TExample 设Z~N(4,),Z=(Y,X),则有回归关系 EY1K]=n四+B12222(X-u2) 求回归系数B12=工122和条件协方差函数112的最大似然估 计. ↓Example 解由于∑→（②11，∑12,21，∑22）为一一映射，所以由∑的最大似然 估计为 8a==a--到 ∑-1y:-y:-)∑=1y:-)(x:-' ∑”1(x-刘y:-∑-1(x-)(x:- Previous Next First Last Back Forward 10
↑Example 设 Z ∼ Np(µ, Σ), Z = (Y, X), 则有回归关系 E[Y |X] = µ (1) + Σ12Σ −1 22 (X − µ (2)) 求回归系数 β1·2 = Σ12Σ −1 22 和条件协方差函数 Σ11·2 的最大似然估 计. ↓Example 解由于 Σ → (Σ11, Σ12, Σ21, Σ22) 为一一映射, 所以由 Σ 的最大似然 估计为 Σˆmle = Σ =ˆ 1 n ∑n i=1 (zi − z¯)(zi − z¯) ′ = 1 n ( ∑n i=1(yi − y¯)(yi − y¯) ′ ∑n i=1(yi − y¯)(xi − x¯) ′ ∑n i=1(xi − x¯)(yi − y¯) ′ ∑n i=1(xi − x¯)(xi − x¯) ′ ) = 1 n ( y ′ cyc y ′ cxc x ′ cyc x ′ cxc ) , Previous Next First Last Back Forward 10
其中y2=[y1-,,yn-列，x=x1-,,xm-列.因此B12 和∑112的最大似然估计为 B1.2.mle =122 =(yxe)(xexe) 112.me=分11-分12222221 =.-6x0xx)6月 =nyall-xe(x2x)-xelye. Previous Next First Last Back Forward 11
其中 y ′ c = [y1 − y¯, . . . , yn − y¯], x ′ c = [x1 − x¯, . . . , xn − x¯]. 因此 β1·2 和 Σ11·2 的最大似然估计为 βˆ1·2,mle = Σˆ 12Σˆ −1 22 = (y ′ cxc)(x ′ cxc) −1 Σ11·2,mle = Σˆ 11 − Σˆ 12Σˆ −1 22 Σˆ 21 = 1 n [y ′ cyc − (y ′ cxc)(x ′ cxc) −1 (x ′ cyc )] = 1 n y ′ c [I − xc(x ′ cxc) −1 x ′ c]yc . Previous Next First Last Back Forward 11
1.2最大似然估计的性质 讨论估计量的性质常常考虑无偏性，有效性，相合性和渐近正态 性等等。 定理2.在前面假设及记号下， Efimle B, EEmle =n-1y. 证明.立mle的无偏性显然.由前面的证明中知道 n-1 其中z1,zn-1i.i.d~N(0,).因此 Previous Next First Last Back Forward 12
1.2 最大似然估计的性质 讨论估计量的性质常常考虑无偏性, 有效性, 相合性和渐近正态 性等等. 定理 2. 在前面假设及记号下, Eµˆmle = µ, EΣˆmle = n − 1 n Σ. 证明. µˆmle 的无偏性显然. 由前面的证明中知道 Σˆmle = 1 n n∑−1 i=1 ziz ′ i 其中 z1, . . . , zn−1i.i.d ∼ N(0, Σ). 因此 EΣˆmle = 1 n ∑n i=1 Eziz ′ i = n − 1 n Σ. Previous Next First Last Back Forward 12