a1 an 6, 11412 12 我们把(1.3)式中由四个数a,b,cd排成的两横)行、两(竖) 列并定义为ad-bc的式子 c d 叫做二阶行列式 对于由九个元素a(,=1,2,3)排成三行三列的式子定义 为: a21a22a2=a1aa3+a1a2a+a13a2a32(1.4) a13a2231-‘122133-au!C2329 并称它为三阶行列式 (1.4)式中的六项是按下面(1.5)式所示的方法(称为沙路法) 得到的 a1a12、a3、!a1a2 azi a22 a21.a2 (1.5) 如果三元线性方程组 6, +a22+a23x3=b2 a31x1+a32z2+a3x3=b 的系数行列式 2
411 432 a13 22 ≠0 用消元法求解这个方程组可得 (1.6) 其中D(j=12,3)是用常数项bb2,b替换D中的第j列所得到 的三阶行列式,即 b 1241 au b 41 a2 b, 6 a u D2=1a1b2 D3={a2a226 b 33 63 但是,对于n阶行列式(n>3),不能如(1.5)式(沙路法)那样 定义.因为如果象(1.5)式那样定义n阶行列式,当n>3时,它将 与二、三阶行列式没有统一的运算性质,而且对n元线性方程组也 得不到象(l.6)式那样的求解公式.因此,对一般的n阶行列式要 用另外的方法来定义.在代数中,它可以用三种不同的方法作定 义,我们采用简明的递归法作定义 我们从二、三阶行列式的展开式中,发现它们遵循着一个共同 的规律——可以按第一行展开,得到 D=421a22a2=41A1+a14+a13A13,(1.7) 其中A1,A12,A13分别是a1a12,a13的代数余子式(见后面的定 义),即 2332 33 A1=(-1)+a{aa=aa3-a2na3, E 3
g21 A 3 2』32 31 同样 11 A11+a2A12, 其中 (-1)1+1a2 A12=(-1) 2 a21 这里|a2|la是一阶行列式(不是数的绝对值).我们把a的一阶 行列式|a定义为a. 如果把(1.7)、(1.8)两式作为三阶、二阶行列式的定义,那么 这种定义的方法是统一的,它们都是用低阶行列式定义高一阶的 行列式.因此人们很自然地会想到,用这种递归的方法来定义 般的n阶行列式,对于这样定义的各阶行列式,显然将会有统一 的运算性质、下面我们给出n阶行列式的递归法定义 l.1.1n阶行列式的定义 定义由n2个数an(i,j=1,2,…,n)组成的n阶行列式 D÷atan2…a2m 简记作|a;|#)(1.9) 是一个算式,当n=1时,D=|a1|=a1 当n≥2时, a12A12+…+a1nA1n= Au;(1.10) 其中 A 13 (-1)1+M1
a a 3 ani- anj+1*.am 并称M1为元素a1的余子式,A1为元素a1的代数余子式 在(19式中,a11422,…,am所在的对角线称为行列式的主对 角线,相应地a1,a2,…,am称为主对角元,另一条对角线称为行 列式的副对角线 由定义可见,行列式这个算式是由其n2个元素a1(i,j=1,2, n)的乘积构成的和式(称作展开式)二阶行列式的展开式中共 有2!项,三阶行列式的展开式中共有3!项,n阶行列式的展开式 中共有n!项;在n阶行列式的展开式中,每一项都是不同行不同 列的n个元素的乘积;在全部n!项中,带正号的项和带负号的项 各占一半(以上结论可根据定义,用数学归纳法给以证明)整个展 开式是n2个元素an的n次齐次多项式.当第一行元素为x1;x2 ,x,时,n阶行列式是x1,x2,…x的一次齐次多项式 例1证明n阶下三角行列式(当j时,a=0,即主对角线 以上元素全为0) a21a2 1122 证对n作数学归纳法,n=2时,结论显然成立假设结论对 1阶下三角行列式成立,则由定义得 32
右端行列式是n-1阶下三角行列式,根据归纳假设得 D au(a, u 同理可证,n阶对角行列式 22 例2计算n阶行列式 其中a;≠0,(=1,2,…,n),“*”表示元素为任意数 解注意,对一般的n,这个行列式不等于(一-a1a2…an),利用 行列式定义,可得到 *- Dn=(-1) (-1)"1anD 再利用上面n阶与n-1阶行列式之间的关系(通常称递推关系), 递推可得 D.=(一1)lanD, (-1)”-an(-1) =(-1)(-1)+(m-2)+“+2+ la.a-1…a2a1 例如,当n=4,5时,D4=a1a3a3a4,D=a1a243a4as 6