北京大学：《量子力学》课程教学资源（讲义）Lecture 2 几率波的一般性质

14几率波的一般性质 1)经典粒子:确定的力学量q、p。 量子粒子:力学量(例如位置)不确定,只有平均值(F)()= dF(确定。 「dv(,) 关于力学量F的经典力学规律台关于(F)的量子力学规律。 例如E=T+→(E)=(T)+(V) 2)几率归一化 粒子在全空间出现的几率为1 a)若jd()=A<∞, 则∫v=1,称一v()为归一化波函数。 b)对于某些理想(非物理)情况,波函数不能归一,例如 y(r, t=el rou (P.r-Et) ,波矢k,频率,动量p,能量E, 此时∫dFw(元)=∞,平方不可积。 但是不能归一并不影响相对几率 (1)(Cv(G,) (,)(Cv(G2,) c)注意: )在统计解释中,W的意义是通过w来定义的,v本身无意义。即使归一化后,v仍有相位不 确定性 v(,)=ev(:) 统计解释是否包含了波函数全部信息? )经典波无归一化问题 y和Cv是完全不同的,后者能量密度是前者C2倍

1.4 几率波的一般性质 1）经典粒子：确定的力学量q、p 。 量子粒子：力学量（例如位置）不确定，只有平均值 ( ) ( ) 2 3 2 3 , ( ) , d r r r t r t d r r t ψ ψ = ∫ ∫ G G G G G G 确定。 ⇒ F 关于力学量 的经典力学规律 ↔ 关于 F 的量子力学规律。 例如 E T = +V → E = T + V 2）几率归一化 粒子在全空间出现的几率为 1。 a) 若 ( ) 2 3 d r ψ r,t = < A ∞ ∫ G G ， 则 ( ) 2 3 1 , 1 A d r ψ r t = ∫ G G ，称 ( 1 , A ψ r t) G 为归一化波函数。 b) 对于某些理想（非物理）情况，波函数不能归一，例如： ( ) i (p r Et) i k r t r t, e e ω ψ − = = G G G G i i = G （ - ） ，波矢k G ，频率ω ，动量 p G ，能量 E ， 此时 ( ) 2 3 d r ψ r,t = ∞ ∫ G G ，平方不可积。 但是不能归一并不影响相对几率 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 , , , , r t C r t r t C r t ψ ψ ψ ψ = G G G G 。 c) 注意： *) 在统计解释中，ψ 的意义是通过 2 ψ 来定义的，ψ 本身无意义。即使归一化后，ψ 仍有相位不 确定性 ( ) ( ) 2 2 , , i r t e r t α ψ ψ = G G ， 统计解释是否包含了波函数全部信息？ *）经典波无归一化问题 ψ 和Cψ 是完全不同的，后者能量密度是前者C2 倍。 1

3)粒子的几率分布确定→v(,1)单值 粒子的几率分布有限→v(F,1)有限; 般情况下,几率分布连续→v(F,t)连续,但不排除存在个别孤立奇点(以后详细讨论) 总结: 归一、单值、连续、有限是一般条件下几率解释对v(F,1)的物理约束条件。 15 Schrodinger方程 1)几率波v(F,)的时间演化,v(F,0)→v(F,1) Schrodinger, 1926 i rt V(r, t)yl m 对于自由粒子,可以证明平面波 p(F, t)=Aei(k.r-at) 是 Schrodinger方程 y (F,1)=-Vv(F,) 21 的解。 由de- br agile关系 =ho nk 虽然一般情形时力学量取值不确定,但平面波具有确定动量p和能量E y 注意: 1)S-方程是基本运动方程,地位如同经典力学中的牛顿方程,不可能推出,是量子力学基本假 定之一; 2)方程包含因子,要求v(F7,1)为复函数,否则方程两边一边为虚函数,一边为实函数,所以平

3）粒子的几率分布确定→ψ (r t, ) G 单值； 粒子的几率分布有限→ψ (r t, ) G 有限； 一般情况下，几率分布连续→ψ (r t, ) G 连续，但不排除存在个别孤立奇点（以后详细讨论）。 总结: 归一、单值、连续、有限是一般条件下几率解释对ψ (r t, ) G 的物理约束条件。 1.5 Schrödinger 方程 1）几率波ψ (r t, ) G 的时间演化， ( ) ( ? 0 ψ ψ r t, , → r t) G G Schrödinger，1926： ( ) ( ) ( 2 2 i , ( V r,t ) t 2m ψ ψ r t r t ∂ = − ∇ + ∂ , ) G G = G G = 对于自由粒子，可以证明平面波 ( ) i k r t r t, Ae ω ψ = G G G （ - i ） 是 Schrödinger 方程 ( ) ( ) 2 2 i , t 2m ψ ψ r t r t ∂ = − ∇ ∂ , = G G G = 的解。 由 de-br ogile 关系 ε ω = = , p k G G = = ， 虽然一般情形时力学量取值不确定，但平面波具有确定动量p G 和能量 E， ( ) i (p r Et) ψ r t, Ae − = G G i = G 注意： 1）S-方程是基本运动方程，地位如同经典力学中的牛顿方程，不可能推出，是量子力学基本假 定之一； 2）方程包含因子 i，要求ψ (r t, ) G 为复函数，否则方程两边一边为虚函数，一边为实函数，所以平 2

面几率波只能是Aeko),不能是Acos(kr-at) 2)几率守恒 h V4+ V)y m -"V2+V)y,V 可以证明,几率密度p(,t)=v(i,t)y(r,t)满足连续性方程 p(r,t)+v·j(f,t) j(, t)=o(y'Vy-wVy j的物理意义时什么? 对有限空间积分 a=0m,t+, d JdxF,t+心()= 定域几率守恒:区域V内几率的变化=流出面积S的几率变化,故称j为几率流密度。 定域质量守恒:pm(,t+v·hm(,t)=0Pn=mp,=mj 定域电荷守恒:p(r,t)+·(,t)=0P=ep,L=e 位置的不确定,导致质量、电荷分布的不确定。 若对整个空间积分 rp(r, t) ∫(,t)=0

面几率波只能是 ，不能是 i k r t Ae ω G G （ - i ） Acos k r ωt G G （ - i ）。 2）几率守恒 2 2 2 2 i ( V ) t 2 m -i ( V ) , V V t 2 m ψ ψ ψ ψ ∗ ∗ ∂ = − ∇ + ∂ ∂ = − ∇ + = ∂ ∗ = G = = G = 可以证明，几率密度 ρ ψ r t = r t * ψ r t 满足连续性方程 G G G （ ， ） （ ， ）（ ， ） r t j( ) r t 0 t ρ ∂ ∇ = ∂ G G G G （ ， ）+ i , ， ( ) i j r t ( ) 2m ψ ψ ψ ψ − ∗ ∗ = ∇ − ∇ G G = G G , j G 的物理意义时什么？ 对有限空间积分： ( ) 3 3 d r r ρ t d r j r t ∂ ∇ = ∫V V∫ 0 ∂t G G G G G G （ ， ）+ i , ， ( ) 3 V S d r r t S j r t 0 dt d ρ d = ∫ ∫G G G G G G （ ， ）+ i , 定域几率守恒：区域 V 内几率的变化=流出面积S G 的几率变化，故称 j G 为几率流密度。 定域质量守恒： m r t j m ( ) r t 0 t ρ ∂ ∇ = ∂ G G G G （ ， ）+ i , ρ ρ m m = = m , j mj G G 定域电荷守恒： e r t j e ( ) r t 0 t ρ ∂ ∇ = ∂ G G G G （ ， ）+ i , e e ρ ρ = = e , j ej G G 位置的不确定，导致质量、电荷分布的不确定。 若对整个空间积分： ( d 3 r r t S j r t dt d d ρ ∫ ∫ ∞ ∞ ) G G G G G （ ， ）=- i , ， 若 dS j( ) r t 0 ∞ = ∫ G G G i , 3

drp(r, t)=finite constant 意味着 a)几率波是可以归一的,而且归一化与时间无关。S-方程保证了归一性不随时间而变。 b)总几率守恒,无粒子的产生与消灭,S-方程描述的是非相对论量子力学 c)由的形式,∫(,1)=0意味v(P→∞1)→0 3)S-方程是关于v(F,)的线性方程。若v12vm是方程的解,则它们的任意线性迭加仍是方程的 解 16态函数、测量与态叠加原理 1)态函数 粒子的位置几率分布v(F),其他力学量的取值几率?例如动量。如果几率波只能给出F的 几率分布,而不能给出其他力学量的几率分布,则几率波不能完全确定体系的状态。如果几率波 能给出所有物理量的几率分布,则可称v(,1)为体系的态函数。知道了v(F,1),则知道了体系的 所有性质。 对于平面几率波,动量有确定取值。对于任意的几率波,频率、波矢不确定,动量、能量不 确定,但可以由平面波展开 F一E anp,D) 2丌h 叭p,)=∫ dr (2nb)w(,)e 此处引入因子1/(2h)2是考虑到平面波的归一化 dr 6(F) 2rh) 问题:w(F,)是位置几率幅,p,1)的物理意义是什么? 由 ()=_dFF(F:

则 3 d r r ρ t ∫∞ G G （ ， ）=finite constant 意味着 a）几率波是可以归一的，而且归一化与时间无关。S-方程保证了归一性不随时间而变。 b）总几率守恒，无粒子的产生与消灭，S-方程描述的是非相对论量子力学。 c）由 j的形式， 意味 G dS j( ) r t 0 ∞ = ∫ G G G i , ψ (r t → ∞, 0 ) → G 。 3）S-方程是关于ψ (r t, ) G 的线性方程。若 1,... ψ ψ m 是方程的解，则它们的任意线性迭加仍是方程的 解。 1.6 态函数、测量与态叠加原理 1）态函数 粒子的位置几率分布 ( ) 2 ψ r t, G ，其他力学量的取值几率？例如动量。如果几率波只能给出r G 的 几率分布，而不能给出其他力学量的几率分布，则几率波不能完全确定体系的状态。如果几率波 能给出所有物理量的几率分布，则可称ψ (r t, ) G 为体系的态函数。知道了ψ (r t, ) G ，则知道了体系的 所有性质。 对于平面几率波，动量有确定取值。对于任意的几率波，频率、波矢不确定，动量、能量不 确定，但可以由平面波展开： ( ) ( ) ( ) ( ) 3 i ( p Et ) 3/2 3 i ( p Et ) 3 / 2 d p , p, 2 d p, , e 2 r r r t t r t r t ψ ϕ e π ϕ ψ π ∞ ⋅ − − ∞ ∞ − ⋅ − − ∞ = = ∫ ∫ G G = G G = G G G = G G G = （ ） （ ） 此处引入因子 ( ) 是考虑到平面波的归一化 3/ 2 1/ 2π = ( ) ( ) 3 3/ 2 1 2 i p r d r e δ p π ⋅ = ∫ G G = G G = 问题：ψ (r t, ) G 是位置几率幅，ϕ p,t G （ ）的物理意义是什么？ 由 ( ) 2 3 r d r r ψ r,t ∞ −∞ = ∫ G G G G 4

G)=广dF( 由S-方程 d =2m厂(v-wv) 由分部积分,并考虑v(→∞,)→0, () ih d'r(Y CVy-Wvy) 再对括号中第二部分进行分部积分, d i dtm_dryly 由于平均值满足经典力学规律 (p)=m=dry(inv)y 代入v(F,1)的付里叶展开式 (D)=」 d rd p d pipo'(p, t)e ii-e (in)p(Pa, t)ei (2mh)3 drdp 0(P, t)e --(P.T-Et) g(问2,t)e d'pd'p2(P, t)(P2, t)P2 8(P2-P) -∫dppl() (2)=二dFP(,) 进行比较,知p(pt是动量取值为庐的几率。由于v(,1确定时,q(应t)确定,并且以后可以 证明,其他力学量的取值几率也是确定的,即给定v(F,),态的性质就确定了。故称几率波v(F,) 为态函数。由于给定φ(pt)时,v(,)亦确定,故φ(F,t)也可以称之为系统的态函数

( ) 2 d 3 , dt r d r r r t t ψ ∞ −∞ ∂ = ∂ ∫ G G G G 由 S-方程 ( ) 3 * d dt 2 r i d r r m ψ ψ ψ ψ ∞ ∗ −∞ = ∇⋅ ∇ − ∫ G ∇ = G G G G G 由分部积分，并考虑ψ (r t → ∞, 0 ) → G ， 3 * d ( ) dt 2 r i d r m ψ ψ ψ ψ ∞ ∗ −∞ = − ∇ − ∇ ∫ G = G G G 再对括号中第二部分进行分部积分， 3 d dt r i d r m ψ ψ ∞ ∗ −∞ = − ∇ ∫ G = G G 由于平均值满足经典力学规律， 3 d ( ) d r p m d r i t ψ ψ ∞ ∗ −∞ ≡ = − ∇ ∫ G G G G = 代入ψ (r t, ) G 的付里叶展开式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 3 3 i i (p Et) (p Et) 1 2 3 1 2 3 3 3 i i (p Et) ( ) 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 2 1 3 p , t e ( ) p , t e (2 ) = p , t e p , t e (2 ) = p , t p , t ( ) = r r r p p d rd p d p p i d rd p d p p d p d p p p p d ϕ ϕ π ϕ ϕ π ϕ ϕ δ − ⋅ − ⋅ − ∗ − ⋅ − − ⋅ ∗ ∗ = − ∇ − ∫ ∫ ∫ 1 r G G G G = = G G G G = = G G G G G G G G = = G G G G G G = G G G G G G G ( ) 2 p p p, ϕ t ∫ G G G 与 ( ) 2 3 r d r , r ψ r t ∞ −∞ = ∫ G G G G 进行比较，知 ( ) 2 ϕ p, t G 是动量取值为 p G 的几率。由于ψ (r t, ) G 确定时，ϕ (p, t) G 确定，并且以后可以 证明，其他力学量的取值几率也是确定的，即给定ψ (r t, ) G ，态的性质就确定了。故称几率波ψ ( ) r t, G 为态函数。由于给定ϕ (p, t) G 时，ψ (r t, ) G 亦确定，故ϕ (p, t) G 也可以称之为系统的态函数。 5