第1章真空中的静电场 5 gl/2 E.=-2×4012++12T9 习题1.5图 图1.5a b、d两处点电荷在A点合电场的方向沿y轴正向，表达式为 Ee=2×46Ik-172+012 于是，A点的总电场为 E=Ee+Ev gl 4红lc-1/2y+0/2[x+112r+129, (2)当x》1时 1 1 1 0x-112y+12p严0x+112y+12严*x2-x产+x0 小 1 1 1.6如习题1.6图所示，电荷分布在半径为R的半圆环上，线电荷密度为2，sin0, 入，为常数，0为半径OB和直径AC间的夹角.证明AC上任一点的电场强度都与 AC垂直. 050 习题1.6图 图1.6a
6 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 证设D为直径AC上任一点，D到环心O的距离为r,如图1.6a所示.要证 明D点的E垂直于AC,只需证明E沿AC方向的分量为零即可. 设环的半径为R,则B处弧元Rd9上的电荷量为dq=,sinORd0,它在D点 产生的电场强度dE的大小为 4πex7 式中，x是B到D的距离，其值为x=√R2+r2-2 Rrcos0.dE沿AC方向的分量为 -5wag8a2-品0 4π6x2 E= G小oe+r-28cd0=+0 R Rsinecos0-rsin 4re。 式中 4=iR9可iR+m udu =R- 2 -2Rr)2 R2+r2-2Rru+ R2+r2 2 R2+rP2-2Ru1R(R-r) 其中用到不定积分公式 a） a+ma+加+a+ma=R+6=-2 4=-R+r"28fR+2 du 1 -1 2r ΓRVR2+P-2R=RR-r I和I2互抵，电场切向分量E,=0,亦即E垂直于AC,证毕 1.7一无限长均匀带电导线，线电荷密度为2，一部分弯成半圆形，其余部分 为两条无穷长平行直导线，两直线都与半圆的直径AB垂直，如习题1.7图所示，求 圆心O处的电场强度 习题1.7图
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第1章真空中的静电场 ·7 解根据对称性可以判断，O点的电场与两直线平行，只需计算平行分量.用 电场强度叠加原理求解，先计算半圆上的电荷对O点电场的贡献.设圆的半径为R, 圆上任意一点的位置由通过该点的矢径与直径AB之间的夹角0表示，0≤O≤π.考 察位于0处的线电荷元dg=Rd0,它在O点产生的电场强度的平行分量为（背离 圆弧、指向右侧为正) 8“R血0：0 ARd0 4π6R 将上式过(0，)积分，求得整个半圆弧电荷对O点电场的贡献： 品 再求两条半无穷直线电荷对O点电场平行分量的贡献，它正好等于单根半无穷直线 电荷贡献的2倍.考虑其中一条半无穷长直线电荷，以其与半圆弧连接处为起点， 沿直线取坐标x,则位于该处的线电荷元dg=dr在O点产生的电场强度的平行分 量（向右为正）为 入dx Axdx dB=4+R+x74m6,R+r严 过(0，∞)积分后加倍，求得两条半无穷长直线电荷对O点电场的总贡献为 6=-2,fxdx 24,R+x严2R+2R 将两部分贡献求和得E=E+E,=0,O点电场为零. 1.8把电偶极矩为p=gl的电偶极子放在点电荷Q的电场内，p的中心O到2 的距离为D,如习题1.8图所示.若p分别(1)平行于OQ,(2)垂直于OQ,求偶 极子所受的力和力矩， D 习题1.8图 解(1)p/OO时，偶极子受力 -g2 ODp E43D12yD+2F202) 以偶极子中心为参考点计算它受的力矩 L=- -gOe, -1
.8 《电磁学与电动力学（第二版）》习题解答 (2)p⊥O0时，偶极子受力只有y方向分量，x方向分量为零，结果为 1/2 Op F=2×4nD4/2D+0/2r严，-4n,D+012r 仍以偶极子中心为参考点，仅力的x分量对力矩有贡献，所受力矩为 L-(小水s2t}m00iar -gODe, 90De gODle. ODp×e, 4m6,D+u12yT4r6,D2+(012} 19有两个同心的均匀带电球面，内、外半径分别为R1和R2,外球面的电荷 面密度为+口，球外各处的电场强度都是零，试求： (1)内球面上的电荷面密度： (2)两球面间离球心为r处的电场强度E: (3)小球面内的电场强度E. 解(1)如习题1.9图所示，由题意，半径为R2的外球带电Q,=4πσ，球 外电场等于零，即E(>R)=0,于是由高斯定理 f须E-ds=上Q=上g+Q)=0 可推得内球带电量和面电荷密度如下： 2=Q2=-4πoR,61=Q/(4πR)=-σR/R 习题1.9图 (2)以O为球心作半径为r(R<r<R)的球高斯面S,由对称性可知面上E沿 径向方向，大小均匀，由高斯定理推得 须Bds=B级as=Ew0=e 从而求得两球面间离球心为r处的电场强度为 (3)以O为球心作半径为r(<R)的球高斯面S,运用高斯定理，经过类似推 导得
第1章真空中的静电场 9. E.ds=E ds=0.E=0,E=0 (r<R) 1.10如习题1.10图所示，一厚度为b的无限大均匀带电板置于真空中，电荷 体密度为p=x(0≤x≤b),其中k是一正的常数，试求空间各点的电场强度. 4 x=b x=0 习题1.10图 图1.10a 解(1)如图1.10a所示.平板外侧任意点P(x<0)和B(x>b)的电场可视为 带电板各薄层产生的电场的叠加，在x处厚度为x的薄板在P点产生的电场大 小为 dx dE= 280 260 式中，g是厚度为dx的薄板上的电荷面密度.叠加所有薄板，可得电场强度的大小为 E=心a证=a8 ∫kdr= 46 显然，P点的电场沿x轴负向，乃点的电场沿x轴正向，即 写-批4<0岛-把4e>0 kb2 式中，e,为沿x轴正向的单位矢量 (2)平板内部某点P(0<x<b)的电场是该点左右两部分产生电场的叠加，左边 部分(0，x)产生的电场沿x轴正向：右边部分(x,b)产生的电场沿x轴负向：两 部分产生的合成电场等于 婆密 e.-e.=2-的。，o<x< e. 460 460 1.11根据量子力学，氢原子在正常状态下核外电荷的分布如下：离核心r处， 电荷的体密度p(r)=-ge2ra/(πa)，式中q=1.60×10C是核外电荷总量的绝对值， a=5.29×10"m是玻尔半径.试求： (1)核外电荷的总电量： (2)核外电荷在r处的电场强度E