第一章空间解析几何 与向量代数 本章安排三次辅导课。第一次向量代数;第二次平面与直 线!第三次平面直线问题与二次方程及其图形。 第一讲向量代数 空间解析几何中的直线、平面是以向量为工具进行研究, 故本节辅导课的重点放在向量的概念及其运算性质上。具体要 求是:(I)掌握向量的投影表示式(2)熟练掌向量的数量 积向量积混合积的运算规律及其应用。通过对具体问题的讨 论逐步加深对向量概念的理解和运算性质的正确应用;并通过 对一个题目的多种解法,训练学生思考的全面性,达到调动其 积极思维的目的,同时也是从不同角度检查了解题的正确性。 选题 1.下列命題是否正确?为什么? (1)2i>j (2)讠,j+j,i+j+k均为单位向 (3)如图1 图1 力F在向量S上的分力为Fcos 2.回答下列问题,并说明理由 已知1=讠-2j+3k,b=2i十j,￠=-i+j+配 1
(1)b是否垂直oz轴? (2)a+b和C是否平行? (3)a和b-c是否垂直? (4)a,b,c悬否共面? 3.讨论下列命题悬否正确?说明理由。 (1)若a≠0ab=a·c则b=c (2)若a≠0×b=a×c则b=c (3)若α≠0 absa.c 则b qxbraxc 4.若axb+b×c+C×a=0,则α,b,c共面 5.已知向量a=讠,b=j-2k,c=2i-2j+k,求 单位向量θ,使日⊥c,且0,a,b共面 6.设a=-2+2k,b=-2i+j+2k (1)满足a×c=b的向量c存在吗?为什么? (2)若存在c,写出满足aXc=b的向量c的投影表 示式 3)求出c{为最小的那个向量。 说明 为了引导学生对问题作深人的思考,有必要准备一批 追问的问题,如围绕第1(2)题讨论时,可以准备下列问题。 问题1:任何一个向量a(a≠0),其单位向量应如何表 达? 问题2:讠+j+配的方向角是z/3,x/3,x/3吗?它 的方向余弦是什么? 问题3:模一定,与x,y,z轴正方向夹角相等的向量 有几个?位于何处?方向角是多少? 问题4:任意三个角都能构成一个方向吗?任给两个角
就一定能由关系式c82a+cos2B+0os2y=1求出第三个角, 从而构成向量的方向角吗?若已知a=45°,日=30°,γ=? 请从几何上作出解释。 问题5;a,B,γ满足条件c82a+082月+c2y=1是 构成方向角的什么条件(充分条件、必要条件、充分必要条 件)?井证明之。 对于第2题,可先提间:如何判别两个向量垂直?平行? 如何判别三个向量共面? 每个小题的正确解答如下: (1)b在x0y面内故与oz垂直或bk=0。 (2)a+b=3i-j+k≠λ或(a+b)xc≠0故a+b 与c不平行。 (3)a·(b-c)=0,故a⊥b-C。 (4)a·(b×c)≠0,故a,bc不共面。 2.第3题是要学生搞清向量的乘积(数量积与向量积) 是一种新的运算,它与代数运算有相同处又有不同处。在向量 运算中消去律是不成立的。这从对(1),(2)的讨论中可以说 (1)可先画出当&,b,c共面时,a·b=ac的图形如 图2,引导学生从数量积的定义来讨论: ab={al}|b|∞sθ1=(b)a!αl ac=allc|∞62=(c)aa 只能得出(b)a=(c)a的结论。从图上看, 这个结论也是显而易见的。故得不出a=b 的结论 图2 2)请学生仿照(1)的分析方法,来 加以讨论。从向量积的定义和图3均可得到这样的结论
(a- cx b b X C 哭G 图 图4 ①a,b,c在同一平面内 ②b,c在a的同一侧; ⑧|axb|=laxc ④1 b sin61=|cisn日2 3.第4题在证明之前可先引导分析题目所给的条件。对 于xb+b×c+c×a=0,若其中axb=0,b×c=0,c×a =0即a,b,C共线。结论显然成立。因此,以下是在ab,C 不共线情况下证明的,进而引导学生用多种方法证明。至少有 以下两种方法 法1:由a×b+bxc+c×a=0,即a×b-c×b= c×c 故(a-c)×b=c,b垂直于aXC。 所以b必在平面x上,如图4 所以a,b,C共面。 法1的另一种证法:由a×b+b×c+c×a=0,推出 α×b,b×c,c×a共面,而a×b,c×b均垂直于b,即 b垂直于α×b,c×b决定的平面,故b也垂直于axc, 由此得出a,b,C共面。 法2;利用三个向量共面的充分必要条件是其混合积为 零。要证a,b,C共面,只要证α·(bXc)=0
对等式a×b+b×￠+CXa=0两端与a作点积,因为 axb⊥a,cxa⊥a,所以有aa×b)=0,acxa)=0 由a(a×b)+ab+c)+acXa)=0,有α·bx c)=0,所以a,b,c典面。 紧接着,可提问请学生迅速回答 著a+b+C=0,且a,b,c为互不平行的单位向量, 那么a·b+b·c+ca=0吗?为什么?注意此处a,b,c 之间的关系,夹角6前大小。正确的回答是 ab+b·+c·a=-3/2 4.第5题解法较多 法1:待定系数法。 设所求0=xi+yj+k,由已知条件列出x,y,z的 个三元方程 e|=1 +y2+22=1y 0⊥c 2x2y+2=03 ei axb 2y+2=0 解得θ=±{2i+j-2k 法2:由已知θ,a,b共面,则0可表示为a,b的 线性组合 设日=λa+ub=λi+gj-2Mk,根据已知条件 2λ-24-2p=0 e|=1 λ2+5 解得μ=±1/3,A=±2 法3:由已知θ,a,b共面,可知6⊥axb,θ⊥c, 故!(×b)×C。可直接得到 5