故有    ( )0 u n1 C1 C2 2 S 1 S n2 题 1.27 图

新疆大学信息科学与工程学院 -10 (2)对于任意闭合曲面s为边界的体积：，由散度定理有 [IV×A)dx=f(V×A)iS=[(V×A)iS+[(VxAdS 其中S和S如题127图所示。由斯托克斯定理，有 [V×AS=f4,「(×AS=fA1 由题127图可知C,和C,是方向相反的同一回路，则有重41=中41 所以得到∫四v×Adr=fl+fl=寸l+寸Al=0 由于体积r是任意的，故有”四V×A)=0 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 10 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 （2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积 ，由散度定理有 1 2 ( )d ( ) d ( ) d ( ) d  SS S            ￾ ￾￾ ￾ A AS AS AS ￾ 其中 1 S 和 2 S 如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有 1 1 ( )d d S C     A S Al ￾ ￾ ￾ ， 2 2 ( )d d S C     A S Al ￾ ￾ ￾ 由题 1.27 图可知C1和C2 是方向相反的同一回路，则有 1 2 d d C C     ￾Al Al ￾ ￾ ￾ 所以得到 12 22 ( )d d d d d 0  CC CC             ￾ ￾￾ ￾￾ A Al Al Al Al ￾￾ ￾￾ 由于体积 是任意的，故有 ￾( )0   A