CD段FN3=F4-F3=-5kN(考虑右侧) DE段FN4=F4=20kN (考虑右侧) 由以上计算结果可知,杆件在CD段受压,其它各段均受拉。最大轴力Fanx在BC段, 其轴力图如图2.12c所示。 00-300}500 10 kN 图2.12轴力图 2.2.3轴向拉伸或压缩时横截面上的正应力 1、应力分析:取一等截面直杆试验,结论: 横截面上各点只有正应力且均匀分布(图2.13b),故横截面上各点的正应力可以直接表 示为 图2.13 F 公式:O F O (2-2) 例2—3一钢制阶梯杆如图2.14a所示。各段杆的横截面面积分别为AB段A=1500m BC段A2=500mm2,CD段A=900m2,试画出轴力图,并求出此杆横截面上的最大正应力
CD 段 FN3 = F4 − F3 = −5kN (考虑右侧) DE 段 FN4 = F4 = 20kN (考虑右侧) 由以上计算结果可知，杆件在 CD 段受压，其它各段均受拉。最大轴力 FNmax 在 BC 段， 其轴力图如图 2.12c 所示。 图 2.12 轴力图 2.2.3 轴向拉伸或压缩时横截面上的正应力 1、应力分析：取一等截面直杆试验，结论： 横截面上各点只有正应力且均匀分布(图 2.13b)，故横截面上各点的正应力可以直接表 示为 图 2.13 公式： A F A FN = 或 = （2—2） 例 2—3 一钢制阶梯杆如图 2.14a 所示。各段杆的横截面面积分别为 AB 段 A1=1500mm2， BC 段 A2=500mm2 ，CD 段 A3=900mm2，试画出轴力图，并求出此杆横截面上的最大正应力
F1=120kN,F2=220kNF=260kN F4=160kN 0.751 图2.14 解:(1)求各段轴力 根据式(2-1),得 F1=F1=120kN FN2=F1-F2=120-220=-100kN FMa=F=160kN (2)作轴力图 由各横截面上的轴力数值,作轴力图(图2.14b)。 3)求横截面上的最大正应力 根据式(2-2),得 120×10 AB段 =80×107Pa=80MPa A11500×10 100×10 BC段 -2.0×108Pa=-200MPa A2500×10-6 N3160×103 F 42900×10~6=1.78×10°Pa=178MPa 由计算可知,杆横截面上的最大正应力在BC段内,其值为200MPa。由此可见轴力最大处并 非一定是应力最大截面。 2.24轴向拉伸或压缩时的变形胡克定律 轴向拉伸或压缩时,杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长或缩短,即纵向变形。由试验 可知,当杆沿轴向伸长(或缩短)时,其横向尺寸也会相应缩小(或增大),即产生垂直于轴线 方向的横向变形 1.纵向变形
图 2.14 解：(1)求各段轴力 根据式(2—1)，得 FN1 = F1 =120kN FN 2 = F1 − F2 =120 − 220 = −100kN FN3 = F4 =160kN (2)作轴力图 由各横截面上的轴力数值，作轴力图(图 2.14b)。 (3)求横截面上的最大正应力 根据式(2—2)，得 AB 段 Pa MPa A FN 8 0 10 80 1500 10 120 10 7 6 3 1 1 1 = = = = − . BC 段 Pa MPa A FN 2 0 10 200 500 10 100 10 8 6 3 2 2 2 = − = − = = − − . CD 段 Pa MPa A FN 1 78 10 178 900 10 160 10 8 6 3 3 3 3 = = = = − . 由计算可知，杆横截面上的最大正应力在 BC 段内，其值为 200MPa。由此可见轴力最大处并 非一定是应力最大截面。 2．2.4 轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定律 轴向拉伸或压缩时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长或缩短，即纵向变形。由试验 可知，当杆沿轴向伸长(或缩短)时，其横向尺寸也会相应缩小(或增大)，即产生垂直于轴线 方向的横向变形。 1. 纵向变形
设一等截面直杆原长为1,横截面面积为A。在轴向拉力F的作用下,长度由1变为1 (图2.15a)。杆件沿轴线方向的伸长量为 4-7 图2.15 拉伸时M为正,压缩时M为负 杆件的伸长量与杆的原长有关,为了消除杆件原长的影响,将M除以l,即以单位长 度的伸长量表征杆件变形的程度,称为纵向线应变,用ε表示 △l (2-4) E是一个无量纲的量,其正负号与的正负号一致。 2胡克定律 试验证明:若杆横截面上的正应力不超过某一限度时,则杆件的伸长量M与轴力F3 杆原长度l成正比,与横截面面积A成反比。即 M∝ 引入比例常数E,则上式可写为 Fl EA 上式称为胡克定律 将式(2-2)和(2-4)代入上式,可得 σ=E·E 这是胡克定律的另一形式。可表述为:若应力不超过某一限度,则横截面上的正应力与纵 向线应变成正比。式中E为材料的弹性模量,其单位与应力相同,常用单位为GPa。材料的 弹性模量由试验测定。 弹性模量表示杆在受拉(压)时抵抗弹性变形的能力。由式(2-5)可看出,EA越大,杆件 的变形M就越小,故称EA为杆件的抗拉(压)刚度。 3.横向变形 在轴向外力作用下,杆件沿轴向伸长(缩短)的同时,横向尺寸也将缩小(增大)。设横向 尺寸由b变为b(图7.15b),则横向线应变为
设一等截面直杆原长为 l，横截面面积为 A。在轴向拉力 F 的作用下，长度由 l 变为 l 1(图 2.15a)。杆件沿轴线方向的伸长量为 l = l −l 1 （2—3） 图 2.15 拉伸时 l 为正，压缩时 l 为负。 杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件原长的影响，将 l 除以 l ，即以单位长 度的伸长量表征杆件变形的程度，称为纵向线应变，用ε表示 l l = （2—4） ε是一个无量纲的量，其正负号与 l 的正负号一致。 2.胡克定律 试验证明：若杆横截面上的正应力不超过某一限度时，则杆件的伸长量 l 与轴力 FN、 杆原长度 l 成正比，与横截面面积 A 成反比。即 A F l l N 引入比例常数 E，则上式可写为 EA F l l N = （2—5） 上式称为胡克定律。 将式(2—2)和(2—4)代入上式，可得 = E （2—6） 这是胡克定律的另一形式。可表述为：若应力不超过某一限度，则横截面上的正应力与纵 向线应变成正比。式中 E 为材料的弹性模量，其单位与应力相同，常用单位为 GPa。材料的 弹性模量由试验测定。 弹性模量表示杆在受拉(压)时抵抗弹性变形的能力。由式(2—5)可看出，EA 越大，杆件 的变形 l 就越小，故称 EA 为杆件的抗拉(压)刚度。 3. 横向变形 在轴向外力作用下，杆件沿轴向伸长(缩短)的同时，横向尺寸也将缩小(增大)。设横向 尺寸由 b 变为 b1 (图 7.15b)，则横向线应变为
△bb1-b 2-7 b 也为一个无量纲的量 拉伸时,纵向伸长E>0:横向变细,E'<0 压缩时,纵向缩短ε<0:横向增粗,ε′>0。 4泊松比 试验表明,对于同一种材料,当应力不超过比例极限时,横向线应变与纵向线应变之 比的绝对值为常数。比值U称为泊松比,亦称横向变形系数。即 (2-8a) 由于这两个应变的正负号恒相反,故有 (2-8b) 泊松比υ是材料的另一个弹性常数,为一个无量纲的量,由试验测得。工程上常用材 料的泊松比见表2.1。 例2—4图2.16a为一阶梯形钢轴,已知材料的弹性模量E=200GPa,AC段的横截面 面积为AAB=ABC=500mm2,CD段的横截面面积为AcD=250mm2,杆的各段长度及受力情况 如图所示。试求: (1)杆横截面上的轴力和正应力 (2)杆的总变形 解:(1)求各段杆横截面上的轴力 FM1=F1-F2=30-10=10kN BC段与CD段FN2=F2=-10kN (2)画轴力图(图2.16b) (3)计算各段正应力 OA÷ 20×10 AAB500×0=4.0×107Pa=40MPa BC段OBC-A 10×10 =-2.0×10Pa=-20MPa 500×10 10×10 CD段σcDA250×1065-4.0×107Pa=-40MPa (4)杆的总变形 杆总变形MA等于各段杆变形的代数和,即
b b b b b − = = 1 (2-7) 也为一个无量纲的量。 拉伸时，纵向伸长 ＞0；横向变细， ＜0。 压缩时，纵向缩短 ＜0；横向增粗， ＞0。 4.泊松比 试验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之 比的绝对值为常数。比值υ称为泊松比，亦称横向变形系数。即 = （2－8a） 由于这两个应变的正负号恒相反，故有 = − （2－8b） 泊松比υ是材料的另一个弹性常数，为一个无量纲的量，由试验测得。工程上常用材 料的泊松比见表 2.1。 例 2—4 图 2.16a 为一阶梯形钢轴，已知材料的弹性模量 E=200GPa，AC 段的横截面 面积为 AAB=ABC=500mm2，CD 段的横截面面积为 ACD=250mm2，杆的各段长度及受力情况 如图所示。试求： (1)杆横截面上的轴力和正应力； (2)杆的总变形。 解：(1)求各段杆横截面上的轴力 AB 段 FN1 = F1 − F2 = 30 −10 =10kN BC 段与 CD 段 FN 2 = F2 = −10kN (2)画轴力图(图 2.16b) (3)计算各段正应力 AB 段 Pa MPa A F AB N AB 4 0 10 40 500 10 20 10 7 6 3 1 = = = = − . BC 段 Pa MPa A F BC N BC 2 0 10 20 500 10 10 10 7 6 3 2 = − = − = = − − . CD 段 Pa MPa A F CD N CD 4 0 10 40 250 10 10 10 7 6 3 3 = − = − = = − − . (4)杆的总变形 杆总变形 AD l 等于各段杆变形的代数和，即
al. =a. +a+A-FNLaB FN2 BC+ FN2cD 1B EA 将有关数据代人,即得 20×103×0.1010×103×0.1010×103×0.10 200×10 500×10 500×10-6 250×10 -0.01×10-3m=-0.01mm 负值说明整个杆件是缩短的 作业pll4习题1.2.5
CD N CD BC N BC AB N AB AD AB BC CD EA F l EA F l EA F l l l l l 1 2 2 = + + = + + 将有关数据代人，即得 m m m l A D 0 01 10 0 01 250 10 10 10 0 10 500 10 10 10 0 10 500 10 20 10 0 10 200 10 1 3 6 3 6 3 6 3 9 . . ) . . . ( = − = − − − = − − − − 负值说明整个杆件是缩短的。 作业 p114 习题 1.2.5