物理实验教程 一近代物理实验 (4)试结合马蹄形永磁体磁场的有限元法数值模拟，分析讨论有限单元体的形状和 大小对计算结果有哪些影响？ (5)试结合有限元法模拟实验结果，分析讨论马蹄形永磁体的磁场分布有哪些特征？ 【参考文献】 [1门单志勇.电磁场理论与计算[M们.北京：化学工业出版社，2019. 「2]幸朗如，工程电磁场数值计算理论分析「M门.北京：中国电力出版社，2019 [3]金建铭.计算电磁学[M们.2版.北京：电子工业出版社，2018 [4]盛新庆.计算电磁学要论[M们.北京：科学出版社，2018. [5]吕英华.计算电磁学的数值方法[M].北京：清华大学出版社，2006 [6]王长清.现代计算电猫学基础[M门.北京：北京大学出版社，2005. 实验6-7液滴撞击壁面的有限体积法模拟 现代流体力学的研究方法有理论分析、实验研究和数值计算三种。从17世纪到19 世纪，流体力学理论在实验的基础上得到了极大的丰富和发展，人们建立了描述流体运动 的Navier-Stokes方程(N-S方程)。但是，N-S方程是非线性方程，实际流体流动非常复 杂，仅有极少数的问题可从理论上直接求出解析解或摄动解。另外，实验流体力学在经过 一段时间的发展后也受到了成本高、场地有限等因素的限制。因此，伴随若计算机科学与 技术的进步，第三种流体力学研究方法 -计算流体力学(computational fluid dynamics CFD)发展起来。计算流体力学是从20世纪50年代开始发展起来的一门交叉学科，涉及 流体力学、计算机科学与技术，偏微分方程理论、计算几何学、数值分析等。计算流体力学 的理论预测研究是在简单的几何模型下通过数值计算来发现流体流动的一些基本物理规 律和现象或者发展更好的数值计算方法。计算流体力学的工程预测研究则是通过直接构 建工程实际物理模型，开展流体流动数值模拟预测，为解决工程问题提供依据。计算流体 力学不仅可作为研究工具，而且可作为设计工具，在航空航天，船舶海洋、土木建筑、化工 治金、工业制造、能源经济、环境保护，食品加工、生物医学、运动健康等各领域都有若广泛 的应用。 计算流体力学的数值计算方法主要包括有限差分法(finite difference method FDM)、有限元法(finite element method,FEM)和有限体积法(finite volume method,. FVM)等。通过本实验重点学习计算流体力学的基本理论模型以及有限体积法数值计算 的基本原理，学会多相流体流动数值模拟的OpenFOAM实现方法和技术。 【实验目的】 (1)理解计算流体力学的基本方法和数学模型 (2)理解流体体积法追踪界面的基本原理。 -340
— ３４０ — (４)试结合马蹄形永磁体磁场的有限元法数值模拟,分析讨论有限单元体的形状和 大小对计算结果有哪些影响? (５)试结合有限元法模拟实验结果,分析讨论马蹄形永磁体的磁场分布有哪些特征? 【参考文献】 [１] 单志勇．电磁场理论与计算[M]．北京:化学工业出版社,２０１９． [２] 李朗如．工程电磁场数值计算理论分析[M]．北京:中国电力出版社,２０１９． [３] 金建铭．计算电磁学[M]．２版．北京:电子工业出版社,２０１８． [４] 盛新庆．计算电磁学要论[M]．北京:科学出版社,２０１８． [５] 吕英华．计算电磁学的数值方法[M]．北京:清华大学出版社,２００６． [６] 王长清．现代计算电磁学基础[M]．北京:北京大学出版社,２００５． 实验６Ｇ７ 液滴撞击壁面的有限体积法模拟 现代流体力学的研究方法有理论分析、实验研究和数值计算三种.从１７世纪到１９ 世纪,流体力学理论在实验的基础上得到了极大的丰富和发展,人们建立了描述流体运动 的 NavierＧStokes方程(NＧS方程).但是,NＧS方程是非线性方程,实际流体流动非常复 杂,仅有极少数的问题可从理论上直接求出解析解或摄动解.另外,实验流体力学在经过 一段时间的发展后也受到了成本高、场地有限等因素的限制.因此,伴随着计算机科学与 技术的进步,第三种流体力学研究方法———计算流体力学(computationalfluiddynamics, CFD)发展起来.计算流体力学是从２０世纪５０年代开始发展起来的一门交叉学科,涉及 流体力学、计算机科学与技术、偏微分方程理论、计算几何学、数值分析等.计算流体力学 的理论预测研究是在简单的几何模型下通过数值计算来发现流体流动的一些基本物理规 律和现象或者发展更好的数值计算方法.计算流体力学的工程预测研究则是通过直接构 建工程实际物理模型,开展流体流动数值模拟预测,为解决工程问题提供依据.计算流体 力学不仅可作为研究工具,而且可作为设计工具,在航空航天、船舶海洋、土木建筑、化工 冶金、工业制造、能源经济、环境保护、食品加工、生物医学、运动健康等各领域都有着广泛 的应用. 计算流 体 力 学 的 数 值 计 算 方 法 主 要 包 括 有 限 差 分 法 (finitedifference method, FDM)、有限元 法(finiteelementmethod,FEM)和 有限 体积 法(finitevolumemethod, FVM)等.通过本实验重点学习计算流体力学的基本理论模型以及有限体积法数值计算 的基本原理,学会多相流体流动数值模拟的 OpenFOAM 实现方法和技术. 【实验目的】 (１)理解计算流体力学的基本方法和数学模型. (２)理解流体体积法追踪界面的基本原理
计算机模拟实验第6章 (3)掌握有限体积法模拟多相流体流动的基本原理 (4)掌握用OpenFOAM软件模拟计算多相流体流动的基本方法。 (5)学会多相流体流动模拟计算结果的可视化处理方法。 【预习要求】 (1)计算流体力学的基本思想是什么？基本数学模型有哪些？ (2)流体体积法追踪界面的基本原理是什么？ (3)有限体积法的基本原理是什么？ (4)液滴撞击壁面问题的物理模型和数学模型是什么？ (5)用OpenFOAM软件模拟液滴撞击壁面问题的基本流程有哪些 【实验原理】 一、计算流体力学的基本方法 连续介质假设是流体力学研究的一个基本假设，认为流体质点连续地充满流体所( 的整个空间，流体质点所具有的宏观物理量满足所遵循的物理定律和物理性质，如牛顿定 律、质量守恒定律、能量守恒定律、动量守恒定律、热力学定律，以及扩散、黏性、热传导等 物理性质。 计算流体力学的基本思相想为：在空间和时间坐标中连续物理量的场，如浓度场、温度 场、速度场等，可用一系列有限个离散点上变量数值的集合来代替，通过一定原则建立起 这些离散点上变量数值之间关系的代数方程，即离散方程，再求解所建立起来的代数方程 来获得待求变量的近似值。计算流体力学研究流体流动问题的基本工作步骤为： (1)建立描述所研究的物理或工程等实际流体间题的数学模型.包括控制方程和相 应的定解条件。流体流动的基本定律有质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律，根 据这些定律和传热传质的基本原理，可推导出控制流体流动的连续性方程、动量方程(、 S方程)和能量方程，这些方程构成的非线性偏微分方程组常称为控制方程(governing equation). 牛顿型流体流动的数学模型就是著名的-S方程及其相应的定解条件 (2)建立准确、高效的数值计算方法，包括空间和时间坐标模型的建立方法、控制方 程的数值离散化方法及求解方法、边界条件和初始条件的处理方法等。这是计算流体力 学模拟的核心工作。 (3)采用模拟程序讲行数值计算和数据处理工作，包括计算网格的划分、初始条件和 边界条件的输入，控制参数的设定、计算数据的可视化处理等，这是计算流体力学模拟的 主要工作。计算流体力学的模拟程序即CD软件一般由前处理，求解器、后处理三部分 组成，其中前处理主要用于完成几何模型建立和计算网格划分工作，求解器主要用于完成 选定数学模型并离散化、选用计算方法、设定控制参数和开展数值计算工作，后处理主要 用于完成计算出的物理场数据的可视化处理工作。常用的开源CFD软件有 OpenFOAM,Su2,CFL3D,Code_Saturne等。 (4)模拟计算结果的分析工作，包括判断模拟结果的正确性和合理性、认识所研究问 题的规律性、得出研究结论等 计算流体力学的模拟有多种分类方法，根据研究问题是否随时间变化可分为瞬态和 —341
— ３４１ — (３)掌握有限体积法模拟多相流体流动的基本原理. (４)掌握用 OpenFOAM 软件模拟计算多相流体流动的基本方法. (５)学会多相流体流动模拟计算结果的可视化处理方法. 【预习要求】 (１)计算流体力学的基本思想是什么? 基本数学模型有哪些? (２)流体体积法追踪界面的基本原理是什么? (３)有限体积法的基本原理是什么? (４)液滴撞击壁面问题的物理模型和数学模型是什么? (５)用 OpenFOAM 软件模拟液滴撞击壁面问题的基本流程有哪些? 【实验原理】 一、计算流体力学的基本方法 连续介质假设是流体力学研究的一个基本假设,认为流体质点连续地充满流体所在 的整个空间,流体质点所具有的宏观物理量满足所遵循的物理定律和物理性质,如牛顿定 律、质量守恒定律、能量守恒定律、动量守恒定律、热力学定律,以及扩散、黏性、热传导等 物理性质. 计算流体力学的基本思想为:在空间和时间坐标中连续物理量的场,如浓度场、温度 场、速度场等,可用一系列有限个离散点上变量数值的集合来代替,通过一定原则建立起 这些离散点上变量数值之间关系的代数方程,即离散方程,再求解所建立起来的代数方程 来获得待求变量的近似值.计算流体力学研究流体流动问题的基本工作步骤为: (１)建立描述所研究的物理或工程等实际流体问题的数学模型,包括控制方程和相 应的定解条件.流体流动的基本定律有质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律,根 据这些定律和传热传质的基本原理,可推导出控制流体流动的连续性方程、动量方程(NＧ S方程)和能量方程,这些方程构成的非线性偏微分方程组常称为控制方程(governing equation).牛顿型流体流动的数学模型就是著名的 NＧS方程及其相应的定解条件. (２)建立准确、高效的数值计算方法,包括空间和时间坐标模型的建立方法、控制方 程的数值离散化方法及求解方法、边界条件和初始条件的处理方法等.这是计算流体力 学模拟的核心工作. (３)采用模拟程序进行数值计算和数据处理工作,包括计算网格的划分、初始条件和 边界条件的输入、控制参数的设定、计算数据的可视化处理等,这是计算流体力学模拟的 主要工作.计算流体力学的模拟程序即 CFD 软件一般由前处理、求解器、后处理三部分 组成,其中前处理主要用于完成几何模型建立和计算网格划分工作,求解器主要用于完成 选定数学模型并离散化、选用计算方法、设定控制参数和开展数值计算工作,后处理主要 用 于 完 成 计 算 出 的 物 理 场 数 据 的 可 视 化 处 理 工 作. 常 用 的 开 源 CFD 软 件 有 OpenFOAM,Su２,CFL３D,Code_Saturne等. (４)模拟计算结果的分析工作,包括判断模拟结果的正确性和合理性、认识所研究问 题的规律性、得出研究结论等. 计算流体力学的模拟有多种分类方法,根据研究问题是否随时间变化可分为瞬态和
物理实验教程 一近代物理实验 0 稳态计算流体力学模拟，根据研究问题中涉及的流体相的数目可分为单相和多相计算流 体力学模拟，根据研究问题中雷诺数的大小可分为层流和湍流计算流体力学模拟。 二、数值模拟液滴撞击壁面的基本原理 液滴撞击壁面现象在自然界以及人类生产、生活活动中十分常见，如雨滴下落、水滴 石穿、喷墨打印、农药沉积、喷淋冷却、表面清洁等，故模拟研究液滴撞击壁面现象有着重 要的意义。液滴撞击壁面现象是典型的两相流动过程，包括液体和气体两相流体，各相流 体之间存在者分界面，并随者流动过程不断变化。因此，多相流体流动模拟研究的关健在 于精确地计算出不同流体间的界面。 1。追院流体界面的流体体积法 在计算流体力学中，追踪计算流体界面的方法主要有流体体积法(volume of fluid, VOF)、水平集法(level set)、任意拉格朗日-欧拉法(arbitrary Lagrangian-Eulerian,.ALE) 等。在这些方法中，VOF法因追踪界面的精确度高，各种因素方便融入模拟计算，且具有 简单性、守恒性和通用性，因而被广泛应用。 VOP法的核心思想为：用一个指标函数a来追踪界面，函数代表模拟区域内一个 网格单元中某一相流体占据的体积分数。在液滴撞击壁面现象模拟中有液体和气体两相 流体，某一时刻某个网格中当a=1时表示该网格完全被液相流体占据，当a=0时表示该 网格完全被气相流体占据，当0<a<1时表示混相处或者自由界面。在VOF法中通过。 值确定界面的位置，因而α的梯度方向即界面法线方向。因此，采用指标函数a方法，两 相流体流动可看成是一种混合流体的单相流动，该等价混相流体与液体、气体单相流体的 密度、黏度、速度之间的关系为： p=api+(I-a)p: (6-7-1) =a41+(1-a)2 (6-7-2) U=aU,+(1-a)U. 6-7-33 式中，PP,和P2分别为混相流体、液体和气体的密度：，四1和2分别为混相流体，液体 和气体的黏度：U,U1和U分别为混相流体、液体和气体的速度。流体的密度、黏度和速 度都是随着时间和位置变化的。 2.液滴撞击壁面问题的控制方程 在液滴撞击壁面问题中，假设液体和气体两相流体均为不可压缩的牛顿型流体，且温 度恒定，不需要考虑能量方程。因此，液滴撞击壁面问题中两相流体流动VOF法的控制 方程主要涉及质量连续性方程和N-S方程。 (1)质量连续性方程 液体和气体两相混合流体满足的质量守恒方程为： 2+()=0 (6-7-4) 式中，t为时间，V为向量微分算子(Dl算子)。单相液体满足的质量守恒方程为： () (6-7-5) 因假设流体不可压缩，P1为常数，则式(6-7-5)可变为： -342
— ３４２ — 稳态计算流体力学模拟,根据研究问题中涉及的流体相的数目可分为单相和多相计算流 体力学模拟,根据研究问题中雷诺数的大小可分为层流和湍流计算流体力学模拟. 二、数值模拟液滴撞击壁面的基本原理 液滴撞击壁面现象在自然界以及人类生产、生活活动中十分常见,如雨滴下落、水滴 石穿、喷墨打印、农药沉积、喷淋冷却、表面清洁等,故模拟研究液滴撞击壁面现象有着重 要的意义.液滴撞击壁面现象是典型的两相流动过程,包括液体和气体两相流体,各相流 体之间存在着分界面,并随着流动过程不断变化.因此,多相流体流动模拟研究的关键在 于精确地计算出不同流体间的界面. １ 追踪流体界面的流体体积法 在计算流体力学中,追踪计算流体界面的方法主要有流体体积法(volumeoffluid, VOF)、水平集法(levelset)、任意拉格朗日Ｇ欧拉法(arbitraryLagrangianＧEulerian,ALE) 等.在这些方法中,VOF法因追踪界面的精确度高,各种因素方便融入模拟计算,且具有 简单性、守恒性和通用性,因而被广泛应用. VOF法的核心思想为:用一个指标函数α 来追踪界面,α 函数代表模拟区域内一个 网格单元中某一相流体占据的体积分数.在液滴撞击壁面现象模拟中有液体和气体两相 流体,某一时刻某个网格中当α＝１时表示该网格完全被液相流体占据,当α＝０时表示该 网格完全被气相流体占据,当０＜α＜１时表示混相处或者自由界面.在 VOF法中通过α 值确定界面的位置,因而α 的梯度方向即界面法线方向.因此,采用指标函数α 方法,两 相流体流动可看成是一种混合流体的单相流动,该等价混相流体与液体、气体单相流体的 密度、黏度、速度之间的关系为: ρ＝αρ１＋(１－α)ρ２ (６Ｇ７Ｇ１) μ＝αμ１＋(１－α)μ２ (６Ｇ７Ｇ２) U＝αU１＋(１－α)U２ (６Ｇ７Ｇ３) 式中,ρ,ρ１ 和ρ２ 分别为混相流体、液体和气体的密度;μ,μ１ 和μ２ 分别为混相流体、液体 和气体的黏度;U,U１ 和U２ 分别为混相流体、液体和气体的速度.流体的密度、黏度和速 度都是随着时间和位置变化的. ２ 液滴撞击壁面问题的控制方程 在液滴撞击壁面问题中,假设液体和气体两相流体均为不可压缩的牛顿型流体,且温 度恒定,不需要考虑能量方程.因此,液滴撞击壁面问题中两相流体流动 VOF法的控制 方程主要涉及质量连续性方程和 NＧS方程. (１)质量连续性方程. 液体和气体两相混合流体满足的质量守恒方程为: ∂ρ ∂t ＋Ñ(ρU)＝０ (６Ｇ７Ｇ４) 式中,t为时间,Ñ为向量微分算子(Del算子).单相液体满足的质量守恒方程为: ∂(ρ１α) ∂t ＋Ñ(ρ１αU１)＝０ (６Ｇ７Ｇ５) 因假设流体不可压缩,ρ１ 为常数,则式(６Ｇ７Ｇ５)可变为:
计算机模拟实验第6章 +aU,)=0 (6-7-6) 同理，单相气体满足的质量守恒方程可表示为： a1-a2+v.[1-aU]=0 3 (6-7-7) 根据式(6-7-1)、式(6-7-6)和式(6-7-7)可得混合流体的质量连续性方程为： 7·U=0 (6-7-8) (2)体积分数满足的方程 由式(6-7-1)和式(6-7-4)可导出体积分数α满足的守恒方程为： +p(a)=0 (6-7-9) (3)N-S方程. 液体和气体两相混合流体可视为密度不变、黏度可变的单相牛顿型流体，则其满足的 动量守恒方程即N-S方程为： U+v·(UU)=-Vp+v·T+p时 (6-7-10) 式中，p为外场压力：T为黏性应力张量：∫为体积力，包括重力、界面张力等。界面张力∫ 由Young-Laplace方程(6-7-11)求出，即 f.=akn (6-7-11 式中，σ为界面张力系数，k为界面曲率，n为界面法线向量。两相流体界面法线向量与 体积分数。的梯度相关，即 (6-7-12) 界面曲率k可由界面法线n的散度求出，即 k=-n=-(a) (6-7-13) 3。固体壁面的边界条件 在液滴撞击壁面现象中，当液滴接触到壁面后还涉及液滴、气体和固体壁面之间相互 作用的问题。假设固体壁面为水平平面，不考虑壁面坚硬程度、粗糙程度的影响，主要考 虑固体壁面润湿性的影响。不同宏观流体在固相上的润湿性不同是由不同流体分子之 间、流体与固体分子之间相互作用的不同所造成的。一般用接触角(contact angle)作为润 湿能力的参考指标。接触角0指在气、液、固三相交点处所作的气-液界面的切线与固-液 交界线之间的夹角，如图67-1所示，图中f。faf分别为固-气、固-液、气-液之间的界 面张力。接触角由三相间的界面张力共同决定，接触角日越大，润湿性越差，液体越不容 易与固体接触。接触角的范围在0°（完全润湿）到180°（完全非润湿）之间。接触角小于 90°的固体称为亲水性的，接触角大于90°的固体称为疏水性的。 因此，由固体壁面润湿性来确定壁面边界条件(boundary condition),可通过设定固 体壁面处气-液-固三相的接触角0来实现，根据0确定出壁面上液体和气体两相流体界面 的法线向量n。 343
— ３４３ — ∂α ∂t ＋Ñ(αU１)＝０ (６Ｇ７Ｇ６) 同理,单相气体满足的质量守恒方程可表示为: ∂(１－α) ∂t ＋Ñ[(１－α)U２]＝０ (６Ｇ７Ｇ７) 根据式(６Ｇ７Ｇ１)、式(６Ｇ７Ｇ６)和式(６Ｇ７Ｇ７)可得混合流体的质量连续性方程为: ÑU＝０ (６Ｇ７Ｇ８) (２)体积分数α 满足的方程. 由式(６Ｇ７Ｇ１)和式(６Ｇ７Ｇ４)可导出体积分数α 满足的守恒方程为: ∂α ∂t ＋Ñ(αU)＝０ (６Ｇ７Ｇ９) (３)NＧS方程. 液体和气体两相混合流体可视为密度不变、黏度可变的单相牛顿型流体,则其满足的 动量守恒方程即 NＧS方程为: ∂(ρU) ∂t ＋Ñ(ρUU)＝－Ñp＋ÑT＋ρf (６Ｇ７Ｇ１０) 式中,p 为外场压力;T 为黏性应力张量;f为体积力,包括重力、界面张力等.界面张力ft 由 YoungＧLaplace方程(６Ｇ７Ｇ１１)求出,即 ft＝σkn (６Ｇ７Ｇ１１) 式中,σ为界面张力系数,k 为界面曲率,n 为界面法线向量.两相流体界面法线向量n 与 体积分数α 的梯度相关,即 n＝ Ñα Ñα (６Ｇ７Ｇ１２) 界面曲率k 可由界面法线n 的散度求出,即 k＝－Ñn＝－Ñ Ñα Ñα æ è ç ö ø ÷ (６Ｇ７Ｇ１３) ３ 固体壁面的边界条件 在液滴撞击壁面现象中,当液滴接触到壁面后还涉及液滴、气体和固体壁面之间相互 作用的问题.假设固体壁面为水平平面,不考虑壁面坚硬程度、粗糙程度的影响,主要考 虑固体壁面润湿性的影响.不同宏观流体在固相上的润湿性不同是由不同流体分子之 间、流体与固体分子之间相互作用的不同所造成的.一般用接触角(contactangle)作为润 湿能力的参考指标.接触角θ指在气、液、固三相交点处所作的气Ｇ液界面的切线与固Ｇ液 交界线之间的夹角,如图６Ｇ７Ｇ１所示,图中fsg,fsl,fgl分别为固Ｇ气、固Ｇ液、气Ｇ液之间的界 面张力.接触角由三相间的界面张力共同决定,接触角θ 越大,润湿性越差,液体越不容 易与固体接触.接触角的范围在 ０°(完全润湿)到 １８０°(完全非润湿)之间.接触角小于 ９０°的固体称为亲水性的,接触角大于 ９０°的固体称为疏水性的. 因此,由固体壁面润湿性来确定壁面边界条件(boundarycondition),可通过设定固 体壁面处气Ｇ液Ｇ固三相的接触角θ来实现,根据θ确定出壁面上液体和气体两相流体界面 的法线向量n
物理实验教程 一近代物理实验 气 图-1气-液-固三相体系中的接触角 4.有限体积法离散化求解的基本原理 计算流体力学的数值方法常用有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法和有限 分析法等。在这些数值方法中，有限体积法的主要优点是物理思路清晰，物理意义明确， 并且网格适应性好，便于解决复杂的工程问题。有限体积法从物理观点来构造离散方程 推导过程物理概念清晰，每一个离散方程都是有限大小体积上某种物理量守恒的表示式， 离散方程系数具有一定的物理意义，并可保证离散方程具有守恒特性。有限体积法的基 本思想是用一系列有限体积内变量的数值代替原本在空间域和时间域上连续的物理场 有限体积法离散化(discretization)求解的基本思路为：划分计算区域为一系列不重复的 有限体积，每一个有限体积都有一个格点作为代表，在任一有限体积及一定时间间隔内用 待求解的守恒型微分方程对空间与时间做积分：假设待求函数及其导数在格点之间随时 间及空间的变化关系或插值方式，在时间和空间上将各个有限体积的积分方程离散为 组代数方程组：求解离散的代数方程组，获得场变量的近似值 (1)计算区域的离散化。 计算流体力学有限体积法首先要将流体流动的整 个计算区域空间离散成一系列有限数量的、非重叠的 算网格（有限体积）。如图6-7-2所示，在空间直角坐标 系（，y,)中，一个典型有限体积网格单元位于位置 X处，网格单元控制的有限体积为V。,数量有限的面& 为各网格之间的界面，物理量在网格中心点P上计算：面 向量S。与面6垂直，指向相邻网格单元N,并在大小上等 于面b的面积。有限体积法的离散化没有限制网格单元 的面数或面的边数，因此常采用多面体的非结构化网格离 散计算区域，可方便处理复杂边界问题 图67-2有限体积法空间离散的 (2)控制方程的离散化。 一个典型网格单元 根据前面有关控制方程的介绍可知，无论是质量守 恒方程、动量守恒方程还是体积分数满足的方程都可在形式上统一表示为一般性的传输 方程.即 2+(U)=·(r)+S(） (6-7-14) 式中，为通用变量，可代表速度、温度和体积分数等求解变量，P为广义扩散系数，S(中) 为广义源项。式(6-7-14)中等号左边第一项为瞬态项，第二项为对流项：等号右边第一项 为扩散项，第二项为源项。 -344
— ３４４ — 图６Ｇ７Ｇ１ 气Ｇ液Ｇ固三相体系中的接触角 ４ 有限体积法离散化求解的基本原理 计算流体力学的数值方法常用有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法和有限 分析法等.在这些数值方法中,有限体积法的主要优点是物理思路清晰、物理意义明确, 并且网格适应性好,便于解决复杂的工程问题.有限体积法从物理观点来构造离散方程, 推导过程物理概念清晰,每一个离散方程都是有限大小体积上某种物理量守恒的表示式, 离散方程系数具有一定的物理意义,并可保证离散方程具有守恒特性.有限体积法的基 本思想是用一系列有限体积内变量的数值代替原本在空间域和时间域上连续的物理场. 有限体积法离散化(discretization)求解的基本思路为:划分计算区域为一系列不重复的 有限体积,每一个有限体积都有一个格点作为代表,在任一有限体积及一定时间间隔内用 待求解的守恒型微分方程对空间与时间做积分;假设待求函数及其导数在格点之间随时 间及空间的变化关系或插值方式,在时间和空间上将各个有限体积的积分方程离散为一 组代数方程组;求解离散的代数方程组,获得场变量的近似值. (１)计算区域的离散化. 图６Ｇ７Ｇ２ 有限体积法空间离散的 一个典型网格单元 计算流体力学有限体积法首先要将流体流动的整 个计算区域空间离散成一系列有限数量的、非重叠的计 算网格(有限体积).如图６Ｇ７Ｇ２所示,在空间直角坐标 系(x,y,z)中,一个典型有限体积网格单元位于位置 XP 处,网格单元控制的有限体积为VP ,数量有限的面b 为各网格之间的界面,物理量在网格中心点P 上计算;面 向量Sb与面b垂直,指向相邻网格单元 N,并在大小上等 于面b的面积.有限体积法的离散化没有限制网格单元 的面数或面的边数,因此常采用多面体的非结构化网格离 散计算区域,可方便处理复杂边界问题. (２)控制方程的离散化. 根据前面有关控制方程的介绍可知,无论是质量守 恒方程、动量守恒方程还是体积分数满足的方程都可在形式上统一表示为一般性的传输 方程,即 ∂(ρϕ) ∂t ＋Ñ(ρUϕ)＝Ñ(Γ Ñϕ)＋S(ϕ) (６Ｇ７Ｇ１４) 式中,ϕ 为通用变量,可代表速度、温度和体积分数等求解变量,Γ 为广义扩散系数,S(ϕ) 为广义源项.式(６Ｇ７Ｇ１４)中等号左边第一项为瞬态项,第二项为对流项;等号右边第一项 为扩散项,第二项为源项