北京大学：《量子力学》课程教学资源（讲义）Lecture 13 角动量的一般性质

2角动量的一般性质 力学量的一般定义由对易关系确定。例如坐标和动量的定义是 元]=0,[,=0,[元,]=h, 不依赖于表象 角动量J的一般定义由其对易关系确定: 或者 ihe 满足该定义的力学量为角动量。 定义 J=J2+J2+ 以下用类似于求解谐振子本征值的代数方法来求解2,的本征值 1)[][]=[]+[=1+b Juk+iheki k=ihewk k - Jk 此处用到了c的反对称性质:c=-Em。故2与有共同本征函数 因为2不仅仅依赖于J,共同本征态至少应有两个量子数,记为m)。量子数一般 无量纲。考虑到2和J的量纲,于是: J2|.m)=12.m),,m=m,m 问题:4=?,m 2)构造新的算符组 J+=J+i

2.角动量的一般性质 力学量的一般定义由对易关系确定。例如坐标和动量的定义是 ˆ ˆ , 0, ˆ , ˆ 0, ˆ , ˆ i j i j i j ij ⎡ ⎤ x x p = = ⎡ p ⎤ ⎡x p ⎤ δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = i= ˆ i ， 不依赖于表象。 角动量 的一般定义由其对易关系确定： ˆ J G ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , x y z y z x z x y J J i J J J i J J J i J J J i J ⎡ ⎤ = ⎫ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ = × ⎬ = ⎣ ⎦ ⎪ ⎡ ⎤ = ⎪ ⎣ ⎦ ⎭ = G G G = = = ， 或者 ˆ ˆ ˆ ,i j ijk k ⎡ ⎤ J J = i ε J ⎣ ⎦ = ， 满足该定义的力学量为角动量。 定义 ˆ 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ x y z i J J =++= J J J J G 。 以下用类似于求解谐振子本征值的代数方法来求解 ˆ 2 ˆ , z J J G 的本征值。 1） ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , j i i j i i j i j i ijk i k ijk k i J J J J J J J J J J J i ε ε J J i J J ⎡ ⎤ = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G = = ˆ =+=−= i= = ε ε ijk J ˆ ˆ i Jk i kji J J ˆ ˆ i k i=ε ijk J ˆ ˆ i Jk i=ε ijk J J ˆ ˆ i k 0 ， 此处用到了ε ijk 的反对称性质：ε ijk = −ε jik 。故 ˆ 2 J G 与 J ˆ z 有共同本征函数。 因为 2 不仅仅依赖于 ，共同本征态至少应有两个量子数，记为 ˆ J G ˆ z J λ,m 。量子数一般 无量纲。考虑到 和 的量纲，于是： ˆ 2 J G ˆ z J ˆ 2 2 J m λ λ , , = λ m G = ， ˆ , , z J m λ = m= λ m ， 问题：λ = = ?,m ? 2）构造新的算符组 ， ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , ˆ x y x y z x y z J J iJ J J J J J iJ J J + + − + ⎧ = + ⎪⎪ → = ⎨ − = ⎪ ⎪⎩ 1

1=元2-2+M),小=-12-,=1(+)+ 有新的对易关系:[,小]=2,[小]=10,[2]=M []-[]-[户小 =0 3)(4,m|72-721,m)=(4,m|7,+JJ+|,m) (2-m2)h2(m12m)=1m1.m)+2(m:5,2.m)20 故λ≥ J2小,m)=J,21.m)=2+2,m) 12m)=(10.+小)m)=(m+1)1,12m) Jn 2|,m)=h2 小1m)=(-1+川2,m)=(m-1)12m 说明:若|1.m)是,)2的共同本征态,则小,1.m),2m)也是它们的共同本征态。这 些本征值和本征态的关系为 共同本征态 J本征值 J2本征值 (.)12m) m+2)h J (m+1)h Aλ,m) 72|1.m) (m-1)h ()12m 故称J为下降算符,J为上升算符。 结合上面的结论,有: 2的本征值为n2 J得本征值为(,…,m-1,m,m+1,…, 有最大值与最小值的原因是A≥j2,A≥P2

( ) ˆ ˆ 2 2 2 2 ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , 2 z z z z 2 z J J J J J J J J J J J J J J J J + − = − + − + = − − = + − + − + + G G G ∵ = = ∴有新的对易关系： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 , , , , , z z z J J J J J J J J J + − − − + + ⎡ ⎤ = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = = = = = 0 ˆ ˆ 222 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , z J J J J J J + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ G G G 3） ˆ 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , 2 m J z λ λ − = J m λ m J+ − J + J − J+ m G ˆ λ, ( ) 2 2 0 0 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , 2 2 λ λ m m λ m λ m J J λ m λ m J J λ m + + − − + + ≥ ≥ − = = + ≥ 0， 故 2 λ ≥ m 4） ( ) ( ) ˆ ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , 1 z z J J m J J m J m J J m J J J m m J m λ λ λ λ λ λ + + + + + + + ⎧ ⎪ = = ⎨ ⎪ = + = + ⎩ G G = = = λ, ( ) ( ) ˆ ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , 1 z z J J m J J m J m J J m J J J m m J m λ λ λ λ λ λ − − − − − − − ⎧ = = ⎪ = − + = − λ, ⎩ G G = = = ⎪ ⎨ 说明：若 λ,m 是 2 ， 的共同本征态，则 ˆ J G ˆ z J ˆ ˆ J m + λ, , J− λ,m 也是它们的共同本征态。这 些本征值和本征态的关系为： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ , 2 ˆ , 1 , z J J J m m J m m m m λ λ λ λ λ + + + + G # # = = = = = 共同本征态 本征值 本征值 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ˆ , 1 ˆ , 2 J m m J m m λ λ λ λ λ − − − − = = = = = # # # # 故称 J ˆ − 为下降算符， J ˆ + 为上升算符。 结合上面的结论，有： ˆ 2 J G 的本征值为λ=2 ； ˆ z J 得本征值为( j′, , " " m m − + 1, , m 1, j)= ， 有最大值与最小值的原因是 2 2 λ ≥ ≥ j , λ j ' 。 2

5)对于最大值j:J1=0, 否则与力是J最大本征值相矛盾。故 0=)1202=-2-M0)22=1x--)1x小, =f(j+1)。 对于最小值∫:2,)=0, 否则与由是J最大本征值相矛盾。故 0=)212=(元-+M)=(2=+月1,, 即 A=f(-1), 由 j(j+1)=f(/-1), 有 而∫=j+1>j与j为最大值的假设不符,故取 J 故J2的本征值:Mh2,A=j(j+1) J的本征值:m, j,一j+1,…,j-1,j 剩下的问题是:j=? 6)任意两个态可用或J作用整数次后为同一个态。而用下降算符J作用,八2/次 后变为λ.-),或用上升算符小作用|.-)2j次后变为八,故 2j=0,正整数,j为零,正整数,和半整数。 总结;:j,m)=八(+1)1m),j=0.13 J|j,m)=mhj,m),m=-,一j+1,…,j-1,j 问题:j=01,23,…时,j可用轨道角动量来解释,而/=3 22时,的物理意义是什 么?这说明由角动量的定义,即对易关系出发,一定还存在一种新的角动量

5） 对于最大值 j ： ˆ J j λ, 0 + = ， 否则与 j= 是 J ˆ z 最大本征值相矛盾。故 ( ) ( ) ˆ 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 , , z z J J λ λ j J J J j λ j j j = = − + − − = − − G = = λ, ， 即 λ = j j ( ) +1 。 对于最小值 j′ ： ˆ J j λ, 0 − ′ = ， 否则与 j= 是 J ˆ z 最大本征值相矛盾。故 ( ) ( ) ˆ 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 , , z z J J λ λ j J J J j λ j j j + − = = ′ ′ − + = − ′ + G = = ′ λ, ′ ) ， 即 λ = j j ′ ′ ( ) −1 ， 由 j j ( ) + = 1 1 j′ ′ ( j − ， 有 j 1 j j ⎧ + ′ = ⎨ ⎩ − ， 而 j j ′ = +1 > j 与 j 为最大值的假设不符，故取 j j ′ = − 。 故 的本征值： ， ˆ 2 J G 2 λ= λ = + j j ( ) 1 ˆ z J 的本征值： m= ， m = − j j , 1 − + , ", j −1, j 。 剩下的问题是： j = ? 6） 任意两个态可用 J ˆ + 或 J ˆ − 作用整数次后为同一个态。而用下降算符 J ˆ − 作用 λ, j 2 j 次 后变为 λ,− j ，或用上升算符 J ˆ + 作用 λ,− j 2 j 次后变为 λ, j ，故 2 j = 0, 正整数， j 为零，正整数，和半整数。 总结： ( ) ˆ 2 2 J j,m = + j j 1 j,m G = ， 1 3 0, ,1, , 2 2 j = " ˆ , , z J j m = m= j m ， m = − j j , 1 − + , ", j −1, j ， 问题： j = 0,1, 2,3,"时， J ˆ 可用轨道角动量来解释，而 1 3, , 2 2 j = "时， 的物理意义是什 么？这说明由角动量的定义，即对易关系出发，一定还存在一种新的角动量。 ˆ J 3

7)令J,,m=am1,m+1),J1|1,m)=bmm-1 有(,mJ=(,m+1am,(,m7=(m-1b 故{m(m+1,m+1=(,m,m)=(,m2-2-M0m m)+2(,mj,m) m|=((+1)-m2-m) 取 +1)-m(m+1)=√-m 类似,可得 √+m)(-m+1)h, j.m)=√=m)(+m+1)m+1 ,m)=√+m)(-m+1),m-1 Jij, m) )(+m+1)m++√+m)(-=m+1),m-1 h m)=,√-m(+m+0) 2i +m)-m+1),m-1) 8)进入J2与J的共同表象 矩阵元 (m1,m=f(+1)266m,(,m11,m)=mh60m, 方 m12m=,√-m(+m+1)6 +m)(j-m+1)66 (:m131m)=-m(/+m+1)2 j+m)(-m+1)5 9)例题 例1:j=(电子自旋) J2=f(j+1)=h2,J2=mh

7）令 ˆ , , 1 jm J j + m = + a j m ， ˆ , , 1 jm J j − m = − b j m ， 有 * ˆ , , 1 jm j m J j m a − = + ， * ˆ , , 1 jm j m J j m b + = − 故 2 ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , 1 , 1 , , , , jm z z a j m + + j m = j m J− + J j m = j m J − J − J j m G = ( ( ) ) 2 2 = + j j 1 , − m − m = j m j,m ， ( ) ( ) 2 2 2 1 jm a j = +j − m − m = ， 取 a j jm = + ( ) j 1 1 − m(m + )= = = ( ) j − m ( j + m +1) ) 。 类似，可得 ( )( 1 jm b j = + m j − m + =， 即 ( )( ) ( )( ) ˆ , 1 ˆ , 1 J j m j m j m j m J j m j m j m j m + − ⎧ = − + + + ⎪ ⎨ ⎪ = + − + − ⎩ = = , 1 , 1 ， ( ) ( ) 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ 2 x y J J J J J i + − + − ⎧ = + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ ∵ ˆ J ， ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ˆ , 1 , 1 2 2 ˆ , 1 , 1 2 2 x y J j m j m j m j m j m j m j m J j m j m j m j m j m j m j m i i ⎧ = − + + + + + − + − ⎪⎪ ∴⎨ ⎪ = − + + + − + − + − ⎪⎩ = = = = 1 , 1 1 , 1 8）进入 2 与 的共同表象 ˆ J G ˆ z J 矩阵元 ( ) ˆ 2 2 , , 1 jj mm j m J j m j j δ δ′ ′ ′ = + G = ′ ， ˆ , , z j j m J j m m δ δ′ ′ ′ = = j mm′， ( )( ) , 1 ( )( ) , 1 ˆ , , 1 1 2 2 x jj m m j m J j m j m j m δ δ′ ′ + − j m j m δ δ′ ′ ′ ′ = − + + + + − + = = jj m m ( )( ) , 1 ( )( ) , 1 ˆ , , 1 1 2 2 y jj m m jj m m j m J j m j m j m j m j m i i δ δ′ ′ + − δ δ′ ′ ′ ′ = − + + − + − + = = 9）例题 例 1： 1 2 j = （电子自旋） ( ) 2 2 3 2 1 4 J j = +j = G = = ， 1 1 , , 2 2 z J m= = m = − 4

在2与j的共同本征态构成的 Hilbert空间里,当j确定时,即2的本征值确定时, 存在一个由J的本征态构成的子空间,维数D=2j+1。 当j=时,D=2,在这个子空间 2 0h/2)n(0 方/20)2(10 市(0 方 方0 h/20)h(10方 J:=(0-h/2)2(0-1/2 σ1O,.为Pau矩阵。 设的本征态为,有本征方程 0-h/2八b b 考虑到归一化条件,得 时,本征态为 m=-时,本征态为 例2:j=1(光子自旋) J2=j(j+1)h2=2h2,J2=mh,m=1,0.-1。 在D=3的子空间,有 010 0 100 h 101,J i0-,J=00 本征值本征态为 m=10

在 2 与 的共同本征态构成的 ˆ J G ˆ z J Hilbert 空间里，当 j 确定时，即 的本征值确定时， 存在一个由 的本征态构成的子空间，维数 ˆ 2 J G ˆ z J D = 2 j +1。 当 1 2 j = 时， D = 2，在这个子空间： 0 / 2 0 1 , / 2 0 2 2 1 0 x x J σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = = 0 2 0 2 2 0 0 2 y y i i J i i σ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = = = ， / 2 0 1 0 0 / 2 2 2 0 1 z z J σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝ ⎠ = = = = = z ， , , σ σx y σ 为 Pauli 矩阵。 设 Jz 的本征态为 ，有本征方程 a b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ / 2 0 0 / 2 a a m b b ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = ， 考虑到归一化条件，得： 1 2 m = 时，本征态为 ， 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 m = − 时，本征态为 。0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 例 2： j = 1（光子自旋） ( ) 2 2 2 J j = +j 1 2 = G = = , 1,0, 1 z ， J m= = m = − 。 在 D = 3的子空间，有 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 , 0 , 0 0 1 2 2 0 1 0 0 0 0 0 1 x y z i J J i i J i ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − = = = ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 1 本征值本征态为 1 0 1, 0 ; 0, 1 ; 1, 0 0 0 m m m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 5