《高等传热学》课程教学资源（文献资料）火灾情况下混凝土板温度场的解析解.pdf

第30卷第4期应用力学学报 Vol30 No.4 2013年8月 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Aug.2013 文章编号：100-49392013)04-054-06 火灾情况下混凝土板温度场的解析解唐松花2罗迎社3彭相华4 (1东南大学混凝土及预应力混凝土结构教有部重点实验室210096南京：2中南大学土木工程学院410075长沙 3中南林业科技大学流变力学与材料工程研究所410004长沙：4中南林业科技大学涉外学院410004长沙判摘要，针对火灾情况下火场温度和均件边界的温度均浦时间不断变化的问题，应用杜哈关尔定理分析了边界温度按定规律随时间变化的热传导问题。推导得到了火灾情况下混凝土板湿度场的解析解公式，并应用MATLAB编程计算得到了解析解结果。比较解析解的计算结采和试验结果发现：两者得到的裁面温度场都里非线性分布；两者的变化趋势一致，即近火面的温度梯度很大距受火面越远，温度梯度越小；温度曲线都是凸向坐标轴。因此，推乎得到的解析解公式适合于求解火灾时混疑土城横蔻面的温度场。同时，只要能够求出非齐次项与时间无关时的捕助问题的解，便可应用杜哈美尔定理求解该热传导问题的温度场，因此该方法可推广应用于火灾情况下其它构件温度场解析解的计算】关键词：火灾：混凝土板；温度场；解析解；热传导：杜哈关尔定理中图分类号：0302文献标识码：AD0L:10.11776cjam.30.04.B133 1引言和计算点距受火面距离的函数，因此可按照一维无在对火灾情况下的结构抗火性能进行分析前，限大平板热传导问题进行解析求解。文献4根据一般先进行构件和结构内温度场的分析。维傅立叶导热微分方程，采用拉普拉斯变换求解了火灾情况下，构件截面的温度场随时间变化混凝土楼板沿横截面高度的温度分布函数。文献[5 材料的导热系数、 ,质量密度均不是常数，根据热力学原理研究了火灾时筋混凝士板内的随时间变化，所以截面热传导问题是一个非线性瞬度场分布，采用傅立叶变换法，在适当的简化假无态问题，其控制方程是一个非线性抛物型的偏微分之后，推导出了求解火灾时钢筋混凝土板内温度场方程。求解热传导微分方程的方法有分离变量法、的计算公式。积分变换法的基础是从经典的分离变积分变换法、近似分析法、数值法等。其中：分量法中导出的。也就是说，要导出为求解某给定问离变量法和积分变换法为解析解求解方法，近似分题所需的正变换与逆变换，需借助于将一任意函数析法和数值法为近似解求解方法。近似方法的精度 (其定义域与给定问题的定义域相同)用该给定不易估计，除非将其结果与解析解作对比。因此齐次部分的分离解来表示，该方法在实际应用中 20

基金项目：国家自然科学基金(51178474)；湖南省自然科学基金(11JJ5002)；东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室开放课题基金 (CPCSME2010-06) 收稿日期：2012-12-04 修回日期：2013-04-09 第一作者简介：唐松花，女，1973 年生，博士，中南大学，副教授；研究方向——固体力学、损伤力学。通讯作者：罗迎社，E-mail：lys0258@sina.com 应用力学学报 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS 第 30 卷第 4 期 2013 年 8 月 Vol.30 No.4 Aug. 2013 文章编号：1000- 4939(2013) 04-0544-06 火灾情况下混凝土板温度场的解析解唐松花 1,2 罗迎社 3 彭相华 4 (1 东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室 210096 南京；2 中南大学土木工程学院 410075 长沙； 3 中南林业科技大学流变力学与材料工程研究所 410004 长沙；4 中南林业科技大学涉外学院 410004 长沙) 摘要：针对火灾情况下火场温度和构件边界的温度均随时间不断变化的问题，应用杜哈美尔定理分析了边界温度按一定规律随时间变化的热传导问题。推导得到了火灾情况下混凝土板温度场的解析解公式，并应用 MATLAB 编程计算得到了解析解结果。比较解析解的计算结果和试验结果发现：两者得到的截面温度场都呈非线性分布；两者的变化趋势一致，即近火面的温度梯度很大，距受火面越远，温度梯度越小；温度曲线都是凸向坐标轴。因此，推导得到的解析解公式适合于求解火灾时混凝土板横截面的温度场。同时，只要能够求出非齐次项与时间无关时的辅助问题的解，便可应用杜哈美尔定理求解该热传导问题的温度场，因此该方法可推广应用于火灾情况下其它构件温度场解析解的计算。关键词：火灾；混凝土板；温度场；解析解；热传导；杜哈美尔定理中图分类号：O302 文献标识码：A DOI：10.11776/cjam.30.04.B133 1 引言在对火灾情况下的结构抗火性能进行分析前，一般先进行构件和结构内温度场的分析。火灾情况下，构件截面的温度场随时间变化，材料的导热系数、比热、质量密度均不是常数，也随时间变化，所以截面热传导问题是一个非线性瞬态问题，其控制方程是一个非线性抛物型的偏微分方程。求解热传导微分方程的方法有分离变量法、积分变换法、近似分析法、数值法等[1-3]。其中：分离变量法和积分变换法为解析解求解方法，近似分析法和数值法为近似解求解方法。近似方法的精度不易估计，除非将其结果与解析解作对比。因此，解析解在温度场研究中显得十分重要。混凝土板的火灾温度场可视为火灾燃烧时间和计算点距受火面距离的函数，因此可按照一维无限大平板热传导问题进行解析求解。文献[4]根据一维傅立叶导热微分方程，采用拉普拉斯变换求解了混凝土楼板沿横截面高度的温度分布函数。文献[5] 根据热力学原理研究了火灾时钢筋混凝土板内的温度场分布，采用傅立叶变换法，在适当的简化假定之后，推导出了求解火灾时钢筋混凝土板内温度场的计算公式。积分变换法的基础是从经典的分离变量法中导出的。也就是说，要导出为求解某给定问题所需的正变换与逆变换，需借助于将一任意函数 (其定义域与给定问题的定义域相同)用该给定问题齐次部分的分离解来表示，该方法在实际应用中非

第4别唐松花，等：火火特况下混凝士板温度场的解析解 545 常有效。但是积分变换法要求逆变换过程可直接进式(1)的解T(r,),即所求温度场与辅助问题式(2) 行，即在问题开始处理时，这种逆变换的公式必须的解，)由如下的积分表示式联系起来，即已具备，这是使用积分变换法的限制，灾时火场温度及构件边界的温度也随时 Tt小-1-r 3 不断变化，文献6]中的杜哈美尔定理能够分析边界温度按一定规律随时间变化的热传导问题。本文将 3 应用杜哈美尔定理求解火灾时应用杜哈美尔定理求解火灾情况下混凝土板温度场混凝土板的温度场的解析解。理论计算中常将混凝土板视为无限大平板（以 2杜哈美尔定理下简称大平板)，通常可以理解为该平板的长和宽与厚度相比为无限大。因此无限大平板是个以两可行平面为界限的物体边界条件随时间变化区域内的三维非齐次热温度只在厚度方向发生变化不变，传导问题可表示为在其它两问题维的 (aT(r1 1ar(r1) 如图1所示为大平板，0≤x≤L in R t>0 L=120mm:初始温度分布为20℃：当时间1>0时 32 a dl x=0和x=L处的边界面分别维持f(0和20℃。高+AT=c小， on S.1>0 (1) ∫()为模拟火灾时随时间1变化的空气流体温度 T(r,)=F(r) in R.t=0 即大平板的底面受火。下面求解1>0时平板内温度分布T(x,),即板的温度场。其中：/m为垂直于边界面S,的外法线方向导数 (其中i=12 日h2=e为热这里是区城R连续的 k为导热系数：c为比热：p为密度。将系数k与h假定为常数。若令k=0,则为 Fe限大的黑生板热传导第一类边界条件：若令h=0,则为热传导混凝土板温度场的热传导方程和初始边界条第二类边界条件件为由上式表示的问题不能采用通常的热传导求 (aT(x.1)1 aT(x.1) 解方法（如分离变量法）求解，因为非齐次项∫(，) 0<x<L,1>0 a 是时间的函数。因此用下面定义的较为简单的铺围问题的解来表示上述问题的解，以此来代替对式（山 T(x,)=f0,x=0,1>0 多 T=20.x=L.1>0 的直接求解。令(r,1,)为式(1)中假定非齐次可 T=F(x),0≤x≤L,1=0 ∫(：，)不是时间的函数的情况下的解，即变量x只因此混凝土板的温度场为一维非稳态热传导是一个参量，它不是时间的函数。因此(，1)为较为简单的辅助问题的解，即可表示为如下公式问题。这里考虑到火灾时火场温度上升很快，随若温度的升高，受火边界的温度会越来越接近火场 8(r.t,r)186(r.1.) .in R.1>0 温度，同时为了简化计算，将受火边界设为第一边 a Ct 界条件 8d+h,)=f) (2 分析式(4)发聊，火灾高温环境下板的受火边界 an. 温度是不断变化的，因此可以在同一热传导司题但 on S.1>0 非齐次项与时间无关时的解的基础上，利用杜哈美 (r,r)=F(r) in R.=0 尔定理进行求解由于f心，)与时间无关，式(2)就可以用通常的令(x1,x)为式(4)中假定非齐次项∫(r)不是热传导求解方法进行求解。假定轴助问题式(2)的解时间函数的间题的解，即变量x只是一个参量，它 (,4)已经求得，则应用杜哈美尔定理即可把不是时间的函数。因此，(x)为如下较为简单

第 4 期唐松花，等：火灾情况下混凝土板温度场的解析解 545 常有效。但是积分变换法要求逆变换过程可直接进行，即在问题开始处理时，这种逆变换的公式必须已具备，这是使用积分变换法的限制。火灾时火场温度及构件边界的温度也随时间不断变化，文献[6]中的杜哈美尔定理能够分析边界温度按一定规律随时间变化的热传导问题。本文将应用杜哈美尔定理求解火灾情况下混凝土板温度场的解析解。 2 杜哈美尔定理边界条件随时间变化区域内的三维非齐次热传导问题可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) () 2 2 , , 1 , in , 0 , , on , 0 , , in , 0 i ii i i T rt T rt R t r t T k hT f r t S t n T rt F r R t α ⎧∂ ∂ ⎪ = > ∂ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎨ += > ∂ ⎪ ⎪ = = ⎪ ⎩ (1) 其中： i ∂ ∂n 为垂直于边界面 i S 的外法线方向导数， (其中 i s =1,2, , L ，这里 s 是区域 R 连续边界的数目)；α = k c/ ρ 为热扩散系数；k 为导热系数；c 为比热； ρ 为密度。将系数 i k 与 i h 假定为常数。若令 0 i k = ，则为热传导第一类边界条件；若令 0 i h = ，则为热传导第二类边界条件。由上式表示的问题不能采用通常的热传导求解方法(如分离变量法)求解，因为非齐次项 f (r t, ) 是时间的函数。因此用下面定义的较为简单的辅助问题的解来表示上述问题的解，以此来代替对式(1) 的直接求解。令φ (r t, ,τ ) 为式(1)中假定非齐次项 f (r t, ) 不是时间的函数的情况下的解，即变量τ 只是一个参量，它不是时间的函数。因此φ (r t, ,τ ) 为较为简单的辅助问题的解，即可表示为如下公式 ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () 2 2 ,, ,, 1 , in , 0 , , ,, , on , 0 , , , in , 0 i ii i i rt rt R t r t r t k h rt f r n S t rt F r R t φτ φτ α φ τ φτ τ φ τ ⎧∂ ∂ ⎪ = > ∂ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ + = ⎨ ∂ ⎪ ⎪ > ⎪ ⎪ = = ⎩ (2) 由于 f (r,τ ) 与时间无关，式(2)就可以用通常的热传导求解方法进行求解。假定辅助问题式(2)的解 φ (r t, ,τ ) 已经求得，则应用杜哈美尔定理即可把式(1)的解T rt ( , ) ，即所求温度场与辅助问题式(2) 的解φ (r t, ,τ ) 由如下的积分表示式联系起来，即 ( ) ( ) 0 , , ,d t T rt rt t τ φ ττ τ = ∂ = − ∂ ∫ (3) 3 应用杜哈美尔定理求解火灾时混凝土板的温度场理论计算中常将混凝土板视为无限大平板(以下简称大平板)，通常可以理解为该平板的长和宽与厚度相比为无限大。因此无限大平板是一个以两平行平面为界限的物体，温度只在厚度方向发生变化，在其它两个方向温度不变，因而问题是一维的。如图 1 所示为一大平板， 0≤ ≤x L ， L =120mm；初始温度分布为20℃；当时间t > 0 时， x = 0 和 x = L 处的边界面分别维持 f (t) 和20℃。 f (t) 为模拟火灾时随时间t 变化的空气流体温度，即大平板的底面受火。下面求解t > 0 时平板内温度分布T xt ( , ) ，即板的温度场。图1 底面受火的混凝土板 Fig.1 Slab exposed to fire at the bottom 混凝土板温度场的热传导方程和初始边界条件为 ( ) ( ) ( ) () ( ) 2 2 , , 1 ,0 , 0 , , 0, 0 20 , , 0 ,0 , 0 T xt T xt x L t x t T xt f t x t T x Lt T Fx x Lt α ⎧∂ ∂ ⎪ = << > ∂ ∂ ⎪ ⎪ = => ⎨ ⎪ = => ⎪ ⎪ = = ⎩ ≤ ≤ (4) 因此混凝土板的温度场为一维非稳态热传导问题。这里考虑到火灾时火场温度上升很快，随着温度的升高，受火边界的温度会越来越接近火场的温度，同时为了简化计算，将受火边界设为第一边界条件。分析式(4)发现，火灾高温环境下板的受火边界温度是不断变化的，因此可以在同一热传导问题但非齐次项与时间无关时的解的基础上，利用杜哈美尔定理进行求解。令φ ( x, ,t τ ) 为式(4)中假定非齐次项 f (τ ) 不是时间函数的问题的解，即变量τ 只是一个参量，它不是时间的函数。因此，φ ( x, ,t τ ) 为如下较为简单

546 应用力学学报第 30 卷的辅助问题的解，即 ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () 2 2 ,, ,, 1 ,0 , 0 , , , 0, 0 , , 20, , 0 ,, ,0 , 0 xt xt x Lt x t xt f x t xt x L t xt F x x L t φτ φτ α φτ τ φ τ φ τ ⎧∂ ∂ ⎪ = << > ∂ ∂ ⎪ ⎪ = => ⎨ ⎪ = => ⎪ ⎪ = = ⎩ ≤ ≤ (5) 辅助问题是由于边界条件的非齐次造成的非齐次热传导问题，可将该非齐次问题分解成几个简单的问题，再分别用分离变量法求解。这里辅助问题中的非齐次部分都是与时间无关的。由于问题是一维的，本文将其分解成一个 T x s ( ) 的稳态问题和一个T xt h ( , ) 的齐次问题，对应的公式分别为 ( ) 2 2 d 0,0 d , 0 (6) 20 , s s s T x L x Tf x T xL τ ⎧ ⎪ = << ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎪ ⎩ = = () () () 2 2 1 ,0 , 0 0, 0, , 0 (7) ,0 , 0 h h h h s T T x Lt x t T x x Lt T Fx T x f x x L t α ∗ ⎧∂ ∂ ⎪ = << > ⎪ ∂ ∂ ⎨ ===> ⎪ ⎪ = − ≡ << = ⎩ 则式(5)的解可由下式求得 φ ( x,, , ,, t T x T xt ττ τ ) = + s h ( ) ( ) (8) 式(6)的解为 ( ) () () , 20 s x Tx f f L ττ τ = +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ (9) 对于各种可能的齐次边界条件，大平板中一维非稳态热传导问题的解可统一表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 * 0 1 ,, e , , d mt m m m L m x t Xx N f xX x x αβ θ β β β ∞ − = = ⋅ ′ ′′ ∑ ∫ (10) 则式(7)的解可根据式(10)直接得到，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 * 0 1 ,, e , , d mt h m m m L m T xt X x N f xX x x αβ τ β β β ∞ − = = ⋅ ′ ′′ ∑ ∫ (11) 其中特征函数 ( ) , X x β m 、范数 N ( ) β m 、特征值 β m 可由文献[6]中的附表 1 得到，即 ( ) , sin Xx x β m m = β ， ( ) 1 2 N L β m = (12) 式(5)的解φ ( ) x, ,t τ 可由式(9)和式(11)代入式(8)并经过积分整理后获得，即 ( ) () ( ) 2 2 2 1 1 0 1 2 1 , , 1 e sin( ) 2 1 20 e sin( ) cos π 2 e sin( ) sin( )d m m m t m m m t m m m L t m m m x xt f x L L x x m L L x Fx x x L αβ αβ αβ φτ τ β β β β β β ∞ − = ∞ − = ∞ − = ⎡ ⎤ = ⎢ −− ⋅ +⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ + ⋅ +⎥ ⎣ ⎦ ′ ′′ ∑ ∑ ∑ ∫ (13) 式中 ( ) π , cos π 1 m m m m L β = = − 由此可得 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 1 2 sin ,, 1 e 2 1 20 e sin 2 e sin sin d m m m t m m m m t m m m L t m m m x x xt f L L x x L L x Fx x x L αβ τ αβ τ αβ τ β φ ττ τ β β β β β ∞ − − = ∞ − − = ∞ − − = ⎡ ⎤ − = −− + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ ′ ′′ ∑ ∑ ∑ ∫ (14) 应用杜哈美尔定理，式(4)的解与式(5)的解可由如下的积分表示式联系起来，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 1 0 1 2 0 1 0 , , ,d 2 sin e d 2 1 sin 20 e d 2 sin sin d e d (15) m m m t t t m m m m t t m m m L mm m m t t T xt xt t x f L x L x Fx x x L τ αβ τ τ αβ τ τ αβ τ τ φ ττ τ α β β ττ α β β τ αβ β β τ = ∞ − − = = ∞ − − = = ∞ = − − = ∂ = − ∂ = − − ⋅ − ′ ′′ ⋅ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ 该解在 x = 0 与 x = L 处都不收敛于边界条件。其原因是对应于边界条件的那些项都以傅立叶级数形式表示，而傅立叶级数在 x = 0 与 x = L 的边界上不均匀收敛。解决该难点的方法是将式(15)进行分部积分，且将上述级数用下面介绍的等价封闭形式的表达式表示。将式(15)写为 ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 3 0 1 2 , sin 2 1 sin 2 sin sin d m m m m m m m L mm m m T x t xI t L xI t L x F x x xI t L α β β α β β αβ β β ∞ = ∞ = ∞ = = − − − ′ ′′ ∑ ∑ ∑ ∫ (16)

第 4 期唐松花，等：火灾情况下混凝土板温度场的解析解 547 式中 () ( ) ( ) 2 0 e d , ( 1,2,3) m t t i i It f i αβ τ τ τ − − = = ∫ (17) 对式中积分项作分部积分，有 () ( ) { ( ) ( )} () ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 0 2 0 0 2 0 1 e d(e ) 1 e e ed 1 0e e d m m m mm m m t t i i m t t t i i m t t t ii i m It f f f ft f f αβ αβ τ αβ αβ τ αβ τ αβ αβ τ τ αβ τ τ αβ τ αβ − − − − = = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ =−− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ (18) 将式(18)代入式(16)得 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0 1 1 0 1 2 2 sin sin , 20 1 2 sin 0e e d 2 sin 1 20e 2 sin sin d 1 e m m m m m m m m m m m t m t t m m m m t m m L t m m m x x T xt f t L L x f f L x L x Fx x x L αβ αβ τ αβ αβ β β β β β τ β β β β β ∞ ∞ = = ∞ − − − = ∞ − = ∞ − = = −⋅ − − ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − ′ ′′ ⋅ − ∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ (19) 根据文献[6]有 1 2 sin 1 m m m x x L L β β ∞ = ∑ = − (20) ( ) 1 2 sin 1 m m m m x x L L β β ∞ = －－ ∑ = (21) 将式(20)、(21)代入式(19)，所得解为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 1 0 1 , 1 20 2 sin 0e e d 2 sin 1 20e 2 sin sin d 1 e m m m m t m t t m m m m t m m L t m m m x x T xt f t L L x f f L x L x Fx x x L αβ αβ τ αβ αβ β τ β β β β β ∞ − − − = ∞ − = ∞ − = ⎛ ⎞ =− + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − ′ ′′⋅ − ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ (22) 由式(22)可知，在 x = 0 和 x = L 处边界面分别趋于 f (t) 和 20℃。 4 温度场计算结果根据求得的温度场表达式，即式(22)，编制了 MATLAB 计算程序，并对文献[7]中的混凝土板进行了计算。图 2 为文献[7]中混凝土简支板的火灾试验装置，板的底部受火。板的尺寸为 4300mm× 1500mm× 120mm。混凝土的设计强度等级为 C30，骨料为硅质。图 2 混凝土简支板火灾试验装置 Fig.2 Fire testing equipment for the slab 试验中，燃油炉的升温曲线如图3所示，应用 MATLAB多项式拟合得到试验炉温-时间函数，即 -8 5 -5 4 -3 3 2 ( ) 20 4.344 10 2.53 10 + 5.671 10 0.617 35.3962 ft t t tt t =+ × − × × − ×+ 其中时间t 的量纲为min。普通混凝土的热扩散系数随温度的变化量较小,可认为是常数，计算中将它取为38mm2 /min[5]。图 3 升温曲线 Fig.3 Time-temperature curve in the fuel 将混凝土板温度场求解的解析解计算结果曲线图(见图4)和试验的实测结果曲线图(见图5~图7)对比发现：解析解与试验结果曲线的整体趋势是一致的，近火面温度梯度很大，距受火面越远，温度梯度越小；温度曲线都是凸向坐标轴，呈非线性分布。同时二者也存在一些差距，这里主要有以下几点原因：①混凝土材料在实际温度升高过程中伴有

548 应用力学学报第 30 卷大量的水蒸汽溢出，带走了板的热量，而在解析解计算时没有考虑水蒸汽带走的热量；②随着温度的升高板内出现裂缝，裂缝的扩展使混凝土的传热加快，这一点在解析解计算时也没有考虑；③计算选用的热工性能参数与实际材料有一定的差别；④板的热传导方程组式(4)中的边界条件式(4c)假定板的背火面温度始终保持在 20℃，这也是导致误差的原因之一。此外，试验过程本身也有测试误差。图 4 解析解计算结果曲线 Fig.4 Analytical results 图 5 试验结果曲线 1 Fig.5 Test result-1 图 6 试验结果曲线 2 Fig.6 Test result-2 图 7 试验结果曲线 3 Fig.7 Test result-3 5 结束语杜哈美尔定理能够分析边界温度按一定规律随时间变化的热传导问题。火灾高温环境下构件的边界温度随时间变化，只要求得同一热传导问题但非齐次项与时间无关时的辅助问题的解，便可应用杜哈美尔定理求解该问题的温度场。该方法突破了积分变换法要求必须具备逆变换的公式的限制，简捷易行。本文应用杜哈美尔定理推导出了可用于混凝土板的一维温度场的解析解计算公式，通过将板的解析解计算结果与试验结果进行对比，发现二者的整体趋势是一致的，得到的温度场范围基本吻合。因此，本文推导得到的解析解计算公式可用于确定火场中混凝土板内各位置的温度。参考文献 [1] 谢猛，肖建庄.混凝土结构抗火理论研究述评[J].结构工程师， 2005，21(1)：57-61.(Xie Meng，Xiao Jianzhuang.Theoretical study on fire-resistance of concrete structures-an overview[J].Structural Engineers，2005，21(1)：57-61.(in Chinese)) [2] 李荣涛，李锡夔.混凝土中化学-热-湿-力耦合过程的数值方法[J]. 力学学报， 2006 ， 38(4) ： 471-479.(Li Rongtao ， Li Xikui.Mathematical model and numerical method for simulation of coupled chemo-thermo-hydro-mechanical process in concrete subjected to fire[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2006，38(4)：471-479.(in Chinese)) [3] Yu Xinmeng，Huang Zhaohui，Burgess I，et al.Nonlinear analysis of orthotropic composite slabs in fire[J].Engineering Structures，2008， 30(1)：67-80