延安大学：《数字信号处理》课程教学讲稿（DigitalSignal Processing，DSP）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

结论 因为N为奇数,τ时整数,所以,当O=0,丌,2m时正弦项为零,且关于过零 点奇对称。因此,H2()关于a=0,兀,2z三点奇对称。只适合实现带通滤波器 CASE4:h(m)=-h(N-n-1),N偶数 与CASE3类似 H(a)=∑2h(n)n[o(n-t) (1.13) 结论: N是偶数,r=N-1N 22-5。所以,当O=0,2x时正弦项为零,当O=丌时, sno(n-)=(-1)M,为峰点。因此H1()关于O=0.2奇对称,关于O= 偶对称。 CASE4不能实现低通和带阻滤波器。 表7.1.1线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性一览表 相位响应 N为奇数 H2(o)=∑c(n)sin(no) N-1)兀 e()=-0 2J2 c(n) N N为偶数 h(n) 0

结论： 因为 N 为奇数，  时整数，所以，当     0, ,2 时正弦项为零，且关于过零 点奇对称。因此， H g  关于     0, ,2 三点奇对称。只适合实现带通滤波器。 CASE 4： h n h N n        1，N=偶数 与 CASE 3 类似       0 2 sin M g n H h n n            (1.13) 结论： N 是偶数， 1 1 2 2 2 N N      。所以，当    0,2 时正弦项为零，当   时，     2 sin 1 n N   n         ，为峰点。因此 H g  关于    0,2 奇对称，关于   偶对称。 CASE 4 不能实现低通和带阻滤波器。 表 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器的幅度特性与相位特性一览表

偶对称单位脉冲响应 h(n)=h(N-1-n) 相位响应 N为奇数 h(n) H2(a)=∑a(n) cosmo e() 况 a(n) e() 0 N为偶数 H(0)=∑b(n)c 111 H() (N-1)r AAAA 4、线性相位FIR滤波器零点分布特点 因为对于FIR数字滤波器,有 H(=)=∑h(n)=n 要保持线性相位,必有h(n)=±h(N-n-1),所以有 H()=±=H(=2) (1.14) 由(114)可见 如z=1是H()的零点,其倒数也必然是其零点。 又因为h(n)是实序列,H()的零点必是共轭成对,因此÷和(=)也 是其零点 因此,线性相位FR滤波器零点分布特点是零点必须是互为倒数的共对 确定其中一个,另外三个军点也就磅定。但在以下三种情况例外 零点是实数; 零点是纯虚数且在单位圆上 零点在单位圆上且是实数

4、线性相位 FIR 滤波器零点分布特点 因为对于 FIR 数字滤波器，有     1 0 N n n H z h n z      要保持线性相位，必有 h n h N n        1 ，所以有       N 1 1 H z z H z      (1.14) 由(1.14)可见：  如 i z z  是 H z  的零点，其倒数 1 i z  也必然是其零点。  又因为 h n  是实序列， H z  的零点必是共轭成对，因此 * i z 和   * 1 i z  也 是其零点。 因此，线性相位 FIR 滤波器零点分布特点是零点必须是互为倒数的共轭对， 确定其中一个，另外三个零点也就确定。但在以下三种情况例外：  零点是实数；  零点是纯虚数且在单位圆上；  零点在单位圆上且是实数

Re(:) 图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布

图 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器零点分布

72利用窗函数法设计FIR滤波器 1、窗函数法设计原理 设希望设计的滤波器传输函数为H(e),h(m)是与其对应的单位脉冲响 应,因此 H(e")=∑b(n)em n)-2兀 H,(elo )eldo 如果能够由已知的H()求出h(n),经过Z变换可得到滤波器的系统函数 但一般情况下,通常以理想滤波器作为H(e"),其幅度特性逐段恒定,在 边界频率处有不连续点,因而h(n)是无限时宽的,且是非因果序列 例如:理想低通滤波器的传输函数H(e)为 ≤O 0,O.<≤丌 相应的单位取样响应h(n)为 (ny? arge-jodelemdosin(o (n-a)) (2.2) 可以看出,理想低通滤波器的单位取样响应h(n)是无限长,且是非因果序列

7.2 利用窗函数法设计 FIR 滤波器 1、 窗函数法设计原理 设希望设计的滤波器传输函数为   j H e d  ， h n d   是与其对应的单位脉冲响 应，因此     j j n d d n H e h n e            1 2 j j d d h n H e e d          如果能够由已知的   j H e d  求出 h n d   ，经过 Z 变换可得到滤波器的系统函数。 但一般情况下，通常以理想滤波器作为   j H e d  ，其幅度特性逐段恒定，在 边界频率处有不连续点，因而 h n d   是无限时宽的，且是非因果序列。 例如：理想低通滤波器的传输函数   j H e d  为   , 0, j j c d c e H e                (2.1) 相应的单位取样响应 h n d   为        1 sin 2 c c j j n c d n h n e e d n                  (2.2) 可以看出，理想低通滤波器的单位取样响应 h n d   是无限长，且是非因果序列

h(n) a=(N-1) (b) 0 N-1 A (n)=h, (n)R,(n) 图7.2.1理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器,只有将h(m)截取一段,并保证截取 的一段对 2 对称。设截取的一段用h(n)表示,即 h(n)=ha (n),(n) (2.3) 当 时,h(n)对对称,保证所设计的滤波器具有线性相位。 这就是窗函数设计FIR数字滤波器的基本思想 存在的问题 用一个有限长的序列h(m)去代替h(n),肯定会产生误差,表现在频域上就 是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性,尤其使阻带 衰减减小,从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将h(m)直接截 断引起的,因此,也称为截断效应

图 7.2.1 理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗 为了构造一个长度为 N 的线性相位滤波器，只有将 h n d   截取一段，并保证截取 的一段对 1 2 N  对称。设截取的一段用 h n  表示，即 h n h n R n    d N     (2.3) 当 1 2 N    时， h n  对 1 2 N  对称，保证所设计的滤波器具有线性相位。 ——这就是窗函数设计 FIR 数字滤波器的基本思想。 存在的问题： 用一个有限长的序列 h n  去代替 h n d   ，肯定会产生误差，表现在频域上就 是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带 衰减减小，从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将 h n d   直接截 断引起的，因此，也称为截断效应