第三章立体的投影 根据立体表面的几何性质,可以分为平面立体和曲面立体。表面都是平面的立体,称为 平面立体,如棱柱 棱锥等,如图3-1(a)所示;表面是曲面或曲面和平面的立体,称为曲面立体。若曲面立 体的表面是回转曲面 称为回转体,如圆柱、圆锥、球、环等,如图3-1(b)所示 本章研究立体的三面投影及其表面上取点、取线,平面与立体相交,两立体相交等问 (a) 图3-1基本立体 (a)平面立体:(b)曲面立体 3-1立体的投影 、平面立体 平面立体的投影就是将组成它的平面和棱线的投影画出,并判别可见性,不可见的棱 线投影用虚线画出。 1棱柱 1)棱柱的投影 图3-2(a)为一正六棱柱,由六个棱面和顶面、底面组成。顶面和底面均为水平面,其 水平投影反映实形, 正面、侧面投影分别积聚成一直线段。前、后两个侧面都是正平面,其正面投影反映实 形,水平投影分别和侧 面投影均积聚成直线段。棱柱的另外四个棱面都是铅垂面,因此其水平投影分别积聚为 直线段,正面和侧面 投影为四边形,但不反映实形。正六棱柱的投影如图3-2(b)所示
第三章 立体的投影 根据立体表面的几何性质，可以分为平面立体和曲面立体。表面都是平面的立体，称为 平面立体，如棱柱、 棱锥等，如图 3-1（a）所示；表面是曲面或曲面和平面的立体，称为曲面立体。若曲面立 体的表面是回转曲面 称为回转体，如圆柱、圆锥、球、环等，如图 3-1（b）所示。 本章研究立体的三面投影及其表面上取点、取线，平面与立体相交，两立体相交等问 题。 3-1 立体的投影 一、平面立体 平面立体的投影就是将组成它的平面和棱线的投影画出，并判别可见性，不可见的棱 线投影用虚线画出。 1.棱柱 1）棱柱的投影 图 3-2（a）为一正六棱柱，由六个棱面和顶面、底面组成。顶面和底面均为水平面，其 水平投影反映实形， 正面、侧面投影分别积聚成一直线段。前、后两个侧面都是正平面，其正面投影反映实 形，水平投影分别和侧 面投影均积聚成直线段。棱柱的另外四个棱面都是铅垂面，因此其水平投影分别积聚为一 直线段，正面和侧面 投影为四边形，但不反映实形。正六棱柱的投影如图 3-2（b）所示
棱线AB为铅垂线,其水平投影积聚成一点a(b),正面投影和侧面投影均反映实长, 即ab=a"b"=AB。棱 面与顶面的交线DE为侧垂面,侧面投影积聚成为一点”(),水平投影及正面投影 均反映实长,即de?p’=DE。棱面与底面的交线BC为水平线,水平投影反映实长,即 bc=BC,正面投影c和侧面投影c均处于 水平位置且小于实长。其余棱线的投影情况可自行分析。 Y a(b) 图3-2正六棱柱的投影及其表面取点 (查看动画) 正六棱柱三面投影作图步骤: (1)画出正面投影和侧面投影的对称线、水平投影的对称中心线; (2)画出顶面、底面的三面投影 (3)画出六个棱面的三面投影。 注意:可见棱线画粗实线,不可见棱线画虚线。当它们重影时,画可见棱线。 【例1】已知棱柱表面上M点的水平投影m,求其正面投影m’和侧面投影m"。(查 看动画) 2棱锥 1)棱锥的投影 图3-4(a)为一正三棱锥,它由底面△ABC和三个棱面△SAB、△SBC、△SAC 组成。棱锥的底面△ABC是 个水平面,它的水平投影△abc反映△ABC的实形,正面和侧面投影积聚成水平直线段 棱面SAC为侧垂面,侧面 投影积聚成一直线段,水平和正面投影不反映实形;棱面SAB和SBC为一般位置平面 与三个投影面均倾斜,所以 三个棱面的投影既不积聚,也不反映实形。底边AB、BC为水平线,AC为侧垂线、棱线 SB为侧平线,棱线SA、SC 为一般位置直线
棱线 AB 为铅垂线，其水平投影积聚成一点 a（b），正面投影和侧面投影均反映实长， 即 = =AB。棱 面与顶面的交线 DE 为侧垂面，侧面投影积聚成为一点 （ ），水平投影及正面投影 均反映实长，即 de= =DE。棱面与底面的交线 BC 为水平线，水平投影反映实长，即 bc=BC，正面投影 和侧面投影 均处于 水平位置且小于实长。其余棱线的投影情况可自行分析。 (查看动画) 正六棱柱三面投影作图步骤： （1）画出正面投影和侧面投影的对称线、水平投影的对称中心线； （2）画出顶面、底面的三面投影； （3）画出六个棱面的三面投影。 注意：可见棱线画粗实线，不可见棱线画虚线。当它们重影时，画可见棱线。 【例 1】已知棱柱表面上 M 点的水平投影 m,求其正面投影 m＇和侧面投影 m"。(查 看动画) 2.棱锥 1）棱锥的投影 图 3-4（a）为一正三棱锥，它由底面△ABC和三个棱面△SAB、△SBC、△SAC 组成。棱锥的底面△ABC 是一 个水平面，它的水平投影△abc反映△ABC 的实形，正面和侧面投影积聚成水平直线段； 棱面 SAC 为侧垂面，侧面 投影积聚成一直线段，水平和正面投影不反映实形；棱面 SAB 和 SBC 为一般位置平面， 与三个投影面均倾斜，所以 三个棱面的投影既不积聚，也不反映实形。底边 AB、BC为水平线，AC 为侧垂线、棱线 SB 为侧平线，棱线 SA、SC 为一般位置直线
d'(b 图3-4正三棱锥的投影及其表面取点 (查看动画) 画棱锥的投影时,画出底面△ABC和棱线SA、SB、SC的三面投影即可。作图步骤 如下 (1)先从反映底面△ABC实形的水平投影画起,画出△ABC的三面投影; (2)画出顶点S的三面投影 (3)画出棱线SA、SB、SC的三面投影,并判别可见性 2)棱锥的表面取点 组成棱锥的表面既有特殊位置平面,也有一般位置平面。特殊位置平面上点的投影可 利用平面的积聚性作 图,一般位置平面上点的投影,可选取适当的辅助直线作图。 【例2】已知M点的正面投影m’,求M点的其他投影 二、回转体 动线绕一条定直线回转一周,形成一个回转面。这条定直线称为回转体的轴线。 直线称为回转体的母 线。母线在回转体上任意位置称为素线 1.圆柱 1)圆柱的形成 如图3-6所示,以直线AB为母线,绕与它平行的轴线OO回转一周所形成的面称为圆 柱面。圆柱面和两端平面 围成圆柱体,简称圆柱。 2)圆柱的投影 图3-6所示为一水平放置的圆柱,轴线为侧垂线,因此圆柱面的侧面投影积聚为圆, 此圆同时也是两底面的
（查看动画） 画棱锥的投影时，画出底面△ABC 和棱线 SA、SB、SC 的三面投影即可。作图步骤 如下： （1）先从反映底面△ABC 实形的水平投影画起，画出△ABC 的三面投影； （2）画出顶点 S 的三面投影； （3）画出棱线 SA、SB、SC 的三面投影，并判别可见性。 2）棱锥的表面取点 组成棱锥的表面既有特殊位置平面，也有一般位置平面。特殊位置平面上点的投影可 利用平面的积聚性作 图，一般位置平面上点的投影，可选取适当的辅助直线作图。 【例 2】已知 M 点的正面投影 m＇，求 M 点的其他投影。 二、回转体 一动线绕一条定直线回转一周，形成一个回转面。这条定直线称为回转体的轴线。动 直线称为回转体的母 线。母线在回转体上任意位置称为素线。 1.圆柱 1）圆柱的形成 如图 3-6 所示，以直线 AB 为母线，绕与它平行的轴线 OO 回转一周所形成的面称为圆 柱面。圆柱面和两端平面 围成圆柱体，简称圆柱。 2）圆柱的投影 图 3-6 所示为一水平放置的圆柱，轴线为侧垂线，因此圆柱面的侧面投影积聚为圆， 此圆同时也是两底面的
投影;在正面投影和水平投影上,两底面的投影各积聚成一条直线段。求圆柱面的投影要 分别画出决定其投影 范围的外形轮廓线的投影,该线也是圆柱面上可见和不可见部分的分界线。从图中看出 圆柱面最上端的素线 AA和最下端的素线BB处于正面投影方向的外形轮廓位置,称为正面投影轮廓线,它们 的正面投影a'和b”即 为正面投影轮廓线,如图3-6(a)所示,最前端的素线CC和最后端的素线DD处于水平 投影方向的外形轮廓位置, 称为水平投影cc、dd即为水平投影轮廓线,如图3-6(b)所示 圆柱投影作图步骤 (1)先用细点画线画出轴线的正面投影和水平投影以及圆柱侧面投影的对称中心 线 (2)画出侧面投景圆 (3)画出两个底面的其他两面投影 (4)画出各投影轮廓线。 图3-6圆柱投影 画图时应注意:回转体的投射轮廓线与投射方向有关。素线AA和BB的正面投影 aa'和bb是圆柱的正面投影 轮廓线,用粗实线画出;其水平投影a和bb不处于投影的轮廓位置,不画出。同样,c 和dd是圆柱的水平投影 轮廓,用粗实线画出,c和则不画出。从图36(a)可以看出,以素线AA、B 为界,前半圆柱面的正面 投影可见,后半圆柱面不可见:从图3-6(b)可以看出以CC、DD为界,上半圆柱面的 水平投影可见,下半圆柱 面不可见,由此可判断此圆柱面上点,线的可见性
投影；在正面投影和水平投影上，两底面的投影各积聚成一条直线段。求圆柱面的投影要 分别画出决定其投影 范围的外形轮廓线的投影，该线也是圆柱面上可见和不可见部分的分界线。从图中看出， 圆柱面最上端的素线 AA 和最下端的素线 BB 处于正面投影方向的外形轮廓位置，称为正面投影轮廓线，它们 的正面投影 和 即 为正面投影轮廓线，如图 3-6（a）所示，最前端的素线 CC 和最后端的素线 DD处于水平 投影方向的外形轮廓位置， 称为水平投影 cc、dd即为水平投影轮廓线，如图 3-6（b）所示。 圆柱投影作图步骤： （1）先用细点画 线画出轴线的正面投影和水平投影以及圆柱侧面投影的对称中心 线； （2）画出侧面投影圆； （3）画出两个底面的其他两面投影； （4）画出各投影轮廓线。 画图时应注意：回转体的投射轮廓线与投射方向有关。素线 AA 和 BB 的正面投影 和 是圆柱的正面投影 轮廓线，用粗实线画出；其水平投影 aa和 bb 不处于投影的轮廓位置，不画出。同样，cc 和 dd 是圆柱的水平投影 轮廓，用粗实线画出， 和 则不画出。从图 3-6（a）可以看出，以素线 AA、BB 为界，前半圆柱面的正面 投影可见，后半圆柱面不可见；从图 3-6（b）可以看出以 CC、DD为界，上半圆柱面的 水平投影可见，下半圆柱 面不可见，由此可判断此圆柱面上点，线的可见性
3)圆锥表面取点、取线 在图3-6中,由于圆柱面上每一条素线都垂直于侧面,所以圆柱面的侧面投影有积聚 性,凡是在圆柱面上的 点和线的侧面投影一定与圆柱面的侧面投影(圆)重合。因此可以利用积聚性法求解。 【例3】已知M点的正面投影m’,求M点的其他投影。(查看动画) 2圆锥 1)圆锥的形成 如图3-8所示,以直线AB为母线,绕与它相交的轴线OO回转一周所形成的面称为 圆锥面。由圆锥面和锥底平 面围成圆锥体,简称圆锥。 图3-8圆锥的形成 2)圆锥的投影 图3-9(a)所示为一正圆锥,其轴线为铅垂线,底面为水平面。底面的正面和侧面投 影积聚为一段水平直 线,水平投影反映实形,是一个圆。圆锥面上点的水平投影都落在此圆范围内,这一点 与圆柱面的投影不同 (圆柱面的投影积聚在圆周),圆锥面投影无积聚性。求作圆锥的投影要分别画出圆锥面 的投影轮廓线,即圆 锥面上可见与不可见部分的分界线。圆锥面上最左端素线SA和最右端素线SB是正面投 射轮廓线,其投影'和 sb'为圆锥的正面投影轮廓线:而最前端素线SC和最后端素线SD是侧面投射轮廓线, 其投影s""和s""为侧面 投影轮廓线
3）圆锥表面取点、取线 在图 3-6 中，由于圆柱面上每一条素线都垂直于侧面，所以圆柱面的侧面投影有积聚 性，凡是在圆柱面上的 点和线的侧面投影一定与圆柱面的侧面投影（圆）重合。因此可以利用积聚性法求解。 【例 3】已知 M 点的正面投影 m＇，求 M 点的其他投影。（查看动画） 2.圆锥 1）圆锥的形成 如图 3-8 所示，以直线 AB 为母线，绕 与它相交的轴线 OO回转一周所形成的面称为 圆锥面。由圆锥面和锥底平 面围成圆锥体，简称圆锥。 2）圆锥的投影 图 3-9（a）所示为一正圆锥，其轴线为铅垂线，底面为水平面。底面的正面和侧面投 影积聚为一段水平直 线，水平投影反映实形，是一个圆。圆锥面上点的水平投影都落在此圆范围内，这一点 与圆柱面的投影不同 （圆柱面的投影积聚在圆周），圆锥面投影无积聚性。求作圆锥的投影要分别画出圆锥面 的投影轮廓线，即圆 锥面上可见与不可见部分的分界线。圆锥面上最左端素线 SA和最右端素线 SB 是正面投 射轮廓线，其投影 和 为圆锥的正面投影轮廓线；而最前端素线 SC 和最后端素线 SD 是侧面投射轮廓线， 其投影 和 为侧面 投影轮廓线