第六章空间力系和重心 教学目标 1能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩, 2了解空间力系向一点简化的方法和结果。 3能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题 4能正确地画出各种常见空间约束的约束力。 5对重心应有清晰的概念,能熟练地应用组合法求物体的重心。 本章重点 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩 2空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。 3各种常见空间约束的约束力。 4重心的坐标公式 本章难点 空间矢量的运算,空间结构的几何关系和立体图 教学过程(下页)
第六章 空间力系和重心 教学目标 1 能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 2 了解空间力系向一点简化的方法和结果。 3 能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。 4 能正确地画出各种常见空间约束的约束力。 5 对重心应有清晰的概念，能熟练地应用组合法求物体的重心。 本章重点 1 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 2 空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。 3 各种常见空间约束的约束力。 4 重心的坐标公式。 本章难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系和立体图。 教学过程（下页）
、空间力系的简化 1.空间力系向一点简化 刚体上作用空间力系(F1,F2,…Fn),将力系中各力向任选的简化中心O简化。 M F2 F2 主矢:F=∑F=∑F,与O点选择无关。(61) 主矩:M=∑M=∑M(F)=∑xF),与0点的选择有关。(62) 主矢F和主矩M0的解析表达式 F=√∑Fn)2+①F)2+C∑F)2 (6-3) F coS(F, y) ∑Fn,cosF,)=F ∑F M6=√∑M(F)2+C∑M,(F)2+C∑M(F)2(64) M(F) cos(Mo, x) cos(Mo, y) ∑M,(F) cos(M0,=)= ∑M:(F) M 结论:空间力系向任一点简化,一般可得到一力和一力偶,该力通过简化中心,其 大小和方向等于力系的主矢,该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。 2.空间力系简化的最后结果 (1)空间力系平衡 F=0,M0=0,此空间力系为平衡力系 (2)空间力系简化为一合力偶 F=0,M0≠0,此空间力系简化为一合力偶,合力偶矩矢等于力系主矩M0与简 化中心的位置无关
一、空间力系的简化 1．空间力系向一点简化 刚体上作用空间力系 ( , , ) F1 F2 Fn ，将力系中各力向任选的简化中心 O 简化。 x y z A2 F1 F2 Fn O A1 An x y z F1 F2 Fn M1 M 2 M n O x y z O F MO 主矢： F = Fi = FC ，与 O 点选择无关。 （6-1） 主矩： = = ( ) =( ) 0 i 0 i i Fi M M M F r ，与 O 点的选择有关。 （6-2） 主矢 F 和主矩 M0 的解析表达式 2 2 2 = ( ) + ( ) + ( ) F Fix Fiy Fiz （6-3） F F F x ix cos( , ) = ， F F F y iy cos( , ) = ， F F F z iz cos( , ) = 2 2 2 0 ( ( )) ( ( )) ( ( )) M M x Fi M y Fi M z Fi = + + （6-4） 0 0 ( ) cos( , ) M M F M x x i = ， 0 0 ( ) cos( , ) M M F M y y i = ， 0 0 ( ) cos( , ) M M F M z z i = 结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其 大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。 2．空间力系简化的最后结果 （1）空间力系平衡 F = 0 ， M0 = 0 ，此空间力系为平衡力系。 （2）空间力系简化为一合力偶 F = 0 ，M0 0 ，此空间力系简化为一合力偶，合力偶矩矢等于力系主矩 M0 与简 化中心的位置无关
(3)空间力系简化为一合力 a.F≠0,M0=0,此空间力系简化为过O点的一合力,合力的大小和方向与主 矢相同。 b.F≠0,M。≠0,F.M0=0,这时,F与M0共面,可看作一平面力系,由 平面力系简化理论知,此时空间力系简化为一合力。 此合力F'的作用线过O点,大小和方向决定于主矢,其作用线到O点的距离 d=Mo/F (6-5) 合力矩定理: 由图62知 F Mo(F)=OO'XF=Mo=2Mo(Fc) 将上式向通过点O的任一轴z投影,有 M2(F)=∑M(FC) (6-7) 若空间力系可以合成为一合力,则合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩 的矢量和;或合力对任一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和 (4)空间力系简化为力螺旋(由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系) MoMmA A O A F≠0,M0≠0,F·.M0≠0
（3）空间力系简化为一合力 a． F 0 ，M0 = 0 ，此空间力系简化为过 O 点的一合力，合力的大小和方向与主 矢相同。 b．F 0 ， M0 0 ，F M0 = 0 ，这时， F 与 M0 共面，可看作一平面力系，由 平面力系简化理论知，此时空间力系简化为一合力。 此合力 F 的作用线过 O 点，大小和方向决定于主矢，其作用线到 O 点的距离 d = M0 F （6-5） 合力矩定理： 由图 6-2 知 MO F O F F O F O O O F ( ) = = = ( ) M0 F OO F M0 M0 FC （6-6） 将上式向通过 点 O 的任一轴 z 投影，有 ( ) = ( ) M z F M z FC （6-7） 若空间力系可以合成为一合力，则合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩 的矢量和；或合力对任一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和。 （4）空间力系简化为力螺旋（由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系） F MO MO ∥ MO⊥ O F MO ∥ F F O A MO ∥ F O A F 0 ， M0 0 ， F M0 0
小结:空间力系可简化为四种情况,可用主矢F与主矩M0的点积是否为零分为两 大类,即 Mn=0力系平衡 F (1)F·Ma=0 M0≠0力系简化为一合力偶 F≠0力系简化为一合力 (2)F·M。≠0力系简化为力螺旋 、空间力系的平衡方程及其应用 从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任 点的主矩为零,即 F=0,M=0 (6-8) 其解析式为 ∑F=0∑F=0∑F=0 (6-9) ∑M2(F)=0∑M,(F)=0∑M(F)=0 空间力系平衡的必要与充分的解析条件是:力系中各力在直角坐标系每一坐标轴上 投影的代数和为零,对每一坐标轴之矩的代数和为零 特例:空间平行力系的平衡方程 令z轴与力系各力的作用线平行,有 ∑F=0,∑M(F)=0,∑M(F)=0(6-10) 例1.镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力F径向力F,和轴向力F的作用,如 图6-5所示。各力的大小 F2=5KN,F,=1.5kN,F2=0.75,刀尖B的 坐标x=200mm,y=75mm,z=0。试求镗刀杆根部约束力
小结：空间力系可简化为四种情况，可用主矢 F 与主矩 M0 的点积是否为零分为两 大类，即 （1） = = = 力系简化为一合力 力系简化为一合力偶 力系平衡 0 0 0 0 0 0 0 0 F M M F F M （2） F M0 0 力系简化为力螺旋。 二、空间力系的平衡方程及其应用 从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任 一点的主矩为零，即： F = 0 ， M0 = 0 （6-8） 其解析式为： = = = = = = ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 0 , 0 , 0 x i y i z i i x i y i z M F M F M F F F F （6-9） 空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系每一坐标轴上 投影的代数和为零，对每一坐标轴之矩的代数和为零。 特例：空间平行力系的平衡方程 令 z 轴与力系各力的作用线平行，有 Fiz = 0 ， M x (Fi ) = 0 ， M y (Fi ) = 0 （6-10） 例 1．镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力 F z 径向力 Fy 和轴向力 Fx 的作用，如 图 6-5 所示。各力的大小 F z = 5kN ，Fy = 1.5kN ，Fx = 0.75 ，刀尖 B 的 坐标 x = 200mm， y = 75mm ， z = 0 。试求镗刀杆根部约束力
FoIM 解:1取研究对象:镗刀杆 2.分析受力:镗刀杆根部是固定端约束,由于镗刀杆受天的主动是空间力系,因此 当镗刀杆平衡时,固定端的约束力也是一个空间力系,将此力系向点O简化,得到 约束力一约束力偶。约束力用直角坐标轴的三个分量Fox、Foy、Fo2表示,约束 力偶用三个正交分力偶矩Mx、M,、M表示,如图6-5所示。 3.列平衡方程求解: 2F=0:For-F=0,Fo=0.75kN ∑Fn=0:F-F=0,F=1.5kN ∑F=0:F-F1=0,F=5N ∑M1=0:M2-075F2=0M2=0.375kNm M+0.2F=0 M=-IkN m ∑M=0:M1+0075F-02F=0M.=0.244kN.m 例2.图6-6所示传动系统,A是止推轴承,B是向心轴承,在把手端部施加一力 F=200N,方向如图所示,试求系统平衡时所需重物的重量P以及A、B轴承的 约束力。图中长度单位为mm
75 Fx Fy Fz z x O y B 75 Fx Fy Fz z x y O FOx FOy FOz M x M y M z B 解：1 取研究对象：镗刀杆。 2．分析受力：镗刀杆根部是固定端约束，由于镗刀杆受天的主动是空间力系，因此 当镗刀杆平衡时，固定端的约束力也是一个空间力系，将此力系向点 O 简化，得到 一约束力一约束力偶。约束力用直角坐标轴的三个分量 FOx 、FOy 、 FOz 表示，约束 力偶用三个正交分力偶矩 M x 、 M y 、 M z 表示，如图 6-5 所示。 3．列平衡方程求解： Fix = 0： FOx − Fx = 0， FOx = 0.75kN Fiy = 0： FOy − Fy = 0 ， FOy = 1.5kN Fiz = 0： FOz − Fz = 0 ， FOz = 5kN Mx = 0： M x − 0.075Fz = 0 M x = 0.375kNm M y = 0： M y + 0.2Fz = 0 M y = −1kN m Mz = 0： M z + 0.075Fx − 0.2Fy = 0 M z = 0.244kNm 例 2．图 6-6 所示传动系统，A 是止推轴承，B 是向心轴承，在把手端部施加一力 F = 200N ，方向如图所示，试求系统平衡时所需重物的重量 P 以及 A、B 轴承的 约束力。图中长度单位为 mm