北京大学：《量子力学》课程教学资源（讲义）Lecture 7 不确定关系

9.不确定关系 以上仅考虑了单个力学量的测量值和测量几率,两个或两个以上力学量的测量有什关 系? 在任意态v),力学量A的不确定度由方差决定 (△4)=w(a-(4)y)=),其中12=(-(4)y) 力学量B的不确定度由方差决定 (△B)=(B-(8)l)-gg),其中g)(2-)v A,B两个力学量的不确定关系由(④△)(△B)描述 (△)(△8)=(g 由 Schwarz不等式,对任意矢量a),B), 有 (alay(BlB)2k(alB) 故 (△n)(△8)2/ 对于任意复数Z (△)( )=(w(4-(4)B-(B)w)=(v1B-(B)-(B+(4)(B)y) (B)-(2)(8-(2(6)+(1)(B)=(18)-(1)(B 同理,(g1)=(B1)-(B)(2) (△(0(0622小) 其中对易子 AB1=AB-B。 这就是两个力学量算符取值的不确定关系

9. 不确定关系 以上仅考虑了单个力学量的测量值和测量几率，两个或两个以上力学量的测量有什关 系？ 在任意态 ψ ，力学量 A 的不确定度由方差决定 ( ) ( ) ( ) 2 2 ∆ ≡ A A ψ ψ ˆ ˆ − A = f f ，其中 f = A− A ψ 力学量 B 的不确定度由方差决定 ( ) ( ) ( ) 2 2 ∆ ≡ B B ψ ψ ˆ ˆ − B = g g ，其中 g = B − B ψ A，B 两个力学量的不确定关系由 ( ) ( ) 2 2 ∆A ∆B 描述 ( ) ( ) 2 2 ∆ ∆ A B f = f g g 。 由 Schwarz 不等式，对任意矢量 α ，β ， 有 2 α α β β ≥ α β ， 故 ( ) ( ) 2 2 2 ∆ ∆ A B f ≥ g ∵对于任意复数 Z， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 * Re Im Im Z 2 Z Z Z Z Z i ⎛ ⎞ = + ≥ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 A B f g f g g f i ⎛ ⎞ ∴ ∆ ∆ ≥ ≥ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ( )( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ+ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + f g A A B B AB A B A B A B AB A B A B A B AB A B = − ψ ψ − = ψ − − ψ = − − = − ∵ 同理， ˆ ˆ ˆ ˆ g f = − BA B A ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 2 A B AB BA A B i i ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∴ ∆ ∆ ≥ − = ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ˆ ˆ ， 其中对易子 ˆ ˆ ˆ ˆ ⎡ ⎤ A, B = AB − BA ⎣ ⎦ 。 这就是两个力学量算符取值的不确定关系。 1

说明:如果两个力学量算符不对易,即[1B≠0,则它们不可能在同一态都有确定值。如 果两个力学量算符对易,则它们可能在某个态都有确定值 例1:在坐标表象计算[x, 分部积分h0(x1)(x-x)(x-边x(xx)(x 同理可证, ih dxx 故1=D(△)(49y)2 说明:在任意态,坐标与动量都不可能同时有确定值。以平面波态为例,在坐标表象, xv 动量有确定值。但坐标取值为x的几率 (rlv) 说明粒子在-∞<x<∞出现的几率处处相等,坐标的取值完全不确定。 例2:证明表象变换不改变对易关系。 设在F表象,有 则在G表象, LAg,Ba=AcBG-BCAG=SAS-'SB S--SB"-=S(Ap B-BAr)S=SC S-=CG 说明:对易关系是量子力学基本关系。 例3:用不确定关系估计基态能。 r(=00 其它

说明：如果两个力学量算符不对易，即 ，则它们不可能在同一态都有确定值。如 果两个力学量算符对易，则它们可能在某个态都有确定值。 ˆ ˆ ⎡ ⎤ A B, ≠ ⎣ ⎦ 0 例 1：在坐标表象计算[ xˆ ˆ , p] xˆˆp dxdx ' ' xˆ x x pˆ x x ' dxdx ' x x -i (x x ') x ' x δ ⎛ ⎞ ∂ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∫ ∫ = − dxdx ' ( i ( ) x x x x ') x ' dx i ( x x ) x x x δ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∫ ∫ 分部积分 = = dx i x x i x x x i i dxx x x x x ⎛ ⎛ ⎞ ∂ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ + = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂⎝ ⎠ ∫ ∫ = = = = = 同理可证， pxˆ ˆ=i dxx x x x ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∫ = ， 故 [ ] ( ) ( ) 2 2 2 ˆ ˆ , , 4 x p = ∆ i x ∆p ≥ = = 。 说明：在任意态，坐标与动量都不可能同时有确定值。以平面波态为例，在坐标表象， 1 e 2 i px x ψ π = = = ， 动量有确定值。 但坐标取值为 x的几率 2 1 2 x ψ π = = ， 说明粒子在−∞ < x < ∞ 出现的几率处处相等，坐标的取值完全不确定。 例 2：证明表象变换不改变对易关系。 设在 F 表象，有 ˆ ˆ ˆ , A B F F CF ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ， 则在 G 表象， ( ) 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , AG BG AG BG BG AG F F F F F F F F F G SA S SB S SB S SA S S A B B A S SC S C − − − − − − ⎡ ⎤ =−= − = − = = ⎣ ⎦ ˆ 说明：对易关系是量子力学基本关系。 例 3：用不确定关系估计基态能。 0 0< a ( )= x V x ⎧ < ⎨ ⎩∞ 其它 2

由 Shrodinger方程,粒子只能在0<x≤a内运动,故(△)=(x-()s 在能量本征态, E=(E)=(7)+(V (4y)=(-(2)=()-(p2 8ma 取Em ,为估计的基态能 例4:最小不确定波包。 要在不确定关系(△)(△9)=(202)中取等号,得到最小不确定度性,必须 1)在Shwa不等式中取等号)(glg)=(|g); 2)Re(|g)=0。 1)的解是|g)=c),c为常数; 2)即Re(c(∫)=0,由于(∫)是实数,故c=,a为实数 ia//) B-(B)y)=a(-(4)v) 这就是最小不确定性对态v)的限制。取 B 并考虑坐标表象,有 -ih -(p)y(x)=ia(x-(x)y(=) 解为v(x)=Ae-uo"e(), 是坐标空间的 Gaussian波包

由 Shrödinger 方程，粒子只能在0 < <x a 内运动，故 ( ) ( ) 2 2 2 ∆ = x x x − ≤ a 。 在能量本征态， 2 ˆ = + 2 p E E T V m = = ， ( ) ( ) 2 2 2 2 ∵ ∆ = p pˆ ˆ − p = pˆ − pˆ ， ( ) 2 2 ∴ ≥ pˆ ∆p ， ( )2 ∆ ≤ p 2mE ， ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 1 2 ,ˆ ˆ 2 4 mEa x p x p i ⎛ ⎞ ≥ ∆ ∆ ≥ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = ， 2 2 8 E ma ≥ = ， 取 2 min 2 8 E ma = = ，为估计的基态能。 例 4：最小不确定波包。 要在不确定关系 ( ) ( ) 2 2 2 1 ˆ ˆ , 2 A B A B i ⎛ ⎞ ∆ ∆ = ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 中取等号，得到最小不确定度性，必须： 1）在 Schwarz 不等式中取等号 2 f f g g = f g ； 2）Re f g = 0。 1）的解是 g c = f ， c 为常数； 2）即Re(c f f ) = 0，由于 f f 是实数，故c = ia ， a 为实数。 故 g i = a f ， 即 ( ) ( ) B B ˆ ˆ − = ψ ψ ia A A − ， 这就是最小不确定性对态 ψ 的限制。取 ˆ A = xˆ ， ˆ B = pˆ ， 并考虑坐标表象，有 ( ) ( ) ( ) d dx i p ψ ψ x ia x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠ - = x 解为 ( ) ( )2 a x x / 2 i p x / ψ x Ae e − − = = = ， 是坐标空间的 Gaussian 波包。 3

10能量时间不确定关系 由 △A 由狭义相对论x2=(1,x),p=(E,p), 类比得 △xp≥-→△△E≥ 即为能量时间不确定关系。 但是,在非相对论量子力学中 ihv(x,) 2m dr2+v( t与x不同权,t只是一阶微分,而x是二阶微分;x,p,E是力学变量,t不是;所有力学量取值 是的函数,即在非相对论量子力学中,t仍然是一个经典量。那么,Δt是什么意思? (△)=(-(E)()= 由(o)()=v(o)ov(), 得)()p1) 由i()=Bv(),h(w()=Bv() 有(O)=D(B0()+y)bv()+bv(O)ov()=( 若力学量O不显含时间, H 那么O,H的不确定关系为 nd △E))≥ △O△E≥ 与MAE≥比较

10.能量时间不确定关系 由 ( ) ( ) 2 2 2 4 ∆ ∆ x p ≥ = ， 有 2 ∆ ∆ x p ≥ = i ， ( ) 2 ∆ ≡ A A∆ 由狭义相对论 xµ=(t x, ) ， p ( ) E p, µ= ， 类比得 2 2 ∆ ∆ x p ≥ → ∆t ∆E ≥ = = i i ， 即为能量时间不确定关系。 但是，在非相对论量子力学中， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , V t 2 i x t x x m x ψ ψ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ + ∂ ∂ ⎝ ⎠ = = ,t ， t与 x不同权，t只是一阶微分，而 x是二阶微分； x p, , E 是力学变量，t不是；所有力学量取值 是 t 的函数，即在非相对论量子力学中， t 仍然是一个经典量。那么， ∆t 是什么意思？ ( ) ( )2 2 ∆ = E Hˆ − E ， ( )2 ∆ = t ? 由 ( ) ( ) ( ) O Oˆ t t = ψ ψ t ， 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ d O O Oˆ ˆO dt t t t t t t t t ψ ψ ψ ψ ψ ψ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ t ∂ ∂ 由 ( ) ( ) ˆ i t H t ψ ψ ∂ = ∂ = t ， ( ) ( ) ˆ - t i t ψ ψ H ∂ = ∂ = t ， 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ 1 O 1 O ˆ ˆ ˆ ˆ d t HO t t t t OH t dt i t i ψ ψ ψ ψ ψ ψ ∂ = − + + = = ∂ ˆ 1 O ˆ ˆ O H, i t ∂ ⎡ ⎤ + ⎣ ⎦ = ∂ = 若力学量Oˆ 不显含时间， 1 O , ˆ ˆ d O H dt i ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = = ， 那么Oˆ ， Hˆ 的不确定关系为 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ , 2 4 d O E O H O i d ⎛ ⎞ ⎛ ∆ ∆ ≥ ⎜ ⎟ ⎡ ⎤ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ = t ⎞ ⎟ ⎠ ， 2 d O E O dt ∆ ∆ ≥ = i ， 与 2 ∆ ∆t E ≥ = i 比较， 4

有△=△O|(o Mt的物理意义是力学量O的平均值变化一个标准方差△O所需的时间。显然,M与力学量O 有关 例:在能量本征态Nw(),w(t)=Ev(),△E=0 h()=Bv()=E() v()=e y(o) 任意力学量平均值 (O)()=v(t)ov(), 若O不显含时间, (O)()=(y(o)ow)2=(O) 说明在能量本征态,任意不含时间的力学量的平均值与时间无关, O)=0,△t=△O/O

有 = / d t O O dt ∆ ∆ 。 ∆t 的物理意义是力学量O的平均值变化一个标准方差 所需的时间。显然， 与力学量O 有关。 ∆O ∆t 例： 在能量本征态 ψ ( )t ， ( ) ( ) ˆH ψ ψ t = E t ，∆ = E 0 ( ) ( ) ( ) ˆ i t H t E t ψ ψ ψ ∂ = = ∂ = t ， ( ) ( ) - e 0 i E t ψ ψ t = = ， 任意力学量平均值 ( ) ( ) ( ) O Oˆ t t = ψ ψ t ， 若Oˆ 不显含时间， ( ) ( ) ( ) O 0 Oˆ t O = = ψ ψ 0 (0) ， 说明在能量本征态，任意不含时间的力学量的平均值与时间无关， O 0 d dt = ， = O/ O d t dt ∆ ∆ → ∞ 。 5