第二章习题解答 p 21证明在定态中,几率流与时间无关。 证:对于定态,可令 Y(r,t)=y(r)f(t) y(r)e -(wY-yVy) 2m E 上E ly(reh v(y(r)e h)-y(ren v(y(r)e h ) lyOrVyr-y((rI 可见J与t无关。 22由下列定态波函数计算几率流密度 (2 从所得结果说明v表示向外传播的球面波,v2表示向内(即向原点)传播的球 面波。 解:J和J2只有r分量 在球坐标中V 010 +e +e rsin e a 2nNyIV1vy1 b2e2(1e)-1e(1e 2m r i.1 [-(-x-i (--2+放一) 2m rr k J,与同向。表示向外传播的球面波
第二章习题解答 p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 [ (r) (r) (r) (r)] 2m i [ (r)e (r)e (r)e (r)e ] 2m i ( ) 2m i J (r)e (r t) (r)f(t) * * E t i E t i * * E t i E t i * * E t i = − = − = − = = − − − − − （ ） （ ） ， 可见 J与t 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r e r − = = 1 (2) 1 (1)1 2 从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波， 2 表示向内(即向原点) 传播的球 面波。 解： J1和J 2只有r分量 在球坐标中 + + = rsin 1 e r 1 e r r0 r m r k r m r k r r ik r r r ik m r r i e r r r e r e r r e m r i m i J ikr ikr ikr ikr 2 0 3 2 2 0 0 1 * 1 * 1 1 1 )] 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 [ 2 )] 1 ( 1 ) 1 ( 1 [ 2 ( ) 2 (1) = = = − − − − + − = = − − − J r 1 与 同向。表示向外传播的球面波
(2)2=hv2v2-v2vv) -ikr 1. 1 m r Or r (一-2+i-)--( k 2m nk nk 0=--3r 可见,J2与F反向。表示向内(即向原点)传播的球面波 补充:设u(x)=e“,粒子的位置几率分布如何?这个波函数能否归一化? dx=∞ 波函数不能按|v(x)dk=1方式归一化 其相对位置几率分布函数为 2=1表示粒子在空间各处出现的几率相同 23一粒子在一维势场 ,x< X≤a 0o, x>a 中运动,求粒子的能级和对应的波函数。 解:U(x)与t无关,是定态问题。其定态S—方程 2m drv(x)+U(x)y(x)=Ey(x) 在各区域的具体形式为 h d I:0sxsa、"2(x)+U(x)形1(x)=Ev(x)① I:x<0 2m dx2 v,(x)=Ev,(x) II: x>a 2m dx2v3()+U(x)v(x)=Ev(x) 由于(1)、(3)方程中,由于U(x)=∞,要等式成立,必须 v1(x)=0
r mr k r mr k )]r r 1 ik r 1 ( r 1 ) r 1 ik r 1 ( r 1 [ 2m i e )]r r 1 ( r e r 1 e ) r 1 ( r e r 1 [ 2m i ( ) 2m i (2) J 2 0 3 2 2 0 0 ikr ikr ikr ikr * 2 * 2 2 2 = − = − = − + − − − − = = − − − 可见， J r 2与 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设 ikx (x) = e ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ = = *dx dx ∴波函数不能按 ( ) 1 2 = x dx 方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 1 2 = = 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 = x a x a x U x ， ， ， 0 0 0 ( ) 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： U(x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d m − + = 在各区域的具体形式为 Ⅰ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 1 1 2 2 x U x x E x dx d m x − + = ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 2 x E x dx d m x a − = ② Ⅲ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 x U x x E x dx d m x a − + = ③ 由于(1)、(3)方程中，由于 U(x) = ，要等式成立，必须 1 (x) = 0
y2(x)=0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为v2(x),2mE dx 方2y2(x)=0 令k 2me 得 d-v,(x) k2 其解为v2(x)= Asin kx+ Bcos kx④ 根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得 v2(0)=v1(0)⑤ v2(a)=v3(a)⑥ ⑤→B=0 ⑥→ asin ka=0 A≠0 sin ka=o (n=1,2,3,…) v2(x)=Asin-x 由归一化条件 得A「sm2zxdk=1 mZ 由|s x*sin nt 2me n2(n=1,2,3,…)可见E是量子化的。 对应于E的归一化的定态波函数为
2 (x) = 0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 + x = mE dx d x 令 2 2 2 mE k = ，得 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 + k x = dx d x 其解为 (x) Asin kx Bcoskx 2 = + ④ 根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 (0) (0) 2 =1 ⑤ ( ) ( ) 2 a = 3 a ⑥ ⑤ B = 0 ⑥ Asin ka = 0 ( 1, 2, 3, ) sin 0 0 = = = k a n n k a A ∴ x a n x A 2 ( ) = sin 由归一化条件 ( ) 1 2 = x dx 得 sin 1 0 2 2 = a xdx a n A 由 mn a b a xdx a n x a m = 2 sin sin x a n a x a A sin 2 ( ) 2 2 = = 2 2 2 mE k = ( 1,2,3, ) 2 2 2 2 2 = n n = ma En 可见 E 是量子化的。 对应于 En 的归一化的定态波函数为
0≤x≤a V (x, t=va a 24.证明(26-14)式中的归一化常数是A= (x+a)2|x <a (26-14) x 由归一化,得 1=llwal ax=Asin/(x+a) A (x +ald n (x+a)db 42aA42 n (x+a) A ∴归一化常数A= 25求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置 解:v(x)= axe O,(x)=v(x)=4a -a x do,(x [2x-2a2x3]e d x (r)on y 0,得 x=0
= − x a x a x e x a a n x t a E t i n n 0, , sin , 0 2 ( , ) # 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 a A 1 = 证： + = x a x a x a a n A n 0, sin ( ), （2.6-14） 由归一化，得 A a x a a n n A a A a x a dx a A n x A x a dx a n A x a dx a n dx A a a a a a a a a a a n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ( ) 2 cos ( ) 2 2 [1 cos ( )] 2 1 1 sin ( ) = + = − + − = = − + = = + − − − − − ∴归一化常数 a A 1 = # 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 2 2 2 1 2 2 ( ) x x xe − = 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 4 x x x e x x x e − − = = = 2 2 [2 2 ] ( ) 2 2 3 3 1 x x x e dx d x − = − 令 0 ( ) 1 = dx d x ，得 x = x = x = 1 0
由a1(x)的表达式可知,x=0,x=±∞时,a1(x)=0。显然不是最大几率的位 置 而 )-2a2x(2x-2a2x3)e (1 DIe d21(x) <0 x=土一 可见x=±=±,是所求几率最大的位置。# 26在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:U(-x)=U(x),证明粒子的 定态波函数具有确定的宇称 证:在一维势场中运动的粒子的定态S方程为 v(x)+U(xy(x)= Ey(x) 2u dx 将式中的x以-x)代换,得 方2d y(-x)+U(-x)y(-x)=Ev( 利用U(-x)=U(x),得 h2 d2 y(-x)+U(x)(-x)=Ev(-x) 比较①、③式可知,ψ(-x)和v(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态 的波函数。由于它们描写的是同一个状态,因此v(-x)和v(x)之间只能相差 个常数c。方程①、③可相互进行空间反演(x-x)而得其对方,由①经 x→>-x反演,可得③, 由③再经-x→>x反演,可得①,反演步骤与上完全相同,即是完全等价的。 ④乘⑤,得 y(x)y (-x=cy(x(-x 可见,c2=1 当c=+1时,v(-x)=v(x),→v(x)具有偶宇称, 当c=-1时,v(-x)=-v(x),→v(x)具有奇宇称
由 ( ) 1 x 的表达式可知， x = 0，x = 时， 1 (x) = 0 。显然不是最大几率的位 置。 2 2 2 2 [(1 5 2 )] 4 [(2 6 ) 2 (2 2 )] ( ) 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 3 3 2 1 2 x x x x e x x x x e dx d x − − = − − 而 = − − − 0 4 1 2 ( ) 3 2 1 2 1 2 = − = dx e d x x 可见 = = 1 x 是所求几率最大的位置。 # 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： U(−x) = U(x) ，证明粒子的 定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − + = ① 将式中的 x以(−x) 代换，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − − + − − = − ② 利用 U(−x) = U(x) ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − − + − = − ③ 比较①、③式可知， (−x)和(x) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态 的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此 (−x)和(x) 之间只能相差一 个常数 c 。方程①、③可相互进行空间反演 (x −x) 而得其对方，由①经 x →−x 反演，可得③， (−x) = c(x) ④ 由③再经− x → x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 (x) = c(−x) ⑤ ④乘 ⑤，得 (x) ( x) c (x) ( x) 2 − = − 可见， 1 2 c = c = 1 当 c = +1 时， (−x) = (x)，(x) 具有偶宇称， 当 c = −1 时， (−x) = −(x)，(x) 具有奇宇称