第二节KdV方程 1.波动中的非线性会聚效应 2.波动中的色散 3.KdV方程 4.KdV方程的孤立波解
1. 波动中的非线性会聚效应 2. 波动中的色散 3. KdV方程 4. KdV方程的孤立波解 第二节 KdV 方程
1.波动的会聚效应 浪花的形成 微风吹拂,水面只掀起层层碎浪;劲风吹来,浪尖则卷起浪花。同样的 情况可以岀现在海滩边。远处传来的海浪越近海岸,浪头越高,终于在离海 岸不远处卷起了浪花。这是因为海滩对水浪运动产生某种阻滞力,浪的较低 部分受到阻滞力大,较高部分阻滞力小。因此当水浪高处前进速度大,低处 前进速度小,水浪会在前进中越来越前倾,在某一时刻波前出现坍塌,卷起 了浪花。当水浪的不同部分有不同行进速度时,会出现会緊效应,形成浪花 f=0 f>0
1. 波动的会聚效应 浪花的形成 微风吹拂，水面只掀起层层碎浪；劲风吹来，浪尖则卷起浪花。 同样的 情况可以出现在海滩边。远处传来的海浪越近海岸，浪头越高，终于在离海 岸不远处卷起了浪花。这是因为海滩对水浪运动产生某种阻滞力，浪的较低 部分受到阻滞力大，较高部分阻滞力小。因此当水浪高处前进速度大，低处 前进速度小，水浪会在前进中越来越前倾，在某一时刻波前出现坍塌，卷起 了浪花。当水浪的不同部分有不同行进速度时，会出现会聚效应，形成浪花
1波动的会聚效应 浪花的形成 数学表述 设介质中x处的粒子密度n(x,t), m。由粒子守恒 anan dx dx/dt= anan 0 aa dt at a 如果速度v=是常数,方程具有行波解:n=(x-ot) 介质的移动速度v即波速。在初始时刻介质中出现的扰动m(x,0)=F(x),波 动将在传播中保持不变。波动将以速度v无畸变地沿x方向前进。 如果波动的速度v与介质的密度n有关,设 n(x, t)=FIx-v(n)] 当如>0出现波包前沿变陡,形成波包会聚
1.波动的会聚效应 浪花的形成 数学表述 设介质中x 处的粒子密度 n(x,t)， 由粒子守恒 dx/dt = v 如果速度v = v0是常数，方程具有行波解：n= (x - v0 t) 介质的移动速度 v0 即波速。在初始时刻介质中出现的扰动 n(x,0)= F(x) ，波 动将在传播中保持不变。波动将以速度v0无畸变地沿 x 方向前进。 如果波动的速度v 与介质的密度n 有关，设： n(x,t)=F [x - v(n) t] 当 出现波包前沿变陡，形成波包会聚。 = 0 dt dn 0 t + = d dx x n t n + = 0 x n v t n 0 dn dv
2波动中的色散 平面波的相速 一个频率o为沿x方向传播的平面波为: u(x,t)=Aexp[i(kx-or)] ∧∧ VVVVVV 等相位面运动速度代表一列平面波的传播速度担速 等相位面p=kx-Ot= const d=动a+、t=a-at=0 a
2.波动中的色散 平面波的相速 一个频率 w 为沿 x 方向传播的平面波为： u(x,t) = Aexp[i(k x −wt)] dt k dx v w = = d =0 等相位面运动速度代表一列平面波的传播速度—相速 等相位面 =k x- w t= const = t = 0 x t d = dx dt kdx wd + −
2波动中的色散 色散波 个波动可以看成许多平面波(谐波)ω1、O2、O3…的合成 mWay Y吗2 do k V^∧∧^o 如果所有谐波都以同一的速度行进,ω1k1=2/K=…=常数,是非色散波 如果每个谐波都有不同的行进速度,ωk≠常数,是色散波。 色散液将在传播中因弥散而消失
2.波动中的色散 色散波 一个波动可以看成许多平面波（谐波）w1、w2、w3… 的合成： 如果所有谐波都以同一的速度行进，w1 /k1=w2 /k2=...=常数，是非色散波； 如果每个谐波都有不同的行进速度， w/k≠常数，是色散波。 色散波将在传播中因弥散而消失。 k v v g = = w k w