《高等传热学》课程教学资源（文献资料）环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解.pdf

第46卷第6期中南大学学报（自然科学版） .46No.6 2015年6月 Journal of Central South University (Science and Technology) June 2015 D0:10.11817i.issn.1672-7207.2015.06. 环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解胡向东3，韩延广12 (1同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海，200092： 2.同济大学地下建筑与工程系，上海，200092) 摘要：隧道联络通道和矿山竖井冻结法施工经常采用环形布置冻结管。对于环形布管冻结温度场的解，目前仅有冻结圈内完全冻实的单圈管冻结温度场解析解，但现实冻结工程中，内部通常是未冻实的。首先应用保角变换将环形单圈管冻结模型变换为易于求解的特殊的直线型挂布的模型，再结合调和方程的边界条件可分离的性质，将日分去雀挂鬼实指杨的最后藏单要管快表森实物鞋华气析华。一九子玫值模8 对解析解的验证结果表明：在冻土幕充分交圈后，果基木致，得到的解析解具有高的精度。同时本文解析解也适用于冻结圈内完全冻实的温度场。关键词：人工地层冻结法：环形单圆冻结管：温度场：解析解：保角变换：调和方程中图分类号：TK124 文献标志码：A 文章编号：1672-7207201506-2342-08 General analytical solution to steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing HU Xiangdong',HAN Yanguang (1.Key Laboratory of Geotechnical and Underground of the Ministry of Education Tongji University.Shanghai 200092.China: 2.Department of Geotechnical Engineering Tongji University.Shanghai00092.China) :Single-circ-ipenthd sha present,there is only one analytical solution which is aimed at the situation that the ground inside the freezing-pipe circl s frozen solid.However,a more usual situation is that the area enclosed inside the freezing-pipe circle is not frozen completely.For this situation,an analytical solution to the steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing was proposed.The solution was derived by converting the sing-r-pipefreezing model toa special single-row-pipe freezing model using conformal mapping.and then decomposing the single-row-pipe freezine model into the single-row-pipe freezing model and a linear temperature field model according to the separability of boundary conditions for harmonic qtions.Comprison of the analytical solution with the numerical thermal analysis shows that the Key words:artificial gr mapping:harmonic equation 自然科学基资助项日(5117836,51478340：浙江省自然科学基金资助项目(LZ13E08002XPot(51178336 nce foun .du.c 1994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.ne

第 46 卷第 6 期中南大学学报(自然科学版) Vol.46 No.6 2015 年 6 月 Journal of Central South University (Science and Technology) June 2015 DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.06. 环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解胡向东 1, 2，韩延广 1, 2 (1. 同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海，200092； 2. 同济大学地下建筑与工程系，上海，200092) 摘要：隧道联络通道和矿山竖井冻结法施工经常采用环形布置冻结管。对于环形布管冻结温度场的解，目前仅有冻结圈内完全冻实的单圈管冻结温度场解析解，但现实冻结工程中，内部通常是未冻实的。首先应用保角变换将环形单圈管冻结模型变换为易于求解的特殊的直线型排布的模型，再结合调和方程的边界条件可分离的性质，将问题分解为单排问题和线性温度场问题，最后完成单圈管冻结圈内未冻实的温度场解析解。热力学数值模拟计算对解析解的验证结果表明：在冻土帷幕充分交圈后，数值模拟结果和解析解结果基本一致，得到的解析解具有较高的精度。同时本文解析解也适用于冻结圈内完全冻实的温度场。关键词：人工地层冻结法；环形单圈冻结管；温度场；解析解；保角变换；调和方程中图分类号：TK124 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2015)06−2342−08 General analytical solution to steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing HU Xiangdong1, 2, HAN Yanguang1, 2 (1. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of the Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China) Abstract: Single-circle-pipe freezing method is often applied in cross passage construction and mine shaft sinking. At present, there is only one analytical solution which is aimed at the situation that the ground inside the freezing-pipe circle is frozen solid. However, a more usual situation is that the area enclosed inside the freezing-pipe circle is not frozen completely. For this situation, an analytical solution to the steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing was proposed. The solution was derived by converting the single-circle-pipe freezing model to a special single-row-pipe freezing model using conformal mapping, and then decomposing the single-row-pipe freezing model into the single-row-pipe freezing model and a linear temperature field model according to the separability of boundary conditions for harmonic equations. Comparison of the analytical solution with the numerical thermal analysis shows that the analytical solution is precise enough. Furthermore, the solution can also be employed for the temperature field of the frozen-solid situation. Key words: artificial ground freezing; single-circle-pipe freezing; temperature field; analytical solution; conformal mapping; harmonic equations 收稿日期：2014−04−13；修回日期：2014−08−20 基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51178336，51478340)；浙江省自然科学基金资助项目(LZ13E080002)(Project (51178336, 51478340) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (LZ13E080002) supported by the Natural Science Foundation of Zhejiang Province, China) 通信作者：胡向东，副教授，博士生导师，从事隧道及地下工程研究；E-mail：anton.geotech@tongji.edu.cn

第6物胡向东。等：环形单网管冻结拉态温度场一般解析解 2343 人工地层冻结技术已发展成为一种成熟工法，在和双拜管冻结巴霍尔金公式的准确性进行了分析叫，井矿工程、隧道工程、地基临时加固、地下水污染招结果表明，在冻结的中后期(>0.7，其中：为冻制、废弃物掩埋等领域已有广泛应用。在施工过程中唯幕厚度，1为冻结管间距)，温度场任何一点的计算堂据连土推幕的厚度和力学性质等参数是非常重要误差不超过1℃。因此在冻结的中后期，人工冻结温的，而这些参数均依赖于族结温度场的分布。因此，温度场理论是冻结法理论的基础。目前冻结温度场的度场将可以近似当作稳态温度场。则9=0：8。计算方法主要有解析法模拟法以及数值分析方法。 0,方程1)简化为：而解析解由于其理论性强，始终是研究温度场的重要部分。到目前为止，各国专家、学者们已经取得了 (2) 系列冻结管规则布置形式下的经典稳态温度场解析解。例如单管冻结温度场公式山，两管~五管直线布其极坐标下的表达式为：冻结温度场公式，单排管冻结温度场公式以及双管冻结温度场公式等，并且沿用至今。作者对这些 80,180180 ar2 r ar 0 公式进行了完善与应用性研究5，并完成了三排管冻结温度场解析解的推导0-15，对于环形布置冻结管的情形。完成了该结国内冻实的单图管冻结温度场解折单管的数学模型及解析解解，对于内部未冻实的情祝尚无解析解答文州者基于保角变换和调和方程边界条件可分离性，单管在无限大地层形成的温度场的问题如图1所环形单圈管冻结圈内未冻实的稳态温度场解析解进行示。了求解。 1二维热传导方程冻士边界在土体中，热传递主要有3种形式：传导、对流和辐射。因为对流和辐射对温度场的影响相对于传导可以忽路不计，所以仅仅老虑传导形成的温度场陶东结管根据Fourier热传导定律和热量守恒律，可以得到二年热传导方程的形式如下： 1) 图1平西内管的温度场问其中：日为温度场的分布：k为介质的热传导系数： Fig.1 Model of single-pipe freezing 为密度：c为此热容：，x,)为单位时间单位体利系统吸收或者放出的热量。其数学模型如下：人工地层冻结过程是一个瞬态热传导过程，是个具有相变并且相变界面移动的问题。对于采用稳态温度场沂似避本温度场的活用性问顺。学术果和丁程界 6,)=,；冻结管处条件普遍接受的观点是：由于人工地层冻结是个发展相 ξ.)=0：冻土边界条件缓慢的过程，尤其是在冻结的后期，其温度场非常拉通过分离变量法可，求得满足上述调和方程的通近稳态导热温度场，在人工地层冻结法的温度场理论解为：与工程中，对此状态可按稳态导热近似求解人工冻结 0(r.B)=co++ 温度场。世界上最流行和实用的人工冻结温彦场解析解有前苏联，乳、美国和日本公式，他们均为稳 a.cos m+-.sin m4产+"）(5) 温度场公式。对此问题，作者曾针对文献3)]的单排将边界条件进行Fourier级数展开，仍为常数，即 1002016 Academic Jou al Eleetronie Publishing House.All right http://www.cnki.ne

第 6 期胡向东，等：环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 2343 人工地层冻结技术已发展成为一种成熟工法，在井矿工程、隧道工程、地基临时加固、地下水污染控制、废弃物掩埋等领域已有广泛应用。在施工过程中，掌握冻土帷幕的厚度和力学性质等参数是非常重要的，而这些参数均依赖于冻结温度场的分布。因此，温度场理论是冻结法理论的基础。目前冻结温度场的计算方法主要有解析法、模拟法以及数值分析方法。而解析解由于其理论性强，始终是研究温度场的重要部分。到目前为止，各国专家、学者们已经取得了一系列冻结管规则布置形式下的经典稳态温度场解析解。例如单管冻结温度场公式[1]，两管~五管直线布置冻结温度场公式[2]，单排管冻结温度场公式以及双排管冻结温度场公式[3−4]等，并且沿用至今。作者对这些公式进行了完善与应用性研究[5−9]，并完成了三排管冻结温度场解析解的推导[10−15]；对于环形布置冻结管的情形，完成了冻结圈内冻实的单圈管冻结温度场解析解[16]，对于内部未冻实的情况尚无解析解答。本文作者基于保角变换和调和方程边界条件可分离性[17]，对环形单圈管冻结圈内未冻实的稳态温度场解析解进行了求解。 1 二维热传导方程在土体中，热传递主要有 3 种形式：传导、对流和辐射。因为对流和辐射对温度场的影响相对于传导可以忽略不计，所以仅仅考虑传导形成的温度场[18]。根据 Fourier 热传导定律和热量守恒律，可以得到二维热传导方程的形式[18]如下：   2 2 2 2 k g txy , , tc c x y                  (1) 其中：θ 为温度场的分布；k 为介质的热传导系数；ρ 为密度；c 为比热容；g(t，x，y)为单位时间单位体积系统吸收或者放出的热量。人工地层冻结过程是一个瞬态热传导过程，是个具有相变并且相变界面移动的问题。对于采用稳态温度场近似瞬态温度场的适用性问题，学术界和工程界普遍接受的观点是：由于人工地层冻结是个发展相对缓慢的过程，尤其是在冻结的后期，其温度场非常接近稳态导热温度场，在人工地层冻结法的温度场理论与工程中，对此状态可按稳态导热近似求解人工冻结温度场。世界上最流行和实用的人工冻结温度场解析解有前苏联[1, 3]、美国[4]和日本公式[2]，他们均为稳态温度场公式。对此问题，作者曾针对文献[3]的单排管和双排管冻结巴霍尔金公式的准确性进行了分析[20]，结果表明，在冻结的中后期(ξ/l＞0. 7，其中 ξ 为冻土帷幕厚度，l 为冻结管间距)，温度场任何一点的计算误差不超过 1 ℃。因此在冻结的中后期，人工冻结温度场将可以近似当作稳态温度场。则 0 t    ；g(t，x， y)=0，方程(1)简化为： 2 2 2 2 0 x y         (2) 其极坐标下的表达式为： 2 2 2 22 1 1 0 r r r r            (3) 2 单管的数学模型及解析解单管在无限大地层形成的温度场的问题如图 1 所示。图 1 平面内单管的温度场问题 Fig. 1 Model of single-pipe freezing 其数学模型如下： 2 2 2 22 0 0 1 1 0 ( , ) ; ( , ) ; f r r r r r                        冻结管处条件冻土边界条件 (4) 通过分离变量法[17]，求得满足上述调和方程的通解为： 10 20  (, ) r   cc r   ln 1 2 1 ( cos sin )( ) m m m m mm m a m b m cr c r         (5) 将边界条件进行 Fourier 级数展开，仍为常数，即

2344 中南大学学报（自然料学板算45卷与0无关，则a0 b-0 示为Z-R©（共中R为极径，B为极角）.而将平面表再将冻结管和冻土边界条件代入式(5)可以得到：示为=+其中为平面中的横坐标，为其纵坐标)。将2个平面分别带入变换函数可以得到： 0=8, + (6) utiv-B+ilnR R (9) 则物平面问题经过此种变换，其像平面问题如图上式即为特鲁巴克单管冻结温度场 3所示。单圈管冻结圈内未冻实的温度场外边界 R. 31保角变换的应用在冻土帷幕交圈后，冻土边界呈波浪形状。所以冻结圈内未冻实的环形单园管冻结问题如图2所示。内边界图3平面温定场问题外边界 Fig.Model of temperature field nplane 限据保角变换，=：=h=h冬内边界。 3.2 单排管冻结的巴霍尔金问题主而 .01 单排管冻结时，在冻土帷幕交阁后，冻土帷幕边界为波浪形状，则其温度场问题如图4所示。图2单国音冻结图内未冻实的问题求解模型冻土边界 Fig.Modelofsi e-pipe freezing 其数学模型可以表达为 ,月第)管 =C ar 8+2红 0：冻结管处条付图4平面内单排管的温度场问题 Fig.4 Model ofsingle-row-pipe freezing o(习-风：体士内边界条作其数学模型为 ©（-：漆士外边界条件 a20a20 =0 3a2 共中：n为冻结管的数量，j从0到1取整数值，均)=：冻土边界条 (10 由于直接求解上述问题较为困难，现引入保角变 U1,6)=0,:冻结管处条换，将其变换为较易解决的问题。变换函数为利用调和方程的边界条件可分离性可，将族土边 (8) 界条件和冻结管处条件均讲行分解。将原问题分解为其中Z平面为原平面（即物平面）》 (平面为像平面。根无限个单管冻结问题，则针对第管可以建立如下的据复变函数可以表示一个平面中的点，因此Z平面表数学模型： 994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne

2344 中南大学学报(自然科学版) 第 46 卷与 θ 无关，则 am=0；bm=0。再将冻结管和冻土边界条件代入式(5)可以得到： 0 0 0 0 ln ln ln ln f r r r T r r        (6) 上式即为特鲁巴克单管冻结温度场。 3 单圈管冻结圈内未冻实的温度场 3.1 保角变换的应用在冻土帷幕交圈后，冻土边界呈波浪形状。所以冻结圈内未冻实的环形单圈管冻结问题如图 2 所示。图 2 单圈管冻结圈内未冻实的问题求解模型 Fig. 2 Model of single-circle-pipe freezing 其数学模型可以表达为 2 2 2 22 2 0 1 0 3 0 1 1 0 2π , ; 2π , ; 2π , ; f r r r r R Rj n R j n R j n                                                    冻结管处条件冻土内边界条件冻土外边界条件 (7) 其中：n 为冻结管的数量，j 从 0 到 n−1 取整数值。由于直接求解上述问题较为困难，现引入保角变换，将其变换为较易解决的问题。变换函数为 2 ln Z i R   (8) 其中 Z 平面为原平面(即物平面)；ζ 平面为像平面。根据复变函数可以表示一个平面中的点，因此 Z 平面表示为 Z=Re iβ (其中 R 为极径，β 为极角)。而将 ζ 平面表示为 ζ=u+iv(其中 u 为 ζ 平面中的横坐标，v 为其纵坐标)。将 2 个平面分别带入变换函数可以得到： 2 i i ln R u v R   (9) 则物平面问题经过此种变换，其像平面问题如图 3 所示。图 3 像平面温度场问题 Fig. 3 Model of temperature field in ζ plane 根据保角变换， u   ； 2 ln R v R  ； 2 1 1 ln R R   ； 3 2 2 ln R R   ； 2π l n  ； 0 w 2 R R R  。 3.2 单排管冻结的巴霍尔金问题单排管冻结时，在冻土帷幕交圈后，冻土帷幕边界为波浪形状，则其温度场问题如图 4 所示。图 4 平面内单排管的温度场问题 Fig. 4 Model of single-row-pipe freezing 其数学模型为 2 2 2 2 0 0 0 ( , ) ; ( , ) ; f x y jl jl r                       冻土边界条件冻结管处条件 (10) 利用调和方程的边界条件可分离性[17]，将冻土边界条件和冻结管处条件均进行分解，将原问题分解为无限个单管冻结问题，则针对第 j 管可以建立如下的数学模型：

第 6 期胡向东，等：环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 2345 1 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 (, ) ; ( ,) ( 2, ) (,) ; ( ,) ( 2, ) j j j j j j j j j jf j jf j jf x y jl j jl l jl l jl r j jl l r jl l r                                                                   第管冻土边界条件第管冻结管处条件 (11) 选取适当的 1 j0  ， 2 j0  ，…及 1 jf  ， 2 jf  ，…，可以保证问题(11)为单管冻结的温度场模型。则 0 f 0 0 0 ln ln ln ln j j jj j r r r r r        (12) 其中： 2 2 ( ) j r y x jl   。根据冻土边界和冻结管条件的周期性，则 θjf；θj0 为常数。即每根管温度场问题相同。单排管冻结温度场解为无限个单管冻结温度场解的叠加：   j     (13) 根据贝塞特求和公式[21]： 2 2 2π 2π ln[ ( ) ] ln ch cos y x y x jl l l             (14) 整理式(13)得： 1 2π 2π ln ch cos 2 y x C D l l          (15) 0 0 0 0 ln ln ln ln jf j C r r r              ； 0 0 0 ln ln j jf D r r       将冻土边界条件代入式(15)，得： 0 1 2π 2π ln ch cos 2 jl C D l l           (16) 再将冻结管处条件代入式(15)，得： 0 f 1 2 2π π ln ch cos 2 r jl C D l l          (17) 因为 ch2x=2sh2 x+1 ，工程中 0r l ＜＜ 1 则 0 0 π π sh r r l l  ；冻结中后期 π 1 l   ，则 π π 1 sh e 2 l l    ， 2π 2π 1 ch 1 e 2 l l     ，化简并求解式(16)和(17)得： 0 1 2π ln 2 2 C D l            ； 0 0 2π π ln f D r l l       将其代入式(15)，则 0 0 0 π 2π π ln f A r l l l                  (18) 其中： 1 2π 2π ln 2 ch cos 2 y x A l l            。上式与巴霍尔金单排管冻结温度场的解析解[3] 相同。 3.3 像平面温度场问题的解对于图 3 表示的像平面温度场问题，其数学模型为： 2 2 2 2 1 0 2 0 w 0 ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; f u v jl jl jl R                          冻土内边界条件冻土外边界条件冻结管处条件 (19) 根据边界条件可以分离性[17]，上述问题可以分解为求解以下 2 个问题，然后再将解加起来即可得到原问题的解，即 θ=θ1+θ2。 2 2 1 1 2 2 1 10 12 0 1 w 0 ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; a f b u v jl jl jl R                              冻土内边界条件冻土外边界条件冻结管处条件 (20) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 w 0 ( , ) 0; ( , ) ; ( , ) ; a b u v jl jl jl R                          冻土内边界条件冻土外边界条件冻结管处条件 (21) 通过选取适当的 θa 可以保证式(20)为单排巴霍尔金问题。由冻土内边界和冻结管条件，根据单排巴霍尔金解(18)，其解可以表达为： 0 1 1 2π π ln f b Rw l l           1 0 1 2π 2π π ln2 ch cos 2 v u l ll                  (22)

2346 中南大学学报(自然科学版) 第 46 卷则将冻土外边界条件代入式(22)得到： 0 2 1 w 1 1 2π π ln2 ch 1 2π π 2 ln f b a R l l l l                         由 2 2π l  ＞＞1 则 2 2π 2 2π ch 1 0.5 e l l     ，化简后得到： 0 2 1 w 1 π ( ) 2π π ln f b a R l l l             (23) 而对于式(21)，由于冻结管半径很小，在不引起大的误差的前提下，为了便于计算，将冻结管处条件 2 (, ) w b  jl R   简化为 2 ( ,0) b  jl   。选取适当的 Tb可以保证其解为线性温度场。则 2 1 1 2 ( ) a v         (24) 将冻结管处条件代入(24)得到 1 1 2 a b        (25) 联立式(23)和(25)可以解出 11 2 1 2 π b A l           (26) 1 2 π ( ) a A l       (27) 其中： f 0 w 1 2 1 2 2π π 2 ln A R l l            。将式(26)代入式(22)得： 1 10 1 2π 2π π ln2 ch cos 2 A v u l ll                    (28) 将式(27)代入式(24)得： 11 21 2 121 π A v l                  (29) 12 1 2 0 12 21 π π 2 A A v l l                      (30) 其中： 1 2π 2π ln 2 ch cos 2 v u A l l               。 3.4 物平面温度场的解析解根据保角变换，u=β； 2 ln R v R  ； 2 1 1 ln R R   ； 3 2 2 ln R R   ； 2π l n  ； 0 w 2 R R R  。全部带入式(30)，得到单圈管冻结圈内未冻实的温度场解析解： 2 2 3 2 1 2 1 3 0 3 3 2 1 1 ln ln ln ln ln 2ln M R R R n n R R R R R M R R R R R             (31) 其中， 0 2 3 0 1 2 2 3 1 ln ln ln ln f M R R n nR R R R R R       ，   2 2 1 ln 2cos 2 n n R R M n R R                       。 3.5 冻土帷幕形状特征理论上讲，冻土帷幕边界应随冻结管位置呈波浪形，现考察其特征。按命题，冻土边界各处温度相等，故外边界主面(β=0°的面)与外边界界面(β=±180°/n 的面)位置处的温度之差t=0(见图 2)。由式(31)，得 2 3 2 2 2 3 13 3 3 3 3 2 1 2 3 2 ln 1 = ln + ln 2 ln 2 n n M n n R R R n R R RR R t R R R R R R R                                      (32) 在冻结中后期， R R 3 2  ； R R 3 2   ，因工程中 n 较大，则 2 3 0 n R R        ， 2 3 0 n R R         ； 3 2 n R R       ＞＞2， 3 2 n R R       ＞＞2。所以式(32)化简为 2 3 2 2 13 3 3 3 3 1 2 ln ln + ln 0 ln n n R R n R RR R R R R R R               (33) 则可得到 2 3 1 3 2 ln ln 0 R R n R R   ，即 3 3 1 R R   。从上述判定过程可以看出，在满足冻结中后期(帷幕厚度较大)和冻结管数较多(工程常用布孔参数)的情况下，即满足化简过程的参数条件时，主面厚度和界面厚度基本一致，则冻土边界形状可以当作环形，其波浪形可以忽略。这一结论不适用于不能构成环形布孔的过少冻结管的情况