《固体物理学》课程教学资源（讲义）第七章 半导体电子论（7.1）半导体的基本能带结构

雪体物理学黄尾第七章半辱体电予论20050406 第亡章米辱体电子论 半导体材料是一种特殊的固体材料。固体能带理论的发展对半导体的研究起到了重大的指导作用, 而半导体材料与技术的应用发展又对固体物理硏究的深度与广度产生了相对的推进作用 由于半导体中电子的运动可以是多样化的,其材料的性质与杂质、光照、温度和压力等因素有着密 切的关系。通过半导体物理的研究,可以进一步不断地揭示材料中电子各种形式的运动,阐明它们 运动的规律。 本章研究主要是对半导体中电子的性质作一些初步介绍。 §7.1半导体的基本能带结构 半导体的能带如图ⅩCH00702601所示。 XCH00702601 XCH00702602 Conduction band Electron Full Filled Band ull Filled ull Filled Ba 一般温度下,由于热激发价带顶部有少量的空穴,导带底部有少量的电子。如图XCH00702602 所示。这些电子和空穴就是半导体中的载流子,决定了半导体的导带能力。 1.半导体的带隙 本征光吸收:光照将价带中的电子激发到导带中,形成电子一空穴对,这一过程称为本征光吸收。 2 tHc 本征光吸收过程中光子的能量满足:hO≥Eg,O E 长波极限 outs 本征吸收边。发生本征光吸收的最大光的波长。 REVISED TIME: 0S-5-2 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 第七章 半导体电子论 半导体材料是一种特殊的固体材料。固体能带理论的发展对半导体的研究起到了重大的指导作用， 而半导体材料与技术的应用发展又对固体物理研究的深度与广度产生了相对的推进作用。 由于半导体中电子的运动可以是多样化的，其材料的性质与杂质、光照、温度和压力等因素有着密 切的关系。通过半导体物理的研究，可以进一步不断地揭示材料中电子各种形式的运动，阐明它们 运动的规律。 本章研究主要是对半导体中电子的性质作一些初步介绍。 §7.1 半导体的基本能带结构 半导体的能带如图 XCH007_026_01 所示。 一般温度下，由于热激发价带顶部有少量的空穴，导带底部有少量的电子。如图 XCH007_026_02 所示。这些电子和空穴就是半导体中的载流子，决定了半导体的导带能力。 1. 半导体的带隙 本征光吸收：光照将价带中的电子激发到导带中，形成电子—空穴对，这一过程称为本征光吸收。 本征光吸收过程中光子的能量满足： =ω ≥ Eg ， λ π ω 2 c = ， Eg c ≥ λ 2π= 长波极限： Eg π=c λ 2 0 = —— 本征吸收边。发生本征光吸收的最大光的波长。 REVISED TIME: 05-5-23 - 1 - CREATED BY XCH

雪体物理学黄尾第七章半辱体电予论20050406 本征边附近光的跃迁 1)竖直跃迁一—直接带隙半导体 k空间电子吸收光子从价带顶部k跃迁到导带底部状态k,且F=,此过程除了满足能量守恒 以外,还要满足准动量守恒的选择定则:M-Mk=Ppmn--光子的动量 如图XCH0070001所示 E XCH007_001_0 XCHo0700102 Edge of conducting band Edge of conducting band valence band alence band 0 价带顶部电子的波矢通常在布里渊区边界取值,数量级为布里渊区的范围:2z-105cm1 光子的波矢 2兀102cn 远远小于价带顶部电子的波矢。 在竖直跃迁过程中,可以忽略光子的动量,光吸收的跃迁选择定则近似表示为:Mk'≈h 在跃迁的过程中,波矢可以看作是不变的,在能带的图示上,初态和末态几乎在一条竖直线上, 如图XCH0700101所示。价带顶和导带底处于k空间同一点,这样的跃迁称为竖直跃迁,相应的 半导体称为直接带隙半导体 2)非竖直跃迁一—间接带隙半导体 k空间电子吸收光子从价带顶部跃迁到导带底部状态k,且≠。在这一过程中,因为光子 的动量太小,忽略不计,所以单纯吸收光子不能使电子由价带顶跃迁到导带底。因此电子在吸收光 子的同时伴随着吸收或者发出一个声子,以满足动量守恒关系 该过程的能量守恒为:△E4=h±h2——电子能量差=光子能量±声子能量 REVISED TIME: 0S-5-2 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 本征边附近光的跃迁 1） 竖直跃迁—— 直接带隙半导体 k 空间，电子吸收光子从价带顶部k K 跃迁到导带底部状态k ' K ，且 k k K K ' = ，此过程除了满足能量守恒 以外，还要满足准动量守恒的选择定则： ' photon k k − = p K K K = = —— 光子的动量 如图 XCH007_001_01 所示。 价带顶部电子的波矢通常在布里渊区边界取值，数量级为布里渊区的范围： 2 8 1 ~ 10 cm a π − 光子的波矢： 4 1 ~ 10 2 − cm λ π —— 远远小于价带顶部电子的波矢。 在竖直跃迁过程中，可以忽略光子的动量，光吸收的跃迁选择定则近似表示为： k k K = K = '≈ —— 在跃迁的过程中，波矢可以看作是不变的，在能带的图示上，初态和末态几乎在一条竖直线上， 如图 XCH007_001_01 所示。价带顶和导带底处于 k 空间同一点，这样的跃迁称为竖直跃迁，相应的 半导体称为直接带隙半导体。 2） 非竖直跃迁—— 间接带隙半导体 k 空间，电子吸收光子从价带顶部k K 跃迁到导带底部状态k ' K ，且 k k K K ' ≠ 。在这一过程中，因为光子 的动量太小，忽略不计，所以单纯吸收光子不能使电子由价带顶跃迁到导带底。因此电子在吸收光 子的同时伴随着吸收或者发出一个声子，以满足动量守恒关系。 该过程的能量守恒为： ∆Ek = =ω ± =Ω —— 电子能量差＝光子能量 ± 声子能量 REVISED TIME: 05-5-23 - 2 - CREATED BY XCH

雪体物理学黄尾第七章半辱体电予论20050406 如图XCH00700102所示。 声子的能量M~k2),约为~10-e 光子的能量约为2e~3e-—可见光能量范围 在非竖直跃迁过程中可以忽略不计声子的能量。 因此电子跃迁的能量AEk=hO 准动量守恒的选择定则:M-M=wm,而声子的准动量 声子的准动量和能带中电子的准动量数量相仿,不计光子的动量 因此M-林=±标 在非竖直跃迁过程中,光子提供电子跃迁所需的能量,声子提供跃迁所需的动量。 非竖直跃迁是一个二级过程,发生几率比起竖直跃迁小得多,这类半导体称为间接带隙半导体。 直接带隙半导体:GaAs, InSb XCH0070010 E 间接带隙半导体:Ge,Si conducting band 零带隙半导体:α-Sn-—带隙宽度为零 Edge of alence band 半导体带隙宽度和类别可以通过本征光吸收进行测定,还可 以用电导率随温度的变化来测定 电子一空穴对复合发光 kc 电子一空穴对复合发光是本征光吸收的逆过程,即导带底部的电子跃迁到价带顶部的空能级,发出 能量约为带隙宽度的光子。如图XCH00700103所示的跃迁过程。 2.带边有效质量 半导体基本参数之一一一导带底附近电子的有效质量和价带顶附近的空穴有效质量。 将电子的能量E(k)在布里渊区附近按极值波矢k作泰勒级数展开 REVISED TIME: 0S-5-2 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 如图 XCH007_001_02 所示。 声子的能量=Ω ~ kBΘT ，约为 eV 2 ~ 10− 光子的能量约为2 ~ eV 3 eV —— 可见光能量范围 —— 在非竖直跃迁过程中可以忽略不计声子的能量。 因此电子跃迁的能量 ∆Ek = =ω 准动量守恒的选择定则： ' photon k k − = p ± K K K K = = =q ， q K = 声子的准动量 声子的准动量和能带中电子的准动量数量相仿，不计光子的动量 因此 k k q K = K = K = '− = ± —— 在非竖直跃迁过程中，光子提供电子跃迁所需的能量，声子提供跃迁所需的动量。 —— 非竖直跃迁是一个二级过程，发生几率比起竖直跃迁小得多，这类半导体称为间接带隙半导体。 直接带隙半导体：GaAs, InSb 间接带隙半导体：Ge, Si 零带隙半导体：α－Sn —— 带隙宽度为零 半导体带隙宽度和类别可以通过本征光吸收进行测定，还可 以用电导率随温度的变化来测定。 电子－空穴对复合发光 电子－空穴对复合发光是本征光吸收的逆过程，即导带底部的电子跃迁到价带顶部的空能级，发出 能量约为带隙宽度的光子。如图 XCH007_001_03 所示的跃迁过程。 2. 带边有效质量 半导体基本参数之一——导带底附近电子的有效质量和价带顶附近的空穴有效质量。 将电子的能量 E(k ) 在布里渊区附近按极值波矢 k K 0 K 作泰勒级数展开： REVISED TIME: 05-5-23 - 3 - CREATED BY XCH

雪体物理学黄尾第七章半辱体电予论20050406 E(k)=E()+VE(-k)+2∑vE(k儿(一k) 在极值k处,能量具有极值,[VAE(k)=0 E(k)≈E(kn)+ )(-k,),8E(k,-A,)+( aE a-E ),(k2-k2)] 0 00 由有效质量的定义:0m0|= a2e 方2/ 00m a2E 0 0h2/ k a2e O'E E E(k)=E(6)+2m2(k-kn)+2m(,-y)+2m1(-kn) 有效质量的计算——k·p微扰法 晶体中电子的波函数可以写成布洛林波:vn=eun(F) 电子的布洛林波满足:[P+(F)lun(F)=En(k)eun(F) 2m 动量算符:p=-iV 将动量算符作用于布洛赫函数:P=e(D+Mn(F) pyk=e(p+2hkp+hk)u(r) 将p2vm=e*(p2+2M·p+h2k2)un(代入薛定方程 h- 12 P+vOlym=e (F)+)un4(F) 2m 2m REVISED TIME: 0S-5-2 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 0 0 3 2 2 0 0 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) 2 i i k k k k i E k E k E k k k E k k k = ≈ + ∇ K K − + ∑ ∇ − K K K K K K K K i 0i 在极值 0 k K 处，能量具有极值，[ ( )] 0 0 ∇ = k k E k K K 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 2 1 ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 x y z k x x k y y k z z x y z E E E E k E k k k k k k k k k k ∂ ∂ ∂ ≈ + − + − + − ∂ ∂ ∂ K K 2 0 由有效质量的定义： ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * * * 0 0 / 0 / 0 / 0 0 0 0 0 0 0 0 z y x z y x k E k E k E m m m = = = x y z k z k z y k y x x k E m k E m k E m 0 0 0 ( / ) , ( / ) , ( / ) 2 2 * 2 2 2 * 2 2 2 * 2 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = = 2 * 0 2 2 * 0 2 2 * 0 2 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) z z z y y y x x x k k m k k m k k m E k = E k + − + − + − K K = = = 有效质量的计算 —— k p K K ⋅ 微扰法 晶体中电子的波函数可以写成布洛赫波： e u (r) nk ik r nk K K K ⋅ ψ = 电子的布洛赫波满足： ( )] ( ) ( ) ( ) 2 [ 2 V r e u r E k e u r m p nk ik r nk n ik r K K K K K K K K K ⋅ ⋅ + = 动量算符： p = −i ∇ K = 将动量算符作用于布洛赫函数： ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 p e p k p k u r p e p k u r nk ik r nk nk ik r nk K K = K K = K K K K = K K K K K K = + ⋅ + = + ⋅ ⋅ ψ ψ 将 ( 2 ) ( ) 2 2 2 2 p e p k p k u r nk ik r nk K K = K K = K K K K = + ⋅ + ⋅ ψ 代入薛定谔方程： ( ) ) ( ) 2 2 ( )] ( 2 [ 2 2 2 2 u r m k p V r m k m p V r e m p nk ik r nk K K K K = K = K K K K K ⋅ + = + + + ⋅ ψ REVISED TIME: 05-5-23 - 4 - CREATED BY XCH

雪体物理学黄尾第七章半辱体电予论20050406 hk (+-+V(P)+ ()=E,(k )e un(r) h2k2 整理得到:(2m+()+m)a()=1E(k)-2m()一方程的解为品格周期性函数 求解方程( h·p +(r) un(F)=IE(、h2k2 unk(F),同时利用周期性函数解的条件,即 2m 可以得到电子的全部能量En(k)。 k·p微扰法的中心思想:如果已知k处的解,利用微扰法则可以得到k的解,即原则上布里渊区其 它任一点的解l可以用un来表示。 讨论布里渊区中心k=0的情况 已知晶体中电子在k0=0的所有状态:vn0=ekun(F)=ln(F)和En(0) 满足的方程:(2m +V(ruo()=En(O)uno(r) 用微扰法求k=0附近的En(k) 周期性场()中电子的哈密顿函数:B=、h2 V2+(F) 2 ko=0, Hou,(0, P)=E(O)u(0, r) 将v0=n(F)看作是零级波函数,从P作为微扰项,假设能带是非简井情况 能量一级修正:AE"(k)=(n021m0),AEP(k)=.(0m0)--m0).为n(F)缩写 AE①)=,(m0m0)为k的一次项, 而E(k)=E(k)+,(k-k)2+,(k,-k)2+,(k2-k:)2 REVISED TIME: 0S-5-2 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 ( ) ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( 2 2 2 u r E k e u r m k p V r m k m p e nk ik r nk n ik r K K K K K K = K = K K K K K ⋅ ⋅ = ⋅ + + + 整理得到： ] ( ) 2 ( ) ) ( ) [ ( ) 2 ( 2 2 2 u r m k u r E k m k p V r m p nk n nk K K K K = K K K = K = − ⋅ + + ——方程的解为晶格周期性函数 求解方程 ] ( ) 2 ( ) ) ( ) [ ( ) 2 ( 2 2 2 u r m k u r E k m k p V r m p nk n nk K K K K = K K K = K = − ⋅ + + ，同时利用周期性函数解的条件，即 可以得到电子的全部能量 E (k ) n K 。 k p K K ⋅ 微扰法的中心思想：如果已知 0 k K 处的解，利用微扰法则可以得到k K 的解，即原则上布里渊区其 它任一点的解unk K 可以用 来表示。 0 nk u K 讨论布里渊区中心 k0 = 0 K 的情况 已知晶体中电子在 k0 = 0 K 的所有状态： ( ) ( ) 0 0 e u r u r nk n ik r n K K K K = = ⋅ ψ 和 (0) En 满足的方程： ( ) ( ) (0) ( ) 2 ( 0 0 2 V r u r E u r m p n n n K K K K + = 用微扰法求 k0 = 0 K 附近的 E (k ) n K 周期性场V (r) K 中电子的哈密顿函数： ( ) 2 ˆ 2 2 0 V r m H = K = − ∇ + (0, ) (0) (0, ) ˆ 0, 0 0 k H u r E u r n n n K K K = = 将 ( ) 0 0 u r n n K ψ = 看作是零级波函数， m k p K K = ⋅ 作为微扰项，假设能带是非简并情况。 能量一级修正： ( ) 0 0 (1) 1 n m k p E k n K K K = ⋅ ∆ = ， ( ) 0 0 (1) 1 n p n m k E k K K K = ∆ = ⋅ —— n0 为 ( ) 0 u r n K 缩写。 ( ) 0 0 (1) 1 n p n m k E k K K K = ∆ = ⋅ 为 k K 的一次项， 而 2 * 0 2 2 * 0 2 2 * 0 2 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) z z z y y y x x x k k m k k m k k m E k = E k + − + − + − K K = = = REVISED TIME: 05-5-23 - 5 - CREATED BY XCH