第3引卷第5期 岩石力学与工程学报 Vol.31 No.5 2012年5月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May,2012 三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 胡向东2，注洋2 (1.同济大学地下建筑与工程系，上海200092：2.同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海200092) 滴要：基于水~热异类相似原理，根据传热过程与地下水流动相似的特点，利用水力学中速度势函数叠加原理 验证了现有的单管、单排管及双排管冻结温度场解析解。进而针对三排管冻结，引入“遮挡系数”，类比推导 排管冻结温度场解析解，并用热学数值模拟方法加以验证。研究结果表明，解析解计算结果与数值模拟结果较吻 合，证明推导过程正确，为今后多排管冻结温度场解析解的推导提供一定的思路，得到的结果可靠，能为3排冻 结管冻结设计施工提供理论指导。 关键词：土力学：人工地层冻结：三排冻结管：温度场：解析解：势函数：水-热异类相似 中图分类号：TU43 文献标识码：A 文章编号：1000-6915(201205-1071-10 ANALYTICAL SOLUTION OF THREE-ROW-PIPED FROZEN TEMPERATURE FIELD BY MEANS OF SUPERPOSITION OF POTENTIAL FUNCTION HU Xiangdong2,WANG Yang!.2 (ofGeotechnical Engineering Tongji University,Shangha,China 2.Key Laboratory and Underground Engineering of Ministry of Education,Tongji University,Shanghai 200092,China) Abstract Based on the theory of analogy between thermal and hydraulic problems,using the superposition of potential function in hydraulics,this paper proved the existing analytical solutions of temperature field for the single-piped,single-row-piped and double-row-piped frozen soil walls.Further by using the coefficient of coverage,an analytical solution of three-row-piped frozen temperature field was also worked out.Comparison of the analytical solution with the numerical thermal analysis shows that the analytical solution is precise enough and will afford some new thoughts in working out the analytical solution of multi-row-piped frozen temperature field, as well as some reasonable guidance in three-row pipe freezing projects. Key words:soil mechanics:artificial ground freezing:three-row-piped freezing:temperature field:analytica :potential function:thermal-ydraulicanaloy 施工中。然而，冻结法理论上还存在许多词题有结 1引言 深入研究，如多3排及3排以上)冻结管温度场计 算。冻结管温度场的计算是人工冻结法理论研究的 人工地层冻结技术历史悠久，因冻土帷幕具有 基础，也是冻结施工设计的重要依据。冻结温度场 令人满意的封水效果、力学强度以及冻结法在环保 的计算主要有解析法、模拟法以及数值分析方法等 及安全方面的显著优越性而被广泛应用于地下工程 3种，而解析法始终是研究的一个重要部分。 -00-0.回日期 金项目：国家自然科学基金资助项目505120.5117836 作者筒介：胡向1961-，男，1982年毕业于淮南矿业学院采矿工程系，现任别教授、博士生导师，主要从事隧道与地下工程方面的教学与 研究工f作，Emal:anton.geotech@tongji.edu.cn ?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/www.enki.net
第 31 卷 第 5 期 岩石力学与工程学报 Vol.31 No.5 2012 年 5 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May，2012 收稿日期：2011–09–29；修回日期：2012–03–28 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50578120，51178336) 作者简介：胡向东(1961–)，男，1982 年毕业于淮南矿业学院采矿工程系，现任副教授、博士生导师，主要从事隧道与地下工程方面的教学与 研究工作。E-mail：anton.geotech@tongji.edu.cn 三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 胡向东 1，2 ，汪 洋 1，2 (1. 同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092) 摘要：基于水–热异类相似原理，根据传热过程与地下水流动相似的特点，利用水力学中速度势函数叠加原理， 验证了现有的单管、单排管及双排管冻结温度场解析解。进而针对三排管冻结，引入“遮挡系数”，类比推导 3 排管冻结温度场解析解，并用热学数值模拟方法加以验证。研究结果表明，解析解计算结果与数值模拟结果较吻 合，证明推导过程正确，为今后多排管冻结温度场解析解的推导提供一定的思路，得到的结果可靠，能为 3 排冻 结管冻结设计施工提供理论指导。 关键词：土力学；人工地层冻结；三排冻结管；温度场；解析解；势函数；水–热异类相似 中图分类号：TU 43 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2012)05–1071–10 ANALYTICAL SOLUTION OF THREE-ROW-PIPED FROZEN TEMPERATURE FIELD BY MEANS OF SUPERPOSITION OF POTENTIAL FUNCTION HU Xiangdong1，2 ，WANG Yang1，2 (1. Department of Geotechnical Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education，Tongji University，Shanghai 200092，China) Abstract：Based on the theory of analogy between thermal and hydraulic problems，using the superposition of potential function in hydraulics，this paper proved the existing analytical solutions of temperature field for the single-piped，single-row-piped and double-row-piped frozen soil walls. Further by using the coefficient of coverage，an analytical solution of three-row-piped frozen temperature field was also worked out. Comparison of the analytical solution with the numerical thermal analysis shows that the analytical solution is precise enough and will afford some new thoughts in working out the analytical solution of multi-row-piped frozen temperature field， as well as some reasonable guidance in three-row pipe freezing projects. Key words：soil mechanics；artificial ground freezing；three-row-piped freezing；temperature field；analytical solution；potential function；thermal-hydraulic analogy 1 引 言 人工地层冻结技术历史悠久，因冻土帷幕具有 令人满意的封水效果、力学强度以及冻结法在环保 及安全方面的显著优越性而被广泛应用于地下工程 施工中。然而，冻结法理论上还存在许多问题有待 深入研究，如多排(3 排及 3 排以上)冻结管温度场计 算。冻结管温度场的计算是人工冻结法理论研究的 基础，也是冻结施工设计的重要依据。冻结温度场 的计算主要有解析法、模拟法以及数值分析方法等 3 种，而解析法始终是研究的一个重要部分
1072. 岩石力学与工程学报 2012年 早在20世纪中期开始，Hr.Tpynak川就提出了 一些经典的人工地层冻结温度场解析解，例如单管 冻结温度场公式，单排管冻结温度场公式以及双排 管冻结温度场公式等 并且沿用至今。在国内 胡向东等对这些公式进行了完善与应用性研究。 但多排管冻结温度场至今尚无解析解答，无法满足 工程实际的需求。 水力场与热力场的相似性，被广泛应用于相关 的研究中。20世纪60年代，5.B.5axa1mP根 据热力与水力相似的原理，采用水力学中阿·依·恰 图】抽水井O的学模刑 尔内关于理想孔间相互干扰的解答，得到了单却 及双排直线型布置的冻结管交圈后形成的冻结盛 温度场分布的解析解。本文基于水~热异类相似 9=2w出 (5) 原理，也采用水力学中多孔相互干扰问题中的速 式中：q为单位时间单位长度的涌水量或灌水量( 度势叠加理论，来求解3排冻结管冻结交圈后形成 为负值时)，r为任意一点到点。的距离。 的冻结壁温度场分布。这样通过所求得的解析解能 掌握三排直线型冻结管温度场的分布规律，可为今 将式(4)代入式5)可得 后工程中3排直线型冻结管的设计施工提供一定的 品 依据。 分离变量积分可得平面上势的表达式为 2速度势 (7 “势”是表示一个量，这个量的梯度形成一个 式中：C为由边界条件确定的积分常数 场。势的概念常常和拉普拉斯方程联系在一起，常 把拉普拉斯方程的解叫做势函数。在渗流力学中 3单管温度场解析解 根据达西定律有 若将点看作单根冻结管，则当r=(为单根 v= K dp u dr 1) 冻结管形成的冻土柱半径，见图2时，=0，令 式中 ,K分别为渗流速度和渗透系数，均用米表 式(7)中中=0可求得常数C的值，此时有 征多孔介质和液体的渗滤能力：“为流体的黏度： 8 p为水头压力差。 引讲一个新的量势9，通常又称为速度势，即 o-4p 将式(2)代入式(1)，有 v=-d (3) dx 对式(2)进行微分可得 平面上存在一个点，所有流体流向这一点， 并在此消失。这是点。处有一口井抽水的数学模 图2单根冻结管及其恒定势能边界 型。若在这一点周围画出以r为半径的圆周（见图1） Fig2 Single freezing pipe and its constant potential boundary 当其成平面径向流时流量为 21994-2016Chim Academic Jour al Eleetronic Publishing House. www.cnki.net
• 1072 • 岩石力学与工程学报 2012年 早在 20 世纪中期开始，Н. Г. Трупак[1]就提出了 一些经典的人工地层冻结温度场解析解，例如单管 冻结温度场公式，单排管冻结温度场公式以及双排 管冻结温度场公式[2]等，并且沿用至今。在国内， 胡向东等[3-7]对这些公式进行了完善与应用性研究。 但多排管冻结温度场至今尚无解析解答，无法满足 工程实际的需求。 水力场与热力场的相似性，被广泛应用于相关 的研究中[2-8]。20 世纪 60 年代，Б. В. Бахолдин[2]根 据热力与水力相似的原理，采用水力学中阿·依·恰 尔内关于理想孔间相互干扰的解答，得到了单排 及双排直线型布置的冻结管交圈后形成的冻结壁 温度场分布的解析解。本文基于水–热异类相似 原理，也采用水力学中多孔相互干扰问题中的速 度势叠加理论，来求解 3 排冻结管冻结交圈后形成 的冻结壁温度场分布。这样通过所求得的解析解能 掌握三排直线型冻结管温度场的分布规律，可为今 后工程中 3 排直线型冻结管的设计施工提供一定的 依据。 2 速度势 “势”是表示一个量，这个量的梯度形成一个 场。势的概念常常和拉普拉斯方程联系在一起，常 把拉普拉斯方程的解叫做势函数。在渗流力学中， 根据达西定律有 d d K p v x (1) 式中：v，K 分别为渗流速度和渗透系数，均用来表 征多孔介质和液体的渗滤能力； 为流体的黏度； p 为水头压力差。 引进一个新的量势[9]，通常又称为速度势，即 K p (2) 将式(2)代入式(1)，有 d d v x (3) 对式(2)进行微分可得 d d K p (4) 平面上存在一个点 o，所有流体流向这一点， 并在此消失。这是点 o 处有一口井抽水的数学模 型。若在这一点周围画出以 r 为半径的圆周(见图 1)， 当其成平面径向流时流量为 图 1 抽水井 O 的数学模型 Fig.1 Mathematical model of pumping well O d 2 d K p q r r (5) 式中：q 为单位时间单位长度的涌水量或灌水量(q 为负值时)，r 为任意一点到点 o 的距离。 将式(4)代入式(5)可得 d 2 d q r r (6) 分离变量积分可得平面上势的表达式为 ln 2 q r C (7) 式中：C 为由边界条件确定的积分常数。 3 单管温度场解析解 若将点 o 看作单根冻结管，则当 r = (为单根 冻结管形成的冻土柱半径，见图 2)时，Φe= 0，令 式(7)中 Φ = 0 可求得常数 C 的值，此时有 ln 2 q C (8) 图 2 单根冻结管及其恒定势能边界 Fig.2 Single freezing pipe and its constant potential boundary
第31卷第5期 胡向东等：三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 ·1073· 当r=r。为冻结管半径)时，冻结管壁上的势 2-=∑（地-） (12) 可以表示为 (9a) 式中：中，为第井单独工作时点M的势。 将式(7，(8)代入式(12)有 当P=时，有 (13) =是n5+C (9b) 式中：9，为每口井的单位水流量，为第1井到供给 联立式(9a,(9b)可得 边缘上距离点M最近的点E的距离，，为第i井到 点M的距离（见图3）。式(13)即为多井干扰下任意 (9c) 一点势函数的表达式。 由此可得 g=2-4) (9d 第 将式(8)，(9c)代入式(7)可得 0)-n (10) 图3单排直线型冻结管及其恒定势能边界 Fig3 Single-row freezing pipes and their constant 根据理想流体流动过程与理想热传导过程相似 potential boundaries 原理，出水量q可类比于冻结管的单位热流量，而 势能r),中，中类比于冻土导热系数分别与冻 5 单排与双排直线型冻结管温度场 结壁中任意一点温度、冻结壁边界温度（假定为 解析解 0℃)、冻结管壁温度1的乘积，将其代入式(10) 当无限多根冻结管为单排直线型布置（见图3） 即可得到单管冻结温度场解析解公式为 )=0- 时，类比于水力学中势叠加原理，以冻结管圆心的 11a 连线作为坐标系横轴，利用式(13)可以得到一排直 线型冻结管冻结温度场内任意一点M的势函数表 达式： 化简可得 E+x-0 I(r)=ler (11b) 式中：中为坐标x,)即冻结壁边缘上任意一点的 式(1Ib)为特鲁巴克单管冻结温度场公式 势，理想状态下为0：1为相邻两冻结管之间的距离： 对于直线型排布的冻结管，每根冻结管的单位 4 速度势叠加理论 热流量都相同，即q9=…=q=-q,因此式(14) 可改写为 在水力学中，有若干井同时工作时，由于每一 口井的工作都会影响到地层内各点压力降低，对地 根据贝塞特求和公式， 层任一点M而言，所形成的压降PP相应于势差 中-D。当有n口井同时工作时，地层中任一点M 的压降，应为各井单独工作时对点M引起压降的 立w+-1-n(】 总和©，即 (16a) 994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
第 31 卷 第 5 期 胡向东等：三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 • 1073 • 当 r = r0(r0为冻结管半径)时，冻结管壁上的势 可以表示为 CT 0 ln 2 q r C (9a) 当 r = 时，有 e ln 2 q C (9b) 联立式(9a)，(9b)可得 e CT 0 ln 2 q r (9c) 由此可得 e CT 0 2( ) ln q r (9d) 将式(8)，(9c)代入式(7)可得 e CT 0 ( ) ln ln r r r (10) 根据理想流体流动过程与理想热传导过程相似 原理，出水量 q 可类比于冻结管的单位热流量，而 势能 Φ(r)，Φe，ΦCT类比于冻土导热系数分别与冻 结壁中任意一点温度 t(r)、冻结壁边界温度(假定为 0 ℃)、冻结管壁温度 tCT的乘积[8]，将其代入式(10) 即可得到单管冻结温度场解析解公式为 CT 0 0 ( ) ln ln t r t r r (11a) 化简可得 CT 0 ln ( ) ln r tr t r (11b) 式(11b)为特鲁巴克单管冻结温度场公式[1]。 4 速度势叠加理论 在水力学中，有若干井同时工作时，由于每一 口井的工作都会影响到地层内各点压力降低，对地 层任一点 M 而言，所形成的压降 pepM相应于势差 ΦeΦM。当有 n 口井同时工作时，地层中任一点 M 的压降，应为各井单独工作时对点 M 引起压降的 总和[10]，即 e e 1 ( ) n M i Mi i (12) 式中：Mi 为第 i 井单独工作时点 M 的势。 将式(7)，(8)代入式(12)有 e 1 1 ln 2 n i Mi i i i q r (13) 式中：qi为每口井的单位水流量，i为第 i 井到供给 边缘上距离点 M 最近的点 E 的距离，ri为第 i 井到 点 M 的距离(见图 3)。式(13)即为多井干扰下任意 一点势函数的表达式。 图 3 单排直线型冻结管及其恒定势能边界 Fig.3 Single-row freezing pipes and their constant potential boundaries 5 单排与双排直线型冻结管温度场 解析解 当无限多根冻结管为单排直线型布置(见图 3) 时，类比于水力学中势叠加原理，以冻结管圆心的 连线作为坐标系横轴，利用式(13)可以得到一排直 线型冻结管冻结温度场内任意一点 M 的势函数表 达式： 2 2 e 2 2 1 () ( ) ln 2 () i x il xy q y x il ， (14) 式中：Φe 为坐标(x，)即冻结壁边缘上任意一点的 势，理想状态下为 0；l 为相邻两冻结管之间的距离。 对于直线型排布的冻结管，每根冻结管的单位 热流量都相同，即 q1=q2=…=qi =…=q，因此式(14) 可改写为 2 2 2 2 e ( ) ( ) ln 4 () q y x il x y x il ， (15) 根据贝塞特求和公式[11]： 2 2 2 2 ln[ ( ) ] ln ch cos y x y x il l l (16a) o
1074: 岩石力学与工程学报 2012年 式(15)可改写成 达式： 小 (2) 2 其中 当x=0,y=时，管壁上一点0，)的值为 4[9-m] +功 (17a 式(21)即为巴霍尔金单排温度场解析解回。 由于ch2x)=2sh2x+1,因此式(17a)可改写为 当无限多根冻结管为双排直线型对齐排布（见 图4)时，同样可以通过势叠加原理，以第一排冻结 管所在的直线作为坐标横轴，利用式(13)可以得到 17b) sh2 双排直线型冻结温度场内任意一点M的势函数表 达式为 q=20-0.5】 (18a) 鼎288： (22) 式中：q,为第一排冻结管与士体之间单位热交换量， ?为第二排冻结管与土体之间单位热交换量，且有 由于气<1，而>1，因此有 9,=4:L为2排冻结管之间的间距。 h5艺，动5 (18b) IM 将式18b)代入式(18a有 g=2-0.】 (18c) +2 对于式16，因ch2延1，故有 要面 界面 21 丰面 (19) 图4双排直线型对齐排布冻结管及其恒定势能边界 为此式(16)可改写为 Fig4 Aligned double-row freezing pipes and their constan potential boundaries wn-(2g-w2华+n] 根据贝塞特求和公式，式22)可改写为 D(x月= (20) 应注意到x,),巾，0，)分别类比于冻 22-w2h2+-s2 结温度x,以冻结壁边界温度（假定为0℃。 +D 与导热系数之积，并将式(18c)代入到式(20)，整 h2-cs2ch2a+0-cs2 理可得一排直线型冻结管温度场内任意一点温度表 (23) 1994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All righ www.cnki.net
• 1074 • 岩石力学与工程学报 2012年 式(15)可改写成 e 2 2 ch cos ( ) ln 4 2 2 ch cos y x q l l x y x l l ， (16b) 当 x = 0，y = r0时，管壁上一点 Φ(0，r0)的值为 0 0 e 2 ch 1 (0 ) ln 4 2 ch 1 r q l r l ， (17a) 由于 ch(2x) = 2sh2 x+1，因此式(17a)可改写为 2 0 0 e 2 sh (0 ) ln 4 sh r q l r l ， (17b) 故 e 0 0 2 (0 ) sh ln sh r q l r l ， (18a) 由于 0r l <<1，而 l ＞1，因此有 1 sh e 2 l l ， 0 0 sh r r l l (18b) 将式(18b)代入式(18a)有 e 0 0 2 (0 ) ln 2 r q l l r ， (18c) 对于式(16b)，因 2 ch l >>1，故有 2 2 2 2 e2 ln ch cos ln ch ln ln 2 2 l x ll l l (19) 为此式(16)可改写为 2 22 ( ) ln ch cos ln 2 4 q yx x y l ll ， (20) 应注意到 Φ(x，y)，Φe，Φ(0，r0)分别类比于冻 结温度 t(x，y)、冻结壁边界温度(假定为 0 ℃)、tCT 与导热系数之积[8]，并将式(18c)代入到式(20)，整 理可得一排直线型冻结管温度场内任意一点温度表 达式： CT 0 ( ) ln 2 t tx y A l l r l ， (21) 其中， 1 22 ln 2 ch cos 2 y x A l l 式(21)即为巴霍尔金单排温度场解析解[2]。 当无限多根冻结管为双排直线型对齐排布(见 图 4)时，同样可以通过势叠加原理，以第一排冻结 管所在的直线作为坐标横轴，利用式(13)可以得到 双排直线型冻结温度场内任意一点 M 的势函数表 达式为 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 4 () q y x il x y x il ， 2 2 2 2 2 e ( )( ) 4 ( )( ) q y L x il L x il (22) 式中：q1为第一排冻结管与土体之间单位热交换量， q2 为第二排冻结管与土体之间单位热交换量，且有 q1=q2；L 为 2 排冻结管之间的间距。 图 4 双排直线型对齐排布冻结管及其恒定势能边界 Fig.4 Aligned double-row freezing pipes and their constant potential boundaries 根据贝塞特求和公式，式(22)可改写为 ( ) x，y e 2 2 2( ) 2 ch cos ch cos ln 4 2 2 2( ) 2 ch cos ch cos y x yL x q ll l l x Lx lll l (23) o
第31卷第5期 胡向东等：三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 ·1075· 同样地，根据冻结管壁上一点(0，)的速度势 求出热流量q的表达式，化简步骤与一排直线型 结管情形下相似，因此不再赘述。由此可得 x 、2x2一D0.】=22二224) 2+n2网 1 对式(23)进行简化，化简过程与一排直线型冻 结管情形相似，由此可得 图5 a-a27 Fig.5 (25) 注意到x,功，中，0，。分别为冻结温度 x,)、冻结壁边界温度（假定为0C)、1一与导热 系数1之积网，并将式(24)代入式(25)可以得到双排 +中.(26d) 直线型冻结管温度场内任意一点温度表达式为 传++- lo=- (26a 其余化简过程相似，因此得到的B的表达式为 2) 其中， B=in ch- R= 29-w2平儿2-aw} 2+ c (26e) (26b (26a)即为对齐排布下巴霍尔金双排温度场 公式。 若以2排冻结管的对称轴作为坐标系横轴(, 63排直线型管冻结温度场解析解 见图4)，则可用一2来代替”，由此可得B的表 达式为 当无限多根冻结管为3排直线型对齐排布（见 2- 图6)时，利用势叠加原理，以第一排冻结管圆心的 B=zin cos2 连线作为坐标系横轴，根据式(13)可得3排直线型 冻结温度场内任意一点M的势函数表达式为 2a+月 m异2： cos 2 (26c 对于双排冻结管交错排布的情况（见图5），式(22) 可改写为 (27) 1994-2016 China Academie Joumal Eleetronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne
第 31 卷 第 5 期 胡向东等：三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 • 1075 • 同样地，根据冻结管壁上一点(0，r0)的速度势 求出热流量 q 的表达式，化简步骤与一排直线型冻 结管情形下相似，因此不再赘述。由此可得 e0 e0 0 0 2 (0 ) 2 (0 ) 1 1 2 e e ln 2 2 2 ln 1 e 2 L l l L l r r q l l r r l ， ， (24) 对式(23)进行简化，化简过程与一排直线型冻 结管情形相似，由此可得 2 2 2( ) ( ) ln ch cos ch 4 q y x yL x y ll l ， 2 2 (2 ) cos ln 4 x L l l (25) 注意到 Φ(x，y)，Φe，Φ(0，r0)分别为冻结温度 t(x，y)、冻结壁边界温度(假定为 0 ℃)、tCT与导热 系数之积[8]，并将式(24)代入式(25)可以得到双排 直线型冻结管温度场内任意一点温度表达式为 CT 0 2 ln 2 xy t L t B l l r l (26a) 其中， B 1 2 2 2( ) 2 ln 4 ch cos ch cos 2 y x yL x ll l l (26b) 式(26a)即为对齐排布下巴霍尔金双排温度场 公式[2]。 若以 2 排冻结管的对称轴作为坐标系横轴(x， 见图 4)，则可用 yL/2 来代替 y，由此可得 B 的表 达式为 2 1 2 2 ln 4 ch cos 2 L y x B l l 2 2 2 ch cos L y x l l (26c) 对于双排冻结管交错排布的情况(见图 5)，式(22) 可改写为 图 5 双排直线型交错排布冻结管及其恒定势能边界 Fig.5 Staggered double-row freezing pipes and their constant potential boundaries 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 4 () q y x il x y x il ， 2 2 2 2 e 2 ( ) 2 4 ( ) 2 l y L x il q l L x il (26d) 其余化简过程相似，因此得到的 B 的表达式为 2 1 2 2 ln 4 ch cos 2 L y x B l l 2 2 2 ch cos L y x l l (26e) 6 3 排直线型管冻结温度场解析解 当无限多根冻结管为 3 排直线型对齐排布(见 图 6)时，利用势叠加原理，以第一排冻结管圆心的 连线作为坐标系横轴，根据式(13)可得 3 排直线型 冻结温度场内任意一点 M 的势函数表达式为 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 4 () q y x il x y x il ， 2 2 2 2 2 ( )( ) 4 ( )( ) q y L x il L x il 2 2 3 2 2 e ( 2) ( ) 4 ( 2) ( ) q y L x il L x il (27) o