延安大学：《数字信号处理》课程教学讲稿（DigitalSignal Processing，DSP）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第七章有限脉冲响应数字滤波器的设计 ●IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进 行设计的,因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中 只考虑了幅度特性,没有考虑相位特性,所设计的滤波器相位特性一般 是非线性的。 ●在IIR滤波器设计时,如果要得到线性相位特性,必须另外增加相位校 正网络,使滤波器设计变得复杂,成本升高。 ●FIR滤波器在保证幅度特性满足要求的同时,很容易做到有严格的线性 相位特性。设FIR滤波器单位脉冲响应h()长度为N,其系统函数H(-) 为 H y (=)=∑h(m) H(二)是二-的(N1)次多项时,它在z平面上有(N1)个零点,原点2=0是(N1) 阶重极点。因此,H(=)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优 FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。FIR滤波器设计 任务是选择有限长度的h(n),使传输函数H(e)满足技术要求。 7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 1、线性相位条件 对于长度为N的h(m),传输函数为 H(e")=∑h(n)em (1.1)

第七章 有限脉冲响应数字滤波器的设计  IIR 数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进 行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中 只考虑了幅度特性，没有考虑相位特性，所设计的滤波器相位特性一般 是非线性的。  在 IIR 滤波器设计时，如果要得到线性相位特性，必须另外增加相位校 正网络，使滤波器设计变得复杂，成本升高。  FIR 滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，很容易做到有严格的线性 相位特性。设 FIR 滤波器单位脉冲响应 h n  长度为 N，其系统函数 H z  为     1 0 N n n H z h n z      H z  是 1 z  的（N-1）次多项时，它在 z 平面上有（N-1）个零点，原点 z=0 是（N-1） 阶重极点。因此， H z  永远稳定。稳定和线性相位特性是 FIR 滤波器突出的优 点。 FIR 滤波器的设计方法和 IIR 滤波器的设计方法有很大不同。FIR 滤波器设计 任务是选择有限长度的 h n  ,使传输函数   j H e  满足技术要求。 7.1 线性相位 FIR 数字滤波器的条件和特点 1、线性相位条件 对于长度为 N 的 h n  ，传输函数为     1 0 N j j n n H e h n e        (1.1)

式中,H2()称为幅度特性,()称为相位特性 H(e-)线性相位是指e()是O的线性函数,即 为常数 如果e()满足 0()=日-m,是起始相位 (1.4) 严格地说,此时θ(o)不具有线性相位,但以上两种情况都满足群时延是一个常 数,即 也称这种情况为线性相位。一般称满足(1.3)式是第一类线性相位;满足(1.4)式 为第二类线性相位 2、线性相位FIR的时域约束条件 (1)第一类线性相位对h(n)的约束条件 第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数 ()=-0r 由式(.1)和(1.2)可得 >h(n)(cos an-jsin on)=H,(o)(cos oT-sinor) 可得 H(o) COS OT=∑h(n)oson H,(o)sinor=>h(n)sinon

    j j   H e H e g      (1.2) 式中， H g  称为幅度特性，   称为相位特性。   j H e  线性相位是指    是  的线性函数，即         , 为常数 (1.3) 如果    满足   0 0        , 是起始相位 (1.4) 严格地说，此时    不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常 数，即 d   d       也称这种情况为线性相位。一般称满足(1.3)式是第一类线性相位；满足(1.4)式 为第二类线性相位。 2、线性相位 FIR 的时域约束条件 （1） 第一类线性相位对 h n  的约束条件 第一类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数        由式(1.1)和(1.2)可得       1 0 N j j n j g n H e h n e H e                  1 0 cos sin cos sin N g n h n n j n H            (1.5) 可得         1 0 1 0 cos cos sin sin N g n N g n H h n n H h n n               (1.6)

将两式相除,可得 ∑h(n) cos an sIn Ot ∑h(n) h(n)cos onsin@=h(n)sin cosor 由三角公式可得 ∑h(n)in[a(n-)]=0 (1.7) N-1 如果取h(m)是实序列且对一偶对称,即 h(n)=h(N-n-l) 此时FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数,即 0(a) (2)第二类线性相位对h(n)的约束条件 第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数为 (o) 同理可得 -+er H(e)=∑(n)em=H2(o)e1=∑h(n)so(m-]=0(1.9) 如果取h()0是实序列且对~-偶对称,即 h(n)=-h(N-n-1)0≤n≤N-1 1.10) 3、线性相位FIR滤波器幅度特性Hx()的特点 将时域约束条件

将两式相除，可得     1 0 1 0 cos cos sin sin N n N n h n n h n n            即     1 1 0 0 cos sin sin cos N N n n h n n h n n           由三角公式可得     1 0 sin 0 N n h n n            (1.7) 如果取 h n  是实序列且对 1 2 N  偶对称，即 h n h N n       1 (1.8) 此时 FIR 数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即   1 2 N       （2） 第二类线性相位对 h n  的约束条件 第二类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数为   2        同理可得           1 1 2 0 0 cos 0 N N j j j n g n n H e h n e H e h n n                                (1.9) 如果取 h n  是实序列且对 1 2 N  偶对称，即 h n h N n n N           1 0 1  (1.10) 3、线性相位 FIR 滤波器幅度特性 H g  的特点 将时域约束条件

h(n)=±h(N-n-1) 代入(1.1)式,即 H(e")=∑h(n)em 并设h(n)为实序列,即可推导出线性相位条件对FIR数字滤波器的幅度特性 H2(a)的约束条件 当N取奇数和偶数对H2(a)的约束不同,因此分以下四种情况讨论 CASE1:h(n)=h(N-n-1),N奇数 将时域约束条件h(n)=h(N-n-1)和(a)=-or代入(11)和(12)式,可得: H(eo)=H(o)e jer=Eh(n)e jon h(n)e-em+(N-n-1)e-je(N -n-l =-,、+∑[h()-m+h(n)em c-{()+∑2)s(m- 其中 2 所以 )=h()+∑2h(n)os[o(m-) 结论: H(ω)关于o=0,丌,2x三点对称,因此,该情况可以实现各种滤波器,即 低通、高通、带通和带阻

h n h N n        1 代入(1.1)式，即     1 0 N j j n n H e h n e        并设 h n  为实序列，即可推导出线性相位条件对 FIR 数字滤波器的幅度特性 H g  的约束条件。 当 N 取奇数和偶数对 H g  的约束不同，因此分以下四种情况讨论： CASE 1： h n h N n       1 ，N=奇数 将时域约束条件 h n h N n       1 和        代入(1.1)和(1.2)式，可得：                         1 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 2 cos N j j j n g n N N j j n j N n n N N j j n j N n n N j n H e H e h n e N h e h n e h N n e N h e h n e h n e e h h n n                                                                                                                其中 1 2 N    所以         1 1 2 0 2 cos N g n H h h n n                      (1.11) 结论： H g  关于     0, ,2 三点对称，因此，该情况可以实现各种滤波器，即 低通、高通、带通和带阻

CASE2:h(n)=h(N-n-1),N偶数 推导情况和前面相似,但由于N=偶数,H(a)中没有单独项,相等的项合 并成一项 H(e)=H2(o)e jor=2h(n)e em=e /e 22h(n)cos[o(n-r)] H2(a)=∑2h()os[o(n-)] (1.12) 其中 N-1 又因为 N-1N1 且N是偶数,所以当=丌时 sn丌n 0 结论: H2(xz)=0,H2(o)关于O=奇对称,关于O=02z偶对称。因此,CASE2 不能实现高通和带阻滤波器 CASE3:h(n)=-h(N-n-1),N=奇数 将时域约束条件h()=-(N--1)和()=-2-r代入(1和(12),并 考虑h =0,可得 H(eo)=H(o)e le)=2h(n)e "jon ∑2h(n)sin[o(n-t) H2(a)=∑2h(n) 其中,和M同上

CASE 2： h n h N n       1 ，N=偶数 推导情况和前面相似，但由于 N=偶数， H g  中没有单独项，相等的项合 并成 2 N 项。           1 0 0 2 cos N M j j j n j g n n H e H e h n e e h n n                              0 2 cos M g n H h n n            (1.12) 其中 1 2 N M         又因为 1 1 2 2 2 N N      且 N 是偶数，所以当   时 cos cos sin 0   2 2 2 N N n n n                                          结论：   0 H g   ，H g  关于   奇对称，关于    0,2 偶对称。因此，CASE 2 不能实现高通和带阻滤波器。 CASE 3: h n h N n        1，N=奇数 将时域约束条件 h n h N n        1 和   2        代入(1.1)和(1.2)，并 考虑 1 0 2 N h         ，可得             1 0 1 2 0 2 sin N j j n j g n j M n H e H e h n e e h n n                                        1 0 2 sin M g n H h n n             其中，  和 M 同上