延安大学：《数字信号处理》课程教学讲稿（DigitalSignal Processing，DSP）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第七章有限脉冲响应数字滤波器的设计 ●IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进 行设计的,因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中 只考虑了幅度特性,没有考虑相位特性,所设计的滤波器相位特性一般 是非线性的。 ●在IIR滤波器设计时,如果要得到线性相位特性,必须另外增加相位校 正网络,使滤波器设计变得复杂,成本升高。 ●FIR滤波器在保证幅度特性满足要求的同时,很容易做到有严格的线性 相位特性。设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为N,其系统函数H(=) 为 H(=)=∑h(n) H(-)是=的(N-1)次多项时,它在z平面上有(N-1)个零点,原点z=0是(N-1) 阶重极点。因此,H(=)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优 FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。FIR滤波器设计 任务是选择有限长度的h(n),使传输函数H(e)满足技术要求。 7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 1、线性相位条件 对于长度为N的h(n),传输函数为 H(e)=∑h(nem

第七章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 ⚫ IIR 数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进 行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中 只考虑了幅度特性，没有考虑相位特性，所设计的滤波器相位特性一般 是非线性的。 ⚫ 在 IIR 滤波器设计时，如果要得到线性相位特性，必须另外增加相位校 正网络，使滤波器设计变得复杂，成本升高。 ⚫ FIR 滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，很容易做到有严格的线性 相位特性。设 FIR 滤波器单位脉冲响应 h n( ) 长度为 N，其系统函数 H z( ) 为 ( ) ( ) 1 0 N n n H z h n z − − = =  H z( ) 是 1 z − 的（N-1）次多项时，它在 z 平面上有（N-1）个零点，原点 z=0 是（N-1） 阶重极点。因此， H z( ) 永远稳定。稳定和线性相位特性是 FIR 滤波器突出的优 点。 FIR 滤波器的设计方法和 IIR 滤波器的设计方法有很大不同。FIR 滤波器设计 任务是选择有限长度的 h n( ) ,使传输函数 ( ) j H e  满足技术要求。 7.1 线性相位 FIR 数字滤波器的条件和特点 1、线性相位条件 对于长度为 N 的 h n( ) ，传输函数为 ( ) ( ) 1 0 N j j n n H e h n e   − − = =  (1.1)

H(e")=H2(o) 式中,H2(a)称为幅度特性,b(o)称为相位特性。 H(e)线性相位是指()是o的线性函数,即 0(c)=-mO,r为常数 (1.3) 如果(a)满足 ()=日-m,是起始相位 (1.4) 严格地说,此时θ(ω)不具有线性相位,但以上两种情况都满足群时延是一个常 数,即 也称这种情况为线性相位。一般称满足(1.3)式是第一类线性相位:满足(1.4)式 为第二类线性相位 2、线性相位FIR的时域约束条件 (1)第一类线性相位对h(n)的约束条件 第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数 0()= 由式(11)和(.2)可得 H(ee)=2h(n)e jon =H,(o)e jier >h(n)(cos on-jsin on)=H(o)(cos oT-sinor) (1.5) 可得 HR(o)cosar=>h(n)cos on H()inor=∑h( n)sinon

( ) ( ) j j ( ) H e H e g    =  (1.2) 式中， H g () 称为幅度特性， ( ) 称为相位特性。 ( ) j H e  线性相位是指  ( ) 是  的线性函数，即     ( ) = − , 为常数 (1.3) 如果  ( ) 满足 ( ) 0 0      = − , 是起始相位 (1.4) 严格地说，此时  ( ) 不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常 数，即 d ( ) d     = − 也称这种情况为线性相位。一般称满足(1.3)式是第一类线性相位；满足(1.4)式 为第二类线性相位。 2、线性相位 FIR 的时域约束条件 （1） 第一类线性相位对 h n( ) 的约束条件 第一类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数    ( ) = − 由式(1.1)和(1.2)可得 ( ) ( ) ( ) 1 0 N j j n j g n H e h n e H e     − − − = = =  ( )( ) ( )( ) 1 0 cos sin cos sin N g n h n n j n H      − =  − = − (1.5) 可得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 cos cos sin sin N g n N g n H h n n H h n n       − = − = = =   (1.6)

将两式相除,可得 ∑h(n) cos on ∑h(n) sin on 即 h(n)cos onsin@r=h(n)sin oncos 由三角公式可得 h(n)sino(n-r)]=0 (1.7) 如果取h(n)是实序列且对 N 偶对称,即 h(n)=h(n 此时FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数,即 )= (2)第二类线性相位对h(n)的约束条件 第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数为 to 同理可得 H()2(=,(0)(o(m--0a.9 如果取h(n)是实序列且对二偶对称,即 l)0≤n≤N-1 3、线性相位FR滤波器幅度特性Hx()的特点 将时域约束条件

将两式相除，可得 ( ) ( ) 1 0 1 0 cos cos sin sin N n N n h n n h n n     − = − = =   即 ( ) ( ) 1 1 0 0 cos sin sin cos N N n n h n n h n n     − − = =  = 由三角公式可得 ( ) ( ) 1 0 sin 0 N n h n n   − =   − =    (1.7) 如果取 h n( ) 是实序列且对 1 2 N − 偶对称，即 h n h N n ( ) = − − ( 1) (1.8) 此时 FIR 数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即 ( ) 1 2 N    − = − （2） 第二类线性相位对 h n( ) 的约束条件 第二类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数为 ( ) 2     = − − 同理可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 0 cos 0 N N j j j n g n n H e h n e H e h n n        − −   − +   −   = = = = = − =       (1.9) 如果取 h n( ) 是实序列且对 1 2 N − 偶对称，即 h n h N n n N ( ) = − − −   − ( 1 0 1 ) (1.10) 3、线性相位 FIR 滤波器幅度特性 H g () 的特点 将时域约束条件

h(m)=土小(N-n-1) 代入(1.1)式,即 (e)=∑h(n)e 并设h(n)为实序列,即可推导出线性相位条件对FIR数字滤波器的幅度特性 H2(a)的约束条件。 当N取奇数和偶数对H()的约束不同,因此分以下四种情况讨论 CASE1:h(m)=h(N-n-1),N=奇数 将时域约束条件H(n)=h(N-n-1)和0(o)=-0r代入(1)和(2)式,可得: H h(n) N2)=+0)=+b(- 其中 所以 H(o)=h(r)+2 2h(n)cos[o(n-r)I (1.11) 结论 H(a)关于o=0,x,2z三点对称,因此,该情况可以实现各种滤波器,即 低通、高通、带通和带阻

h n h N n ( ) =  − − ( 1) 代入(1.1)式，即 ( ) ( ) 1 0 N j j n n H e h n e   − − = =  并设 h n( ) 为实序列，即可推导出线性相位条件对 FIR 数字滤波器的幅度特性 H g () 的约束条件。 当 N 取奇数和偶数对 H g () 的约束不同，因此分以下四种情况讨论： CASE 1： h n h N n ( ) = − − ( 1) ，N=奇数 将时域约束条件 h n h N n ( ) = − − ( 1) 和    ( ) = − 代入(1.1)和(1.2)式，可得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 2 cos N j j j n g n N N j j n j N n n N N j j n j N n n N j n H e H e h n e N h e h n e h N n e N h e h n e h n e e h h n n               − − − =   − − −     − − − − − =   − − −     − − − − − =   − −     − = = =   − = + + − −           − = + +             = + −               其中 1 2 N  − = 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 2 cos N g n H h h n n       − −     = = + −      (1.11) 结论： H g () 关于    = 0, ,2 三点对称，因此，该情况可以实现各种滤波器，即 低通、高通、带通和带阻

CASE2:h(n)=h(N-n-1),N=偶数 推导情况和前面相似,但由于N=偶数,H2(o)中没有单独项,相等的项合 并成项。 H(e-)=H2(o)em=∑h(n)lem=em∑2h(n)oso(n-t) H2(a)=∑h(n)os[o(m-) (1.12) 其中 N-1 又因为 N-1 N 且N是偶数,所以当=丌时 cos[o(n-r)]=cosl 2)2-5zn-|1=0 结论 H2(x)=0,H2(o)关于=x奇对称,关于O=0,2z偶对称。因此,CASE2 不能实现高通和带阻滤波器。 CASE3:h(n)=-h(N-n-1),N奇数 将时域约束条件A(m)=(N-n-)和(a)=-7-r代入(1.)和(12),并 考虑 =0,可得 H(eo)=H(o)ee)=Eh(n)e on ∑2h(n)sn[o(n-)] Hg(o)=22h(n)sin[o(n-r)] 其中,τ和M同上

CASE 2： h n h N n ( ) = − − ( 1) ，N=偶数 推导情况和前面相似，但由于 N=偶数， H g () 中没有单独项，相等的项合 并成 2 N 项。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 cos N M j j j n j g n n H e H e h n e e h n n        − − − − = = = = = −       ( ) ( ) ( ) 0 2 cos M g n H h n n    = = −      (1.12) 其中 1 2 N M   − =     又因为 1 1 2 2 2 N N  − = = − 且 N 是偶数，所以当  = 时 cos cos sin 0 ( ) 2 2 2 N N n n n                  − = − + = − − =                 结论： ( ) 0 H g  = ，H g () 关于  = 奇对称，关于   = 0,2 偶对称。因此，CASE 2 不能实现高通和带阻滤波器。 CASE 3: h n h N n ( ) = − − − ( 1)，N=奇数 将时域约束条件 h n h N n ( ) = − − − ( 1) 和 ( ) 2     = − − 代入(1.1)和(1.2)，并 考虑 1 0 2 N h   −   =   ，可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 0 2 sin N j j n j g n j M n H e H e h n e e h n n          − − − =   − + −     = = = = −       ( ) ( ) ( ) 1 0 2 sin M g n H h n n    − = = −      其中，  和 M 同上