《固体物理学》课程教学资源（讲义）题库习题答案（黄昆）.pdf

固体物理_黄昆_题库_20050404 PART ONE 填空问题 Q01_01_001 原胞中有 p 个原子。那么在晶体中有 3 支声学波和3p − 3支光学波？ Q01_01_002 按结构划分，晶体可分为 7 大晶系, 共 14 布喇菲格子? Q01_01_004 面心立方原胞的体积为 1 3 4 Ω = a ；其第一布里渊区的体积为 3 3 4(2 ) * a π Ω = Q01_01_005 体心立方原胞的体积为 3 2 a Ω = ；第一布里渊区的体积为 3 3 2(2 ) * a π Ω = Q01_01_006 对于立方晶系，有简单立方、体心立方和面心立方三种布喇菲格子。 Q01_01_007 金刚石晶体是复式格子，由两个面心立方结构的子晶格沿空间对角线位移 1／4 的长度套构而成，晶胞中有 8 个碳原子。 Q01_01_008 原胞是最小的晶格重复单元。对于布喇菲格子，原胞只包含 1 个原子； Q01_01_009 晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。由晶粒组成的固体，称为多晶。 Q01_01_010 由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为布喇菲格子。满足 ai bj = 2πδ ij ⋅ G G ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = = 0 ( ) 2 ( ) i j π i j 关系的b1 G , b2 G , 3 b G 为基矢，由Gh h1b1 h2b2 h2b3 K K K K = + + 构成的格子，称作倒格子。由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做复式格子。其原胞中有两个以上的原子。 Q01_03_001 由 N 个原胞构成的晶体，原胞中有 l 个原子，晶体共有 3lN 个独立振动的正则频率。 Q01_03_002 声子的角频率为ω ，声子的能量和动量表示为 =ω 和 q K = 。 Q01_03_003 光学波声子又可以分为纵光学波声子和横光学波声子，它们分别被称为极化声子和电磁声子 Q01_03_004 一维复式原子链振动中，在布里渊区中心和边界，声学波的频率为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ → = ± = 0, 0 2 ) , 2 ( 2 1 1 q a q M β π ω ；光学波的频率 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ± → = a q m q 2 ) 2 ( ) 0 2 ( 2 1 2 1 2 β π µ β ω Q01_04_001 金属的线度为 L，一维运动的自由电子波函数 ikx e L x 1 ψ( ) = ；能量 m k E 2 2 2 = = ； REVISED TIME: 05-9-16 - 1 - CREATED BY XCH

固体物理_黄昆_题库_20050404 波矢的取值 L n k 2π = Q01_04_002 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有 ( ) ( ) ik r k r e u r ψ k ⋅ = K K K K K K 形式？式中 ( ) k uK r K 在晶格平移下保持不变。 Q01_04_003 如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为禁带，即带隙；能带的表示有扩展能区图式法、简约布里渊区图式法、周期性能区图式法三种图式。 Q01_04_004 在能量标度下，费米自由电子气系统的态密度 2 1 N(E) = CE 。 Q01_04_005 在动量标度下，费米自由电子气系统的态密度 3 ( ) 4 Vc N k π = K 。 Q01_04_006 电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为满带；没有任何电子占据（填充）的能带，称为空带；导带以下的第一个满带，或者最上面的一个满带称为价带；最下面的一个空带称为导带；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为带隙。 Q01_04_007 能带顶部电子的有效质量为负（填写正，或负）；能带底部电子的效质量为正（填写正，或负）。 Q01_06_001 温度升高，金属的导电率减小，半导体的导电率增大。对于金属，温度越高，金属中的晶格振动对电子的散射作用越大。而在半导体中则是有更多的电子从价带激发到导带中。 Q01_06_002 自由电子气系统的费米能级为 , 空间费米半径 0 EF k = 0 2 F F mE k = ；电子的平均能量 0 5 3 EKin = EF Q01_06_003 温度为0 K 时， N 个自由电子构成的三维自由电子气，体系的能量 0 0 5 3 E = NEF Q01_07_001 N 型半导体主要含有一种施主，如果施主的能级是，施主浓度为，在足够低的温度下，载流子主要是从施主能级 ED N D 激发到导带的电子。当温度很低时，只有很少的施主被电离。当温度足够高时，施主几乎全部被电离，导带中的电子数接近于施主数。 REVISED TIME: 05-9-16 - 2 - CREATED BY XCH

雪体特理黄尾躔库_20050404 PT简迷问题 Q0202001原子结合成晶体时,原子的价电子产生重新分布,从而产生不同的结合力,分析离子性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。离子性结合:正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近,当靠近到一定程度时,由于泡利不相容原理,两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时,形成稳定的离子晶体; 共价性结合:靠两个原子各贡献一个电子,形成所谓的共价键金属性结合:组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有,因此在结合成金属晶体时, 失去了最外层(价)电子的原子实“沉浸”在由价电子组成的“电子云”中。在这种情况下,电子云和原子实之间存在库仑作用,体积越小电子云密度越高,库仑相互作用的库仑能愈低,表现为原子聚合起来的作用。范德瓦耳斯性结合:惰性元素最外层的电子为8个,具有球对称的稳定封闭结构。但在某一瞬时由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩,这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用而结合的。 Q0203001什么是声子? 晶格振动的能量量子。在皛体中存在不冋频率振动的模式,称为晶格振动,皛格振动能量可以用声子来描述,声子可以被激发,也可以湮灭。 Q02_03_002什么是固体比热的德拜模型?并简述计算结果的意义。德拜提岀以连续介质的弹性波来代表格波,将布喇菲晶格看作是各向冋性的连续介质,有1个纵波和2个独立的横波。计算结果表明低温极限下:C(T/6D)= 12兀R(a-)-与温度的3次方成正比温度愈低,德拜近似愈好,说明在温度很低时,只有长波格波的激发是主要的。 Q02_03_003什么是固体比热的爱因斯坦模型?并简述计算结果的意义。对于有N个原子构成的晶体,晶体中所有的原子以相同的频率ωo振动计算结果表明温度较高时:C≡3MkB-—与杜隆一珀替定律一致。温度非常低时:C1=3Nk2(,)2eM一一按温度的指数形式降低,与实验结果Cp=AT3不符。爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。 Q02_04_001根据能带理论简述金属、半导体和绝缘体的导电性 REVISED TIME: 05-9-16 CREATED BY XCH

固体物理_黄昆_题库_20050404 PART TWO 简述问题 Q02_02_001 原子结合成晶体时，原子的价电子产生重新分布，从而产生不同的结合力，分析离子性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。离子性结合：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体；共价性结合：靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键；金属性结合：组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有，因此在结合成金属晶体时，失去了最外层（价）电子的原子实“沉浸”在由价电子组成的“电子云”中。在这种情况下，电子云和原子实之间存在库仑作用，体积越小电子云密度越高，库仑相互作用的库仑能愈低，表现为原子聚合起来的作用。范德瓦耳斯性结合：惰性元素最外层的电子为 8 个，具有球对称的稳定封闭结构。但在某一瞬时由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用而结合的。 Q02_03_001 什么是声子？晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动，晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以被激发，也可以湮灭。 Q02_03_002 什么是固体比热的德拜模型？并简述计算结果的意义。德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质，有 1 个纵波和 2 个独立的横波。计算结果表明低温极限下： 3 4 ( ) 15 12 ( / ) D V D T C T R Θ Θ = π —与温度的 3 次方成正比。温度愈低，德拜近似愈好，说明在温度很低时，只有长波格波的激发是主要的。 Q02_03_003 什么是固体比热的爱因斯坦模型？并简述计算结果的意义。对于有N个原子构成的晶体，晶体中所有的原子以相同的频率ω0振动。计算结果表明温度较高时：CV ≅ 3NkB —— 与杜隆－珀替定律一致。温度非常低时： k T B V B B e k T C Nk 0 0 2 3 ( ) ω ω = = − = ——按温度的指数形式降低，与实验结果不符。 3 CV = AT 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。 Q02_04_001 根据能带理论简述金属、半导体和绝缘体的导电性； REVISED TIME: 05-9-16 - 3 - CREATED BY XCH

雪体特理黄尾躔库_20050404 对于金属:电子在能带中的填充可以形成不满带,即导带,因此它们一般是导体。对于半导体」从能带结构来看与绝缘体的相似,但半导体禁带宽度较绝缘体的窄,依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中,因而具有导电能力冖对于绝缘体:价电子刚好填满了许可的能带,形成满带。导带和价带之间存在一个很宽的禁带, 所以在电场的作用下没有电流产生。 Q02_04_002简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用,假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似,可以用势场的平均值代替离子产生的势场:=V(F)。周期性势场的起伏量(F)-V=ΔV作为微扰来处理。当两个由相互自由的矩阵元状态k和k'=k+G的零级能量相等时,一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大。即:F=区+G,或者G(k+G,)=0,在布里渊区的边界处,能量发出突变,形成一系的能带。 Q0204_003简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。紧束缚近似方法的思想:电子在一个原子(格点)附近时,主要受到该原子势场的作用,而将其它原子(格点)势场的作用看作是微扰,将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合,这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。一个原子能级E对应一个能带,不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后,形成了一系列的能带。能量较低的能级对应内层电子,其轨道较小,原子之间内层电子的波函数相互重叠较少,所以对应的能带较窄。能量较高的能级对应外层电子,其轨道较大,原子之间外层电子的波函数相互重叠较多,所以对应的能带较宽 Q0205001什么是空穴? 个空的k状态的近满带中所有电子运动形成的电流和一个带正电荷e,以k1状态电子速度下(k1)运动的粒子所产生的电流相同。这个空状态称为空穴 Q0205_002将粒子看作是经典粒子时,它的速度和运动方程是什么? 电子状态变化基本公式 d(hk) =F;电子的速度:vk=VE Q0205003简述导带中的电子在外场作用下产生电流的原因导带中只有部分状态被电子填充,外场的作用会使布里渊区的状态分布发生变化。所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动,但由于能带是不满带,逆电场方向上运动的电子较多,因此产生电流。 REVISED TIME: 05-9-16 CREATED BY XCH

固体物理_黄昆_题库_20050404 对于金属：电子在能带中的填充可以形成不满带，即导带，因此它们一般是导体。对于半导体：从能带结构来看与绝缘体的相似，但半导体禁带宽度较绝缘体的窄，依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能力。对于绝缘体：价电子刚好填满了许可的能带，形成满带。导带和价带之间存在一个很宽的禁带，所以在电场的作用下没有电流产生。 Q02_04_002 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场：V V (r) K = 。周期性势场的起伏量V (r) −V = ∆V K 作为微扰来处理。当两个由相互自由的矩阵元状态k K 和 Gn k k K K K '= + 的零级能量相等时，一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大。即： 2 2 Gn k k K K K = + ，或者 ) 0 2 1 Gn ⋅(k + Gn = K K K ，在布里渊区的边界处，能量发出突变，形成一系列的能带。 Q02_04_003 简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格点）附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其它原子（格点）势场的作用看作是微扰，将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。一个原子能级εi对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列的能带。能量较低的能级对应内层电子，其轨道较小，原子之间内层电子的波函数相互重叠较少，所以对应的能带较窄。能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子之间外层电子的波函数相互重叠较多，所以对应的能带较宽。 Q02_05_001 什么是空穴？一个空的 1 k K 状态的近满带中所有电子运动形成的电流和一个带正电荷 e ，以 1 k K 状态电子速度 ( )1 v k e K K 运动的粒子所产生的电流相同。这个空状态称为空穴。 Q02_05_002 将粒子看作是经典粒子时，它的速度和运动方程是什么？电子状态变化基本公式： F dt d k K K = = ( ) ; 电子的速度： vk = ∇kE = K 1 Q02_05_003 简述导带中的电子在外场作用下产生电流的原因。导带中只有部分状态被电子填充，外场的作用会使布里渊区的状态分布发生变化。所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动，但由于能带是不满带，逆电场方向上运动的电子较多，因此产生电流。 REVISED TIME: 05-9-16 - 4 - CREATED BY XCH

雪体特理黄尾躔库_20050404 Q0205004简述满带中的电子在外场作用下不产生电流的原因有外场E时,所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中,电子的运动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时,满带中的电子不产生宏观的电流。 Q0206001从电子热容量子理论简述金属中的电子对固体热容的贡献。在量子理论中,大多数电子的能量远远低于费密能量E,由于受到泡利原理的限制不能参与热激发,只有在E附近约~k2T范围内电子参与热激发,对金属的热容量有贡献。计算结果表明电子的热容量与温度一次方成正比。 Q0206_002为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献? 在量子理论中,大多数电子的能量远远低于费密能量E,由于受到泡利原理的限制不能参与热激发,只有在EP附近约~k2T范围内电子参与热激发,对金属的热容量有贡献。在一般温度下,晶格振动的热容量要比电子的热容量大得多;在温度较高下,热容量基本是一个常数。 Q0206003为什么温度较低时可以必须考虑电子对固体热容量的贡献? 在低温范围下,晶格振动的热容量按温度的3次方趋于零,而电子的热容量与温度Ⅰ次方成正比, 随温度下降变化比较缓慢,此时电子的热容量可以和晶格振动的热容量相比较,不能忽略。 Q0206004为什么在绝对零度时,金属中的电子仍然具有较高的能量? 温度7=0时:电子的平均能量(平均动能):Ekm=E,电子仍具有相当大的平均能量。因为电子必须满足泡利不相容原理,每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态 Q02_06005简述研究金属热容量的意义,并以过渡元素Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热容量为例说明费密能级附近能态密度的情况。许多金属的基本性质取决于能量在E附近的电子,电子的热容量C=["N(E(k27)k与 N(EF)成正比,由电子的热容量可以获得费米面附近能态密度的信息过渡元素Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热容量,反映了它们在费米面附近具有较大的能态密度。过渡元素的特征是d壳层电子填充不满,从能带理论来分析,有未被电子填充满的d能带。由于原子的d态是比较靠内的轨道,在形成晶体时相互重叠较小,因而产生较窄的能带,加上的轨道是5 重简并的,所以形成的5个能带发生一定的重叠,使得d能带具有特别大的能态密度。过渡金属只是部分填充d能带,所以费密能级位于d能带内。 Q0206006简述金属接触电势差的形成? 两块不同的金属A和B相互接触,由于两块金属的费米能级不同,当相互接触时可以发生电子交换,电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属,使一块金属的接触面带正电(电子流 REVISED TIME: 05-9-16 CREATED BY XCH

固体物理_黄昆_题库_20050404 Q02_05_004 简述满带中的电子在外场作用下不产生电流的原因。有外场 E 时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中，电子的运动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时，满带中的电子不产生宏观的电流。 Q02_06_001 从电子热容量子理论简述金属中的电子对固体热容的贡献。在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受到泡利原理的限制不能参与热激发，只有在附近约范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。计算结果表明电子的热容量与温度一次方成正比。 0 EF 0 EF ~ kBT Q02_06_002 为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受到泡利原理的限制不能参与热激发，只有在附近约范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。在一般温度下，晶格振动的热容量要比电子的热容量大得多；在温度较高下，热容量基本是一个常数。 0 EF 0 EF ~ kBT Q02_06_003 为什么温度较低时可以必须考虑电子对固体热容量的贡献？在低温范围下，晶格振动的热容量按温度的 3 次方趋于零，而电子的热容量与温度 1 次方成正比，随温度下降变化比较缓慢，此时电子的热容量可以和晶格振动的热容量相比较，不能忽略。 Q02_06_004 为什么在绝对零度时，金属中的电子仍然具有较高的能量？温度T = 0时：电子的平均能量（平均动能）： 3 0 5 EKin = EF ，电子仍具有相当大的平均能量。因为电子必须满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 Q02_06_005 简述研究金属热容量的意义，并以过渡元素 Mn、Fe、Co 和 Ni 具有较高的电子热容量为例说明费密能级附近能态密度的情况。许多金属的基本性质取决于能量在 EF 附近的电子，电子的热容量 V F B B C N(E )(k T )]k 3 [ 0 2 π = 与 ( )成正比，由电子的热容量可以获得费米面附近能态密度的信息。 0 N EF 过渡元素 Mn、Fe、Co 和 Ni 具有较高的电子热容量，反映了它们在费米面附近具有较大的能态密度。过渡元素的特征是 d 壳层电子填充不满，从能带理论来分析，有未被电子填充满的 d 能带。由于原子的 d 态是比较靠内的轨道，在形成晶体时相互重叠较小，因而产生较窄的能带，加上的轨道是 5 重简并的，所以形成的 5 个能带发生一定的重叠，使得 d 能带具有特别大的能态密度。过渡金属只是部分填充 d 能带，所以费密能级位于 d 能带内。 Q02_06_006 简述金属接触电势差的形成？两块不同的金属 A 和 B 相互接触，由于两块金属的费米能级不同，当相互接触时可以发生电子交换，电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属，使一块金属的接触面带正电（电子流 REVISED TIME: 05-9-16 - 5 - CREATED BY XCH