D0I:0.16076j.cki.cjhd22.B.05 A辑第17卷第3期 水动力学研究与进展 Ser.A.Vol 17.No.3 2002年6月 JOURNAL OF HYDRODYNAMICS June 2002 文章编号：10004874(2002)03038209 多层地层中的井筒及地层 温度解析解 卢德唐，曾亿山，郭永存 (中国科学技术大学力学系，安徽合肥230026) 摘要：本文采用分层地层的假设米近似实际情况下的地层垂向的非均质性.并在此基础 上建立了多孔介质中的热传导问题的数学模型通过对方程的无量纲化及Laplace变换给出了 Laplace空间上的油气井在注入及生产情况下方程的解.最后将Laplace空间的解解析反演到实空 间上. 关键词：无量纲温度，多孔介质：热传导，laplace变换：解析反演 中图分类号：0357.5 文献标识码：A 1前言 当井筒中有流体注入或有流体采出时，周围地层与流体之间就存在温度差，使得流体与地 层的温度重新分布。在石油的勘探与开发中，了解井筒中流体温度随井深，时间、产量的变化 关系是很重要的。例如如果给出井筒温度与流量的关系，那么，就可以利用井筒温度来反求流 体产量：给出井筒温度与时间的关系，就可以利用井筒温度反求地层的热力学参数等。 50年代以来，就有一些学者研究多孔介质热传导问题，其中R在并筒传热方 面的研究最为经典，他引起了综合传热系数并给出了综合传热系数的表达式，但Ram心y的研 究采用了过多的假设，这使得Ramey的井筒瞬时传热导问题的解仅适合时间较大时的情况. 由于多孔介质中的热传导问题非常复杂，对井筒或地层传热问题研究最多的是数值解4习，因 为数值解可考虑许多复杂的问题（如地层的热力学参数的非均质性等，.但数值模拟以往往过于 复杂，也需要高性能的计算机一般人也很难掌握。在实际的应用中，解析解更利于人们对问 题本质的了解。本文正是从这一目的出发，根据热传导问题的性质，采用较符合实际的假设 (将地层分成多层且地层热力学参数在每个小层中为常数)，给出地层热传导方程及井筒中的 流体流动方程。对方程无量纲化后，给出无量纲方程的解。 代鑫公背管#础研觉9方项日90205，国家自然科学基金资助项目(401020m0,安 自然科 基金资围 日(200 作者充C德唐CI男教授博悬fronic Publishing House..All rights reserved http://www
A 辑第17 卷第 3 期 水 动 力 学 研 究 与 进 展 Ser.A, Vol.17 , No.3 2002 年 6 月 JOURNAL OF HYDRODYNAMICS June , 2002 文章编号:1000-4874(2002)03-0382-09 多层地层中的井筒及地层 温度解析解 卢德唐 , 曾亿山 , 郭永存 (中国科学技术大学力学系 ,安徽合肥 230026) 摘 要: 本文采用分层地层的假设来近似实际情况下的地层垂向的非均质性, 并在此基础 上建立了多孔介质中的热传导问题的数学模型, 通过对方程的无量纲化及 Laplace 变换, 给出了 Laplace 空间上的油气井在注入及生产情况下方程的解。 最后将 Laplace 空间的解解析反演到实空 间上。 关 键 词: 无量纲温度;多孔介质;热传导;Laplace 变换;解析反演 中图分类号: O357.5 文献标识码:A 1 前言 当井筒中有流体注入或有流体采出时,周围地层与流体之间就存在温度差 ,使得流体与地 层的温度重新分布。在石油的勘探与开发中 ,了解井筒中流体温度随井深 、时间 、产量的变化 关系是很重要的 。例如如果给出井筒温度与流量的关系,那么, 就可以利用井筒温度来反求流 体产量;给出井筒温度与时间的关系,就可以利用井筒温度反求地层的热力学参数等 。 50 年代以来 , ,就有一些学者研究多孔介质热传导问题 [ 1, 2] ,其中 Ramey [ 3] 在井筒传热方 面的研究最为经典, 他引起了综合传热系数, 并给出了综合传热系数的表达式 ,但 Ramey 的研 究采用了过多的假设 ,这使得 Ramey 的井筒瞬时传热导问题的解仅适合时间较大时的情况 。 由于多孔介质中的热传导问题非常复杂 ,对井筒或地层传热问题研究最多的是数值解[ 4, 5] ,因 为数值解可考虑许多复杂的问题 (如地层的热力学参数的非均质性等), 但数值模拟往往过于 复杂, 也需要高性能的计算机, 一般人也很难掌握。在实际的应用中 ,解析解更利于人们对问 题本质的了解 。本文正是从这一目的出发 ,根据热传导问题的性质 ,采用较符合实际的假设 (将地层分成多层,且地层热力学参数在每个小层中为常数),给出地层热传导方程及井筒中的 流体流动方程。对方程无量纲化后 ,给出无量纲方程的解。 收稿日期: 1998-11-21 基金项目: 国家重点基础研究“ 973” 项目(G1999032805);国家自然科学基金资助项目(10102020);安徽 省教育自然科学研究基金资助项目(2001KJ228) 作者简介: 卢德唐(1966～ ), 男, 教授, 博导。 DOI :10.16076/j .cnki .cjhd.2002.03.015
卢德唐等：多层地层中的井筒及地层温度解析解 383 2数学模型及其解 考虑多层的井筒瞬时热传导问题的温度分布如图1、图2所示，井筒中的流体通过对流传 递热量，然后通过热传导进入地层地层是由个不同的热力学及物理性质的多孔介质层组 成。整个系数由井筒区、热表皮区（包括套管、环空、水泥环等）及地层三部分组成。根据对问 题的研究，本文采用如下的近似及假设： 地层 ”0的0和 6) 10m0 120 160 图】井筒和地层温度分布曲线 图2给定时间下生产井温度剖面图（实例 (1)井筒中的流体为一维、垂向流动，且流量为常数： (2)同流动中的流体热对流相比，井筒中的流体垂直方向的热传导可忽略不计： (3)每个小层中的热力学参数、物理性质参数及初始温度梯度为常数： (4)与水平方向的热流量相比，地层中垂直方向的热传导可忽略不计： (5)用热表皮处理地层与井筒之间的热流量，同时引进热量储存常数： 根据以上假设，地层第j层的热传导方程为： (1) 在井筒中，流体的控制方程 对液体有 29C交+9g空=4=2要 (2a) 对气体有 (2h) http://www
2 数学模型及其解 考虑多层的井筒瞬时热传导问题的温度分布如图 1 、图 2 所示, 井筒中的流体通过对流传 递热量 ,然后通过热传导进入地层, 地层是由 n 个不同的热力学及物理性质的多孔介质层组 成。整个系数由井筒区、热表皮区 (包括套管、环空、水泥环等)及地层三部分组成 。根据对问 题的研究 ,本文采用如下的近似及假设 : 图 1 井筒和地层温度分布曲线 图 2 给定时间下生产井温度剖面图(实例) (1) 井筒中的流体为一维 、垂向流动 ,且流量为常数 ; (2) 同流动中的流体热对流相比,井筒中的流体垂直方向的热传导可忽略不计; (3) 每个小层中的热力学参数 、物理性质参数及初始温度梯度为常数 ; (4) 与水平方向的热流量相比 ,地层中垂直方向的热传导可忽略不计 ; (5) 用热表皮处理地层与井筒之间的热流量 ,同时引进热量储存常数 ; 根据以上假设, 地层第 j 层的热传导方程为: 1 r r rλj Tj r =ρjCj Tj t (1) 在井筒中 ,流体的控制方程 对液体有 πr 2 wρfCf Twj t +QρfCf Twj z =uj =2πrw Tj r |r =r w (2a) 对气体有 πr 2 wρfCf Twj t +QρfCf Twj z ± g Cf =uj =2 πrw Tj r |r =r w (2b) 卢德唐等:多层地层中的井筒及地层温度解析解 383
384 水动力学研究与进展 2002年第3期 由Ramey定义的综合热传导系数U,可表示成： 4=2要=-UT-T)- 3) 初始及边界条件可写成 Tg(z,t=0)=T(n2,t=0)=Tm(z) 4) T1(z=0,t)=T6 5) (2=0 1)=Tc 注入井 (6a) Teli(2=01)=To 生产井 (6) Tj(r,z=zt)=Tti(r,z=z 1) 7) limTj(r,z,t)=Ti (z) (8) 式 T一地层温度，℃)： T一井筒温度.C): p一地层中岩石及流体的综合密度，(kgm3): C一地层中岩石及流体的综合定压比热容，/kg.C): 地层中岩石及流体的综合热传导系数(W/(m.°C): 一井筒单位长度的热通量，(W/m): U 地层与井筒之间的综合热传导系数，(W/(m2.C): 一流体注入时的注入温度，（℃）： T0一对于注入井表示地面温度.对生产井为井底温度，(C): 2一流体的体积流量，(m/s): -重力加速度，(m/s2): w一井筒半径，(m). 下标 j=1,2.3…n(1<2<z 一第j层的物理量及参数： 一井筒中的物理量及参数： ∫一与流体有关的物理量及参数： 一初始状态的物理量及参数。 定义如下的无量纲量： (1)无量纲地层及井筒温度T,TD定义为 ?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www
由 Ramey 定义的综合热传导系数 Uj ,可表示成: uj =2πrw Tj r |r =r w =-Uj(Twj -Tj)|r =r w (3) 初始及边界条件可写成: Twj(z , t =0)=Tj(r, z , t =0)=Tji(z) (4) T1i(z =0 , t)=T0 (5) Tw1i(z =0 , t)=TC 注入井 (6a) Tw1i(z =0 , t)=T0 生产井 (6b) Tj(r , z =zj , t)=Tj+1(r ,z =zj+1 , t) (7) limr※∞ Tj(r , z , t)=Tji(z) (8) 式中 T ———地层温度 ,(°C); Tw —井筒温度,(°C); ρ———地层中岩石及流体的综合密度 ,(kg/m 3); C ———地层中岩石及流体的综合定压比热容 ,(J/kg .°C)); λ———地层中岩石及流体的综合热传导系数,(W/(m.°C)); u ———井筒单位长度的热通量 ,(W/m); U ———地层与井筒之间的综合热传导系数 ,(W/(m 2.°C)); TC ———流体注入时的注入温度 ,(°C); T0 ———对于注入井表示地面温度, 对生产井为井底温度 ,(°C); Q ———流体的体积流量,(m 3 /s); g ———重力加速度 ,(m/s 2); rw ———井筒半径 ,(m)。 下标 j =1 , 2 , 3 …n (zj-1 <z <zj ——— 第 j 层的物理量及参数 ; w ———井筒中的物理量及参数; f ———与流体有关的物理量及参数 ; i ———初始状态的物理量及参数。 定义如下的无量纲量 : (1)无量纲地层及井筒温度 TDj , TWDj 定义为 384 水 动 力 学 研 究 与 进 展 2002 年第 3 期
卢德唐等：多层地层中的井筒及地层温度解析解 385 (2)无量纲时间及无量纲距离D,rD,D定义为 o=Cm=片n=, 2πg (3)热表皮、无量纲热储存常数及热力学参数比S,?,m定义为 9=铲房=防=C (C)λ (4)Laplace空间上的无量纲地层及井筒温度Tg,T四r定义为 To=Ty(ro.t)exp(-uD) Twy=Tge,o)pdo 根据上述定义的无量纲量，可以给出Laplace空间上温度所满足的方程及定解条件 9) (10) 阳--s器 (11) (12) Tg(rp→o∞u)=0 (13) Twi(zo=0u)=To 注入井 (14a） u TD1(zD=0.u)=0 生产井 (14h) Ta (液体) 式中D= 一对应于液体与气体的常数，(Cm): 2I994-2i人Z及击8Sa气体)Electron Publishing House,.ll rihts reserved.hup/Awnw
TDj = 2πλj(Tj -Tji) QρfCfDj ;TWDj = 2πλj(Twj -Tji) QρfCfDj (2)无量纲时间及无量纲距离 tD , rD , zD 定义为 tD = λ1 t (ρC)1r 2 w ;rD = r rw ;zD = 2 πλjz Q(ρC)f (3)热表皮 、无量纲热储存常数及热力学参数比 Sj , βj , mj 定义为 Sj = 2πλj Uj ;βj = (ρC)fλ1 2(ρC)1λj ;mj = (ρC)jλ1 (ρC)1λj (4)Laplace 空间上的无量纲地层及井筒温度 Dj , WDj 定义为 Dj =∫ ∞ 0 TDj(rD , zD , tD)exp(-utD)dtD WDj =∫ ∞ 0 TWDj(zD , tD)exp(-utD)dtD 根据上述定义的无量纲量 ,可以给出 Laplace 空间上温度所满足的方程及定解条件 1 rD rD rD Dj rD =mju Dj (9) uβj WDj -1 u + WDj zD = Dj rD |r D =1 (10) WDj = Dj -Sj Dj rD r D =1 (11) Dj λj WDj(zDj , u)= Dj-1 λj-1 WD(j-1)(zD(j-1), u) (12) Dj(rD ※ ∞, u)=0 (13) WD1(zD =0 , u)= TCD u 注入井 (14a) WD1(zD =0 , u)=0 生产井 (14b) 式中 Dj = TGj (液体) TGj ±g/ Ct (气体) ——— 对应于液体与气体的常数, (°C/m); 卢德唐等:多层地层中的井筒及地层温度解析解 385
386 水动力学研究与进展 2002年第3期 TG一第j层的地层静温梯度，(Cm): 求解上述方程可以得到Laplace空间上的无量纲地层及井筒温度Tor:T四分别为 Tman,）=G(uexH-E,(w)'z0+g)·u (15) Ko(rD umi )TwDi(zD.u) T(m,2,》）=Ko(Jm)+Sm冰1(m网） (16) 式中 umK(anj) 6m)=略+Ko(Jm)+Smk(两】 Ci(a)-1-E 注入井 C(u)=-E(u)·u 生产井 C(u)=9C1(u)espl[E(u)-E-(u月·r}+ 2 E1u)·u-写()·exu)·z0 7m=2(- QGD Ko(x)一零阶虚宗量Bessel函数： K1(x)一一阶虚宗量Besd函数. 使用围道积分可以得到方程(15)、(16)的L即ace解析反演解，即无量纲井筒温度、地层 温度分布实空间的解Tm(zD,o)及T(D,D,tD)(Laplace解析反演过程非常复杂，本文 仅给出反演后的结果)。 对第一层，无量纲井筒温度TwD(zD,D)可表示成 (tD≤D) TiDI (zD,to)= (17) f1+f2+3 (D>D) 式中 w2 = dw G()BI- 1w2 -Fw)]'+4 ?1994-2016 China Academic Journal Electro 。pm ng r se.All fights reserved.http://www
TGj ——— 第 j 层的地层静温梯度 ,(°C/m); 求解上述方程, 可以得到 Laplace 空间上的无量纲地层及井筒温度 Dj , WDj 分别为 WDj(zD , u)=Cj(u)exp[ -Ej(u)· zD] + 1 Ej(u)· u (15) Dj(rD , zD , u)= K0(rD umj) WDj(zD , u) K0( umj)+Sj umjK1( umj) (16) 式中 Ej(u)= uβj + umjK1( umj) K0( umj)+Sj umjK1( umj) C1(u)= TCD u - 1 E1(u)· u 注入井 C1(u)=- 1 E1(u)· u 生产井 Cj(u)= ΨjCj-1(u)exp{[ Ej(u)-Ej-1(u)] · zD(j-1)}+ Ψj Ej-1(u)· u - 1 Ej(u)· u exp[ Ej(u)· zD(j-1)] Ψj = Dj-1λj Djλj-1 ; TCD = 2 πλ1(TC -T1i) QρfCfD1 K0(x)———零阶虚宗量 Bessel 函数; K1(x)———一阶虚宗量 Bessel 函数 。 使用围道积分可以得到方程 (15)、(16)的 Laplace 解析反演解 ,即无量纲井筒温度、地层 温度分布实空间的解 TWDj(zD , tD)及 TDj(rD , zD , tD )(Laplace 解析反演过程非常复杂 ,本文 仅给出反演后的结果)。 对第一层, 无量纲井筒温度 TWDj(zD , tD)可表示成 TWD1(zD , tD)= f1 (tD ≤zD) f 1 +f 2 +f 3 (tD >zD) (17) 式中 f 1 = 4 π 2∫ ∞ 0 G1(w) w exp - w 2 m1 tD -1 G1(w) β1 - w 2 m1 -F1(w) 2 + 4 π 2 dw 386 水 动 力 学 研 究 与 进 展 2002 年第 3 期