·10 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 解(1)因p= e2是球对称分布，故核外总电量为 元a 0-,v品ewt-1red 由不定积分公式 jred= 夜 4g2 0=27a-g=-160x10@ 可见核外电荷的总电荷量等于电子的电荷量， (2)由对称性和高斯定理得 Eas=品eow-0{雪e+e 2ar'ei1 =g2+2+1e-=4wE + 于是得核外电荷在，处产生的电场强度为 e. 1.12如习题1.12图所示，空间有两个球，球心间距离小于半径之和，因此有 一部分重叠（见图）.今使一球充满密度为ρ的均匀正电荷，另一球充满密度为-p的 均匀负电荷，以至于重叠区域无电荷.求这重叠区域内的电场强度E,说明E是匀 强电场. +++++++ ++++++++ ++++++++ ++++++++++ 习题1.12图
第1章真空中的静电场 ·11 解利用1.5.1节例1.7的结果，均匀带电球内的场E=pr/(36),p为电荷体 密度，r为球心到场点的位矢，在重叠区内部，带正电荷的球产生的场为pr/(3。), r为正电荷球心到场点的位矢；带负电荷的球产生的场为-pr/(38),r'为负电荷球 心到场点的位矢，成立r'=r-a,式中a为从正电荷球心到负电荷球心的常矢量，重 叠区内部的电场为上述两部分场的叠加，结果为 B-36 380 - E为均匀场，“为由正电荷球心指向负电荷球心的常矢量. 1.13在半导体pn结附近总是堆积着正、负电荷，在n区内有正电荷，p区内 有负电荷，两区电荷的代数和为零.我们把p结看成一对带正、负电荷的无限大平 板，它们相互接触（习题1.13图）.取x轴的原点在p、n区的交界面上，n区的范 围是-x,≤x≤0，p区的范围是0≤x≤x·设两区内电荷体分布均匀，n区电荷密度 为N,e,p区电荷密度为-Ne,称为突变结模型.设N。,NA是常数，且 N,=Nox,证明电场的分布为 (1)n区：E(x)=Noe(x+x)/8: (2)p区：E(x)=N(x,-x)/o 习题1.13图 证(1)由对称性，可知电场只有x分量.显然在x<-x和x>x区有E=0. 为求得区电场，作高斯面，它是底面积为S的柱面，左侧底面位于左侧零磁 场区，右侧底面位于n区(-x。≤x≤0)，运用高斯定理得 E)S=Ne.S(x,+x)→E)=1N,e(x,+x)←x,≤x≤0) 证毕 (2)为求得p区电场，作柱形高斯面，底面积为S,左侧底面位于p区(0≤x≤x。), 右侧底面位于右侧零磁场区，运用高斯定理得 -E)S=-1NeS,-)→E)=N,ex,-)(0≤x≤x) 60 证毕
·12 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 1.14设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可表为P.(r)=P,1+ (r/a)丁2，r是到其对称轴的距离，P,是轴线上的电荷密度，a是常数，求电场分布 解设所考察的场点离圆柱轴线的距离，远小于柱长，从而可将圆柱体作为无 限长柱体处理.由对称性，电场指向r方向，大小仅与r有关.取高为、半径为r 的柱形高斯面，则由高斯定理得 ndr2kea'ndr 孤E.dS=4hE=2r J(a2+r27 =h0a1 1) sπh0a2r2 6（a2a2+r2)e(a2+r2) a'por -26(2( 1.15如习题1.15图所示，AB=21,弧OCD是以B为中心，1为半径的半圆.A点 有正电荷+g,B点有负电荷g.求： (1)把正电荷Q从O点沿弧OCD移到D点，电场力对它做了多少功？ (2)把负电荷-Q从D点沿AB延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功？ 习题115图 解(1)由电场叠加原理，电场由+9和-q的电场叠加而成.当正电荷Q沿 OCD圆弧移动时，一9电场提供的电场力不做功，仅+q电场提供的电场力做功.又 +的电场力做功与路径无关，故电场力对电荷Q所做的总功等于（取+所在位置为 坐标原点) 1ed-Ea-等器 (2)将负电荷-Q从D移到无限远，电场力做功等于±q提供的电场力做功之和 (分别取+g和-g所在位置为坐标原点) 取=兽品-广器品=原+原品 116证明：在无电荷分布的空间中，凡是电场线都是平行直线的地方，电场 强度的大小必定处处相等.换句话说，凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场 强度的大小必定处处相等.（提示：利用高斯定理和环路定理，分别证明沿同一电场 线和不同电场线上任意两点的场强相等)
第1章真空中的静电场 ·13 证如习题1.16图所示，取柱形高斯面，柱轴与电场方向平行，底面积△S足 够小，通过其侧面的电通量为零，由高斯定理得 -E△S+E,AS=Q/6=0→E。=E6 即同一电场线上任意两点的场强相等.作矩形环路bacd,其ab和cd两边与电场方 向平行，由环路定理得 jEdl=∫Edl+∫Edl+∫Edl+∫nEdl=o 由于ac和db两边与电场方向垂直，故上式右边第2项和第4项等于零；又因前面 已经证明电场沿电场线均匀，故可将上式写为 E.dI=-E.ab+E.cd=0 E,=E. 即不同电场线上任意两点的场强相等.于是，在无电荷分布的空间，凡是电场线都 是平行直线的地方，电场强度必定处处相等，证毕. →E d 习题1.16图 117线电四极子如习题1.17图所示，求它在r多1处的点A(r,0)处所产生 的电势U和电场强度E 4 习题1.17图 解取无限远点为电势零点，则 Urcos0arcs0 -2g 日 1 -2+ =十 V1+1r)2-2l1r)cos0V1+(1/r)2+2l/r)cos0 对远处(r多1)，利用泰勒展开式 1
·14 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 仅保留至二级小量，则上述电势表达式化为 8r2 22+ =9232 4+os'0+产46co0- 下面从所得电势表达式出发计算电场： E=-VU-0U 1aU (cD sinocos0 4π6r4 2πr4 (3cos0-D)e,+2sin 0cos0e *1.18面电四极子如习题1.18图所示，点4r,)与四极子共面，极轴(0=0)通 过正方形中心并与两边平行.设r》1,求面电四极子在点A处产生的电势和电场强度 Atr.0) 习题1.18图 解取无限远处为电势零点，电荷到O点的距离为a=I/√2，则 U= -1 4r6√P2+a2-2 racos(0.25π-)VP2+a2-2 ra cos(0.25π+0) -1 a-2racos(0.75x-0)+-2racos(0.75m+0)