在任意态v),每次测量O时有一个确定值。既然测量后,O有确定值,则由上面结论, 测量后态为O的本征态,确定值就是相应的本征值。 基本假设:在任意态v)对力学量O进行测量,则使得y)坍塌到O的一个本征态n),力 学量的测量值就是相应的本征值O。 问题:O有一系列本征态,本征值,测量时态从v)塌缩到其中一个具体的本征态,测 量之前能否知道塌缩到某一本征态的几率? 5)力学量的测量几率 本征方程O|n)=On|n) 由于厄米算符本征矢的完备性,可由任意力学量O的本征矢构成Hbet空间的一组基矢, 即表象O 在任意态|v),平均值(O)=oy), 进入表象O: (O)=∑l)(nolm)(mlv)=∑ynOn(m)(m)=∑(v))o,=∑oNnv (nv)是态v)在基矢|m)方向的分量,又称v)在O表象的表示。 基本假设:在任意恋v)测量力学量o,测量值为O的几率为(v) 7坐标表象与动量表象 1)坐标表象 本征方程刘x)=x) 基矢|x)正交归一化(xx)=(x-x)完备性条件∫4kx)x=1 任意态V))=dx)(xv),(x)≡v(x)是态p)在坐标表象的具体形式 的平均值(x)=(y1)= ddr(v x)(xir')(xy) 矩阵元x≡(x1x2)=x(x|x2)=6(x-x)x (x)=「hh(xvy)6(x-x)x(x1v)=ja(xv)x(xy)=jdvy(x)xv(x) 这就是我们熟悉的在坐标表象坐标平均值的计算公式
在任意态 ψ ，每次测量 O 时有一个确定值。既然测量后，O 有确定值，则由上面结论， 测量后态为 O 的本征态，确定值就是相应的本征值。 基本假设：在任意态 ψ 对力学量 O 进行测量，则使得 ψ 坍塌到 O 的一个本征态 n ，力 学量的测量值就是相应的本征值On。 问题：O 有一系列本征态，本征值，测量时态从 ψ 塌缩到其中一个具体的本征态，测 量之前能否知道塌缩到某一本征态的几率？ 5）力学量的测量几率 本征方程 ˆO n On = n 由于厄米算符本征矢的完备性，可由任意力学量 O 的本征矢构成 Hilbert 空间的一组基矢， 即表象 O。 在任意态 ψ ，平均值 O = ψ Oˆ ψ ， 进入表象 O： * 2 , , O Oˆ Om n O O m n m n n n n n m m n n m m n n n = = ∑ ∑ ψ ψ ψ ψ =∑ ψ ψ = ∑ n ψ n ψ 是态 ψ 在基矢 n 方向的分量，又称 ψ 在 O 表象的表示。 基本假设：在任意态 ψ 测量力学量 O，测量值为On的几率为 2 n ψ 。 7.坐标表象与动量表象 1) 坐标表象 本征方程 xˆ x x = x 基矢 x 正交归一化 x x ' ( = δ x − x ') 完备性条件 dx x x =1 ∫ 任意态 ψ ψ ψ = dx x x ∫ ， x ψ ψ≡ (x) 是态 ψ 在坐标表象的具体形式。 xˆ 的平均值 x = = ψ ψxˆ ˆ dxdx ' ' ψ x x x x x ' ψ ∫ ， 矩阵元 '' ' ˆ ' ( )' xx x ≡ = xxx x x x = δ x − x x ' ( ) * * * x = − dxdx ' x ψ δ x x ' x ' x ' ψ = dx x ψ x x ψ = dxψ ( ) x xψ (x) ∫ ∫ ∫ 这就是我们熟悉的在坐标表象坐标平均值的计算公式。 1
2)动量表象 本征方程pP)=pp) 基矢|p) 正交归一化(p|p)=(p-p)完备性条件」4p(p 任意态V))=p(pv),(pv≡叭(是态)在动量表象的具体形式 的平均值(p)=(ypy)=jwyx)(xpx)(xlw, 矩阵元Pmx=(xpx)=(xp)(Pp2)p1x (plplp)=p8(p-p) 考虑(x|p)为动量本征态在坐标表象的具体表示,是平面波(x|p) 2Th 那么 Pr,=dpp 22ehp'p-p)b=」中 i cih d(x-x) 分部积分,考虑到im(xv)=0,有 (p)=] drdr'S(x-x)(r v)in =-(rlx)= dr(xl )in=-(w)x) 再一次分部积分 这正是我们熟悉的坐标表象计算动量平均值的公式。 上面两次分部积分说明在计算矩阵元时可以取 Pr,=d(x-x)-ih 推广:对于任意算符O(x,p)在坐标表象的 平均值(O)=Jdw(x0(x-bJw(x0), 矩阵元On=Dx)=60x-x201x-h
2) 动量表象 本征方程 pˆ p p = p 基矢 p 正交归一化 p p ' ( = δ p − p ') 完备性条件 dp p p =1 ∫ 任意态 ψ ψ ψ = dp p p ∫ ， p ψ ψ≡ ( p) 是态 ψ 在动量表象的具体形式。 pˆ 的平均值 p = = ψ ψpˆ ˆ dxdx ' ' ψ x x p x x ' ψ ∫ ， 矩阵元 ' '' ˆ ˆ ' xx p ≡ = x p x dpdp x p p p p p x ∫ ' ' '' p p p ˆ = − p δ ( p p ') 考虑 x p 为动量本征态在坐标表象的具体表示，是平面波 i 1 2 px x p e π = = = ， 那么 i i i ' ' ( ') ' 1 1 ' ' ( ') ( 2 2 px p x p x x xx p dpdp e p p p e dp i e i x x ') x x δ δ π π − − ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − = ⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ = = = = = = = − p dxdx ' ( x i x x ' x x ψ δ ) ' ψ ⎛ ⎞ ∂ = −⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ ∫ = 分部积分，考虑到 lim 0 x x ψ →±∞ = ，有 p dxdx ' (x x ') x ' i x dx x i x x x δ ψ ψ ψ ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∫ ∫ = = ψ 再一次分部积分， * p dx x i x dx ( ) x i (x) x x ψ ψ ψ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫ ∫ - = = − ψ 这正是我们熟悉的坐标表象计算动量平均值的公式。 上面两次分部积分说明在计算矩阵元时可以取 ' ( ') xx p x x i x δ ⎛ ⎞ ∂ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ = 推广：对于任意算符O x ˆ ( ˆ ˆ , p)在坐标表象的 平均值 * ˆ O dx ( , x t)O x, i ( , x ) x ψ ψ ⎛ ∂ ⎞ = ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∫ = t ， 矩阵元 ' ˆ ˆ ' = ( ') , O x xx O x x x O x i x δ ⎛ ⎞ ∂ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ = 2
可以证明:在动量表象,有 (x)=∫4q(p。以p1D, (p)=∫4q(p,)pop (o)=dpp(p,tO(h3, p)p(p,d) 8例题 例1:在坐标表象证明,p为厄米算符。 x,=xS(x-x r'x/= xd(x-x=xd(x-x=x Px=-i。(x-x)=项、了 f(x-x), ih,(x-x)==,6(x2-x)=i,(x-x)=历、0 (x-x) 6(x-x)=p 故X和p均为厄米算符 例2:力学量在自身表象的矩阵形式 力学量F 在O表象:O|n)=On|n),F的矩阵元Fm=(m|F|m) 在F表象:Fn)=Fm,Fm=(mn),说明力学量算符在自身表象为对角方阵 例3: Schrodinger方程 般形式:请)=Hy) 进入坐标表象: iv(x:1)=|2+(x) h2 a2 +v(x)y(x,1) 2m dx 正是我们熟悉的形式
可以证明：在动量表象，有 * (, x dp p t)i ( p,t) p ϕ ϕ ∂ = ∂ ∫ = ， * (, p d = pϕ p t) pϕ( p, ) ∫ t ， * ˆ O dp ( , p t)O(i , p) ( , p ) p ϕ ϕ ∂ = ∂ ∫ = t 8.例题 例 1：在坐标表象证明 xˆ ， pˆ 为厄米算符。 ' ' ( ') xx x = x x δ − x ， ' ' ( ) = ( ( ) ' ' ) ( ' ) ' ( ') xx x x xx x x xδ δ x x x x x x δ x x + ∗ ∗ = − = − = − = x ( ) ' ( ') ( ' xx p i x x i x ') x x x δ δ ∂ ∂ = − − = − − ∂ ∂ − = = x ， ' ' ( ) ' ( ' ) ( ' ) ( ') ( ') ' ' ' ( ') xx x x xx p p i x x i x x i x x i x x p x x x x x δ δ δ δ ∗ + ∗ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ⎜ ⎟ − − = − = − = − − = ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ − = = = = 故 xˆ 和 pˆ 均为厄米算符。 例 2：力学量在自身表象的矩阵形式 力学量 F 在O表象： ˆO n On = n ， F 的矩阵元 ˆ F m mn ≡ F n 在 F 表象： ˆ F n Fn = n ， F F mn = n m n ，说明力学量算符在自身表象为对角方阵。 例 3：Schrödinger 方程 一般形式： ˆ i H t ψ ψ ∂ = ∂ = ， 进入坐标表象： ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ' ' ' ' ' ', ' , t ' i x x H dx x H x x dx x x H x i x H x i x x x ψ ψ ψ δ ψ ψ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = − ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ = = = = ∂ ∂ = 即 ( ) ( 2 2 2 2 , ( ) V( ) 2 2 x x p i x p i x t V x x x t m m x ψ ψ → ∂ →− ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = ⎜− + ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = ,t) ， 正是我们熟悉的形式。 3
例4:已知在坐标表象的态|W)=e"(氢原子基态),求动量的平均值 na 由于(v)不是平面波,动量无确定值,取动量为p的几率是pv), 9)=(p)))a1e=-em=(2a) (2zh)2 丌(anp2+h2) ∫dNpv)=1, (p)=∫ apPly)i 例5:在坐标表象与动量表象分别求解自由粒子的能量本征方程。 p2 2m Hv=Ev) 在坐标表象: 2mW(x)=Ey(x),如(x)= 1-e2",其中动量p=、 在动量表象 P-p(P)Ep(P),(p2-2mEo(P)=0, P(P)=8(p-2mE), p=2mE 可见,本征矢依赖于表象,本征值不依赖于表象。 例6:粒子势阱V(x)=Fxx>’下为常数 坐标表象的能量本征方程 h2 d2 2m dx +Ex(x)=Ey() (x)=0 这是二阶常微分方程,难于求解。 动量表象中 P+inF d p(p)=Ep(p) 阶常微分方程,其解为p(p)=Aem
例 4：已知在坐标表象的态 0 / 3 0 1 r a r a ψ π − = G e （氢原子基态），求动量的平均值。 由于 r ψ G 不是平面波，动量无确定值，取动量为 p G 的几率是 2 p ψ G ， * 3 3 p d ψ ψ = = r p r r d r r p r ψ ∫ ∫ G G G G G G G G G ( ) ( ) 0 3/ 2 3 / 0 3/ 2 2 2 3 0 0 1 1 2 2 ( ) i p r r a a d r e e π π a π a p − − = = + ∫ G G i = G = = = = 2 2 3 d 1 p p ψ = ∫ G G ∵ ， 2 3 ∴ = p p d p ψ ∫ G G 例 5：在坐标表象与动量表象分别求解自由粒子的能量本征方程。 2 ˆ ˆ 2 p H m = ， H E ˆ ψ ψ = 在坐标表象： 2 2 2 2 d x E x m dx ψ ψ = - ( )= ( )， 1 2 i px ψ x e π = = ( )= ，其中动量 p= 2mE ； 在动量表象： ( ) ( ) 2 2 p p E p m ϕ = ϕ ，( ) p m 2 - = 2 0 E ϕ ( ) p ，ϕ δ ( ) p = ( p − 2mE) ， p m = 2 E 可见，本征矢依赖于表象，本征值不依赖于表象。 例 6：粒子势阱 0 ( ) >0 x V x Fx x ⎧ ∞ = ⎨ ⎩ < ，F 为常数。 坐标表象的能量本征方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 >0 2 >0 d Fx x E x x m dx x x ψ ψ ψ ⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ + = ⎨⎝ ⎠ ⎪ ⎩ = - =0 这是二阶常微分方程，难于求解。 动量表象中 ( ) ( ) 2 2 p d i F p E p m dp ϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ = ， 一阶常微分方程，其解为 ( ) 3 6 i p Ep F m ϕ p Ae ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = = ， 4
则坐标表象的态 y(x)=(xlv)= dp( pX(plv)= dp_ep(p) 4 m(-EP 防Je F 其中正弦部份为奇函数,积分结果=0 由连续性条件 (0)=0, dp cos E p|=0→分离能谱En。 mfH Fh
则坐标表象的态 ( ) ( ) 3 3 6 1 2 cos / 2 2 6 i px i p E x p mF F x x dp x p p dp e p A A p dpe dp x p mF F E ψ ψ ψ ϕ π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∞ ∞ ⎜ ⎟ + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −∞ −∞ = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ = = = = = = = 其中正弦部份为奇函数，积分结果＝0。 由连续性条件 ψ ( ) 0 = 0 ， 3 cos 0 6 p E dp p mF F ∞ −∞ ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ = ⎝ ⎠ ∫ = = →分离能谱 En 。 5