由于0=500时T1服从标准正态分布，易知上面关于T的方程的解为T1=-ua,其中ue等于标 准正态分布的上c分位数，即检验的拒绝域为 {T1<-ua}. 现在取显著性水平为0.05，则临界值u0.05≈1.645.另一方面，样本均值元=492，样本量n=9, 故检验统计量T1的观测值等于-2.4，小于临界值1.645，即样本落在拒绝域中，从而可以在显著性 水平0.05下拒绝零假设，认为饮料的平均容量确实减少为490毫升 下面列举几种常见的假设检验问题： (1)H0:0=00台H1:0=01: (2)H0:0=0o+H1:0≠0o (3)H0:0=o+H1:0>o或者H0:0≤%分H1:0>00 (4)H0:0=0%台H1:0<0o或者H0:0≥0%+H1:0<00 称(1)为简单假设，(2)为双侧假设因为对立假设是双侧的，(3)和(4)为单侧假设因为对立假 设是单侧的.这里强调对立假设的原因是检验方法（对应于一个拒绝域）只跟对立假设有关 下面我们给出检验上述假设的一般步骤，它的基本思想是：一个好的点估计应该是一个优良检 验的的主要依据，设定显著性水平为α. 第1步：求出未知参数0的一个较优的点估计0=(X1,·,Xn),如极大似然估计. 第2步：以0为基础，寻找一个检验统计量 T=t(X1,…,Xn) 且使得当0=o时，T的分布已知（如N(0,1),tn,Fm.n),从而容易通过查表或计算得到这 个分布的分位数，用以作为检验的临界值： 第3步：以检验统计量T为基础，根据对立假设H1的实际意义寻找适当形状的拒绝域，它是关 于T的一个或两个不等式)，其中包含一个或两个临界值： 第4步：当零假设成立时，犯第I类错误的概率小于或等于给定的显著性水平α，这给出一个关于 临界值的方程，解出临界值，它（们）等于T的分位数，这样即确定了检验的拒绝域： 第5步：如果给出样本观测值，则可算出检验统计量的样本观测值，如落在拒绝域中则可拒绝零假 设，否则不能 5
由于 θ = 500 时 T1 服从标准正态分布, 易知上面关于 τ1 的方程的解为 τ1 = −uα, 其中 uc 等于标 准正态分布的上 c 分位数, 即检验的拒绝域为 {T1 < −uα}. 现在取显著性水平为 0.05, 则临界值 u0.05 ≈ 1.645. 另一方面, 样本均值 x¯ = 492, 样本量 n = 9, 故检验统计量 T1 的观测值等于 −2.4, 小于临界值 1.645, 即样本落在拒绝域中, 从而可以在显著性 水平 0.05 下拒绝零假设, 认为饮料的平均容量确实减少为 490 毫升. 下面列举几种常见的假设检验问题: (1) H0 : θ = θ0 ↔ H1 : θ = θ1; (2) H0 : θ = θ0 ↔ H1 : θ 6= θ0; (3) H0 : θ = θ0 ↔ H1 : θ > θ0或者H0 : θ ≤ θ0 ↔ H1 : θ > θ0 (4) H0 : θ = θ0 ↔ H1 : θ < θ0或者H0 : θ ≥ θ0 ↔ H1 : θ < θ0 称 (1) 为简单假设, (2)为双侧假设因为对立假设是双侧的, (3) 和 (4) 为单侧假设因为对立假 设是单侧的. 这里强调对立假设的原因是检验方法 (对应于一个拒绝域) 只跟对立假设有关. 下面我们给出检验上述假设的一般步骤, 它的基本思想是: 一个好的点估计应该是一个优良检 验的的主要依据, 设定显著性水平为 α. 第 1 步: 求出未知参数 θ 的一个较优的点估计 ˆθ = ˆθ(X1, · · · , Xn), 如极大似然估计. 第 2 步: 以 ˆθ 为基础, 寻找一个检验统计量 T = t(X1, · · · , Xn) 且使得当 θ = θ0 时, T 的分布已知 (如 N(0, 1), tn, Fm,n) , 从而容易通过查表或计算得到这 个分布的分位数, 用以作为检验的临界值. 第 3 步: 以检验统计量 T 为基础, 根据对立假设 H1 的实际意义, 寻找适当形状的拒绝域, 它是关 于 T 的一个或两个不等式), 其中包含一个或两个临界值. 第 4 步: 当零假设成立时, 犯第 I 类错误的概率小于或等于给定的显著性水平 α, 这给出一个关于 临界值的方程, 解出临界值, 它 (们) 等于 T 的分位数, 这样即确定了检验的拒绝域. 第 5 步: 如果给出样本观测值, 则可算出检验统计量的样本观测值, 如落在拒绝域中则可拒绝零假 设, 否则不能. 5
7.2 重要参数检验 本节介绍最基本的假设检验问题：一样本和两样本正态总体的有关均值和方差的检验，简单的 大样本检验(0-1分布参数的假设检验). 7.2.1一样本正态总体均值和方差的检验 现实中经常碰到诸如此类的问题：假设用于某用途的合格铁钉要求长度为10厘米，现有经销 商从生产厂家订购了一批这样的铁钉，为了检验该批检验产品是否合格，可以从中抽取一小部分进 行测量检验，通常铁钉的长度服从一个正态分布，这类问题属于一样本正态总体的假设检验问题. 一般地，设总体X~N(,o2),-0<4<o,o2>0:X1,·,Xn是取自总体X的一个样 本.取显著性水平为α. (1)方差已知时均值的检验 先考虑双侧假设，即要检验 H0:4=0→H1:4≠40： 由于μ的极大似然估计为灭，取“标准化”后的检验统计量 U=MX,,X)=VnX二四 注意到当Ho成立时，UN(0,1),IU川应该较小，反之当U的观测值u(x1,·,xn)较大时，不 利于零假设Ho应该拒绝之.所以选拒绝域形如 UI>T). 要求显著性水平为α，即 PH(IU川>T）=a, 解得t=u2:于是检验的拒绝域为 {IU川>ua/2 即当观测值(x1,·,xn)满足不等式 VnE-四l>ae 时拒绝Ho: 6
7.2 重要参数检验 本节介绍最基本的假设检验问题: 一样本和两样本正态总体的有关均值和方差的检验, 简单的 大样本检验 (0-1 分布参数的假设检验). 7.2.1 一样本正态总体均值和方差的检验 现实中经常碰到诸如此类的问题: 假设用于某用途的合格铁钉要求长度为 10 厘米, 现有经销 商从生产厂家订购了一批这样的铁钉, 为了检验该批检验产品是否合格, 可以从中抽取一小部分进 行测量检验, 通常铁钉的长度服从一个正态分布, 这类问题属于一样本正态总体的假设检验问题. 一般地, 设总体 X ∼ N(µ, σ2 ), −∞ < µ < ∞, σ2 > 0; X1, · · · , Xn 是取自总体 X 的一个样 本. 取显著性水平为 α. (1) 方差已知时均值的检验 先考虑双侧假设, 即要检验 H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ 6= µ0. 由于 µ 的极大似然估计为 X¯, 取“标准化”后的检验统计量 U = u(X1, · · · , Xn) = √ n X¯ − µ0 σ 注意到当 H0 成立时, U ∼ N(0, 1), |U| 应该较小, 反之当 |U| 的观测值 u(x1, · · · , xn) 较大时, 不 利于零假设 H0 应该拒绝之. 所以选拒绝域形如 {|U| > τ}. 要求显著性水平为 α, 即 PH0 (|U| > τ ) = α, 解得 τ = uα/2 . 于是检验的拒绝域为 {|U| > uα/2}. 即当观测值 (x1, · · · , xn) 满足不等式 √ n |x¯ − µ0| σ > uα/2 时拒绝 H0. 6